2.2.1~2.2.2 向量加法运算及其几何意义 向量减法运算及其几何意义 课件(人教A必修4)_图文

2.2

2.2.1 ~ 2.2.2 向量 加法 运算 及其 几何 意义 向量 减法 运算 及其 几何 意义

读教材·填要点
课前预习·巧设计

第 二 章
平 面 向 量

小问题·大思维

平 面 向 量 的 线 性 运 算

考点一
名师课堂·一点通

考点二

考点三
解题高手
NO.1课堂强化
创新演练·大冲关

NO.2课下检测

[读教材·填要点]
1.向量加法的定义 求两个向量 和的运算 ,叫做向量的加法. 2.向量加法的运算法则
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已知非零向量 a、 在平面上任取一点 A, AB b, 作

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向量 求和 的法 则

=a, BC =b,则向量 AC 叫做 a 与 b 的和,记 三角 作 a+b ,即 a+b= AB + BC = AC . 形法 这种求两个向量和的方法,称为 则 向量加法的 三角形 法则. 对于零向量与任一向量 a 的和有 a+0= 0+a = a

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向 量 求 和 的 法 则

平 行 四 边 形 法 则

以同一点 O 为起点的两个已知向量 a、b 为邻边作?OACB,则 以O为起

点的对角线 OC 就是 a 与 b 的和.这种作两个向量 和的方法叫做两个向量加法的 平行四边形法则

??? ?

3.向量加法的运算律 (1)交换律:a+b=b+a; (2)结合律:a+b+c= (a+b)+c = a+(b+c) . 4.相反向量 与a 长度相等,方向相反 的向量,叫做a的相反向量,记 作 -a . (1)规定:零向量的相反向量仍是 零向量 ; (2)-(-a)= a ; (3)a+(-a)= (-a)+a = 0 ; (4)若a与b互为相反向量,则a= -b ,b=-a ,a+b= 0 .

5.向量的减法 (1)定义:a-b=a+( -b ),即减去一个 向量相当于加上这个向量的 相反向量 . (2)几何意义:以 O 为起点,作向量 OA=a,
OB =b,则 BA =a-b,如图所示,即 a-b 可表示从 向量b的

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终点 指向 向量a的终点 的向量.

[小问题·大思维] 1.任意两个非零向量相加,是否都可以用向量的平行 四边形法则进行? 提示:不一定.当两向量共线时,不能用平行四边形法

则,只能用三角形法则.
2.若a+b=c+d则a-c=d-b成立吗?

提示:成立.移项法则对向量等式适用.

3.怎样理解||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|? 提示:(1)当两个非零向量a与b不共线时,a+b的方向与 a,b都不相同,模满足||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|. (2)当a与b同向时,a+b,a,b方向相同,模满足|a+b|= |a|+|b|.

(3)当a与b反向时,若|a|>|b|,则a+b与a同向,模满足|a
+b|=|a|-|b|;若|a|<|b|,则a+b与b同向,模满足|a+b|=|b| -|a|.

4.类比向量的加法运算是否有||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|成
立? 提示:成立.因为|a-b|=|a+(-b)|,

所以||a|-|b||=||a|-|-b||≤|a-b|≤|a|+|-b|=|a|+|b|.

[研一题] [例 1] 如图,已知正方形 ABCD 的边长
等于 1, AB =a, BC =b, AC =c, 试作以下向量并分别求其模. (1)a+b+c; (2)a-b+c.

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[自主解答] (1)如图,由已知 a+b= AB + BC = AC , 又 AC =c,所以延长 AC 到点 E, 使|CE |=| AC |, 则 AE =a+b+c, 且| AE |=2 2.

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(2)作

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BF = AC ,则四边形 ABFC 为平行四边形,

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∴CF 綊 AB,又 DC∥AB,

∴D,C,F 三点共线,且| DF |=2| AB |=2, ∴a-b+c= AB - AD + BF = DB + BF = DF , 且|a-b+c|=| DF |=2.

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[悟一法]
用几何法作两个向量的和或差应注意以下几点: (1)两向量是否共起点; (2)弄清减向量与被减向量; (3)灵活选择加法法则.

[通一类]
1.如图所示,O 是四边形 ABCD 内 任一点,试根据图中给出的向量,确定 a、b、c、d 的方向(用箭头表示),使 a+b=

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BA ,c-d= DC ,并画出 b-c 和 a+d.

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解:因为 a+b= BA ,c-d= DC , 所以 a= OA,b= BO ,c= OC ,d= OD ;

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如图所示,作平行四边形OBEC,平行四边形ODFA.根据 平行四边形法则可得:b-c= EO ,a+d= OF .

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[研一题] ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? [例 2] 化简:( AB - CD )-( AC - BD )=________. ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? [自主解答] 法一:( AB - CD )-( AC - BD ) ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? = AB - CD - AC + BD ??? ??? ??? ??? ? ? ? = AB + DC + CA + BD ??? ??? ? ? ??? ??? ? =( AB + BD )+( DC + CA ) ? ??? ??? ? = AD + DA =0.

法二:( AB - CD )-( AC - BD ) = AB - CD - AC + BD

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=( AB - AC )+( DC - DB ) = CB + BC =0. 法三:设 O 为平面内任意一点,则有 ( AB - CD )-( AC - BD ) = AB - CD - AC + BD

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=( OB - OA)-( OD - OC )-( OC - OA)+( OD - OB ) = OB - OA- OD + OC - OC + OA+ OD - OB =0.

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[答案] 0

[悟一法]
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在进行向量加减法运算时,应熟练掌握以下结论: AB +

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BD = AD ; AB - AC = CB ; MN = ON - OM .可不画出图形

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直接写出类似的一系列式子.

[通一类]

2.下列四式中不能化简为 AD 的是 A.( AB + CD )+ BC

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B.( AD + MB )+( BC + CM ) C. OC - OA+ CD D. MB + AD - BM

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解析:对于 A 有 AB + BC + CD = AD ; 对于 B 有 AD +( MB + BC )+ CM = AD +( MC + CM )= AD ; 对于 C 有(OC - OA)+ CD = AC + CD = AD ,只有 D 无法化简 为 AD . 答案:D

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[例3]

[研一题] 在静水中船的速度为20 m/min,水流的速度为

10 m/min,如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对 岸,求船行进的方向.

[自主解答]

作出图形,如图.

船速 v 船与岸的方向成 α 角,由图可知 v 水 +v 船=v 实际,结合已知条件, 四边形 ABCD 为平行四边形, 在 Rt△ACD 中,|CD |=| AB |=|v 水|=10 m/min, | AD |=|v 船|=20 m/min,

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??? ? |??? | 10 1 CD ∴cos α= ? = = ,
| AD | 20 2

∴α=60° ,从而船与水流方向成 120° 的角. 故船行进的方向是与水流的方向成 120° 的角的方向.

[悟一法] 求解应用题时应先根据已知条件建立数学模型,转 化为数学问题求解.本题实际是向量在物理上的一个简单 应用.先根据三个已知速度(即已知向量)之间的关系,判 断ABCD为平行四边形.因为要求方向,所以要转化为平

面几何中求角度的问题.

[通一类]
3.设 a 表示向西走 10 km,b 表示向北走 10 3 km,则 a-b 表示 A.向南偏西 30° 20 km 走 B.向北偏西 30° 20 km 走 C.向南偏东 30° 20 km 走 D.向北偏东 30° 20 km 走 ( )

解析:如图,作 OA=a, OB =b, 则 BA =a-b.在 Rt△ABO 中,OA=10, OB=10 3, 则 AB=20,∠ABO=30° . 易知向南偏西 30° 行走 20 km.

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答案:A

已知任意四边形 ABCD, 为 AD 的中点, 为 BC 的中点, E F 求证: EF + EF = AB + DC . [证明] 法一: 如图, 在四边形 CDEF 中, EF + FC + CD + DE =0, 所以 EF =- FC - CD - DE = CF + DC + ED .

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在四边形 ABFE 中, EF + FB + BA + AE =0, 所以 EF = BF + AB + EA . ①+②,得

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EF + EF = CF + DC + ED + BF + AB + EA

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=( CF + BF )+( ED + EA )+( AB + DC ). ∵E,F 分别是 AD,BC 的中点, ∴ ED + EA =0, CF + BF =0. ∴ EF + EF = AB + DC .

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法二:如图,在平面内取点 O, 连接 AO,EO,DO,CO,FO,BO,则

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EF = EO + OF = EA + AO + OB + BF ,

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∵E,F 分别是 AD,BC 的中点, ∴ DE = EA , BF = FC .

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∴ EF + EF = EA + AO + OB + BF + EA + AO + OB + BF = DE + AO + OB + FC + EA + AO + OB + BF =( AO + OB )+( DA+ AO + OB + BC ) = AB +( DO + OC ) = AB + DC .

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[点评]

(1)本题运用向量的加、减运算解决,而不必

考虑图形是平面图形还是空间图形,体现了向量的优点. (2)本例结论可以看作梯形中位线定理的推广.


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