2016_2017学年高中数学导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则二学业分层测评含解析

1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
学业分层测评 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.函数 y=(x -1) 的复合过程正确的是( A.y=u ,u=x -1 C.y=t ,t=(x -1) 【答案】 A 1-x 2.若 f(x)= ,则 f(x)的导数是( sin x A. B. C. -2xsin x-?1-x ?cos x 2 sin x -2xsin x+?1-x ?cos x 2 sin x -2xsin x+?1-x ? sin x
2 2 2 2 2 2

n

)
n
2

n

2

B.y=(u-1) ,u=x
n n

n

2

D.y=(t-1) ,t=x -1

2

)

-2xsin x-?1-x ? D. sin x 【解析】 f′(x)= ?1-x ?′sin x-?1-x? ·?sin x?′ -2xsin x-?1-x? cos x = . 2 2 sin x sin x 【答案】 A 3.函数 y=xln(2x+5)的导数为( A.ln(2x+5)- C.2xln(2x+5) ) B.ln(2x+5)+ D. 2x 2x+5
2 2 2

x
2x+5

x 2x+5

【解析】 y′=[xln(2x+5)]′=x′ln(2x+5)+

x[ln(2x+5)]′=ln(2x+5)+x·
(2x+5)′=ln(2x+5)+ 【答案】 B 2x . 2x+5

1 · 2x+5

4.(2016·宁波高二检测)函数 f(x)=x+xln x 在(1,1)处的切线方程为( A.2x+y-1=0 C.2x+y+1=0 B.2x-y-1=0 D.2x-y+1=0

)

1

【解析】 ∵f′(x)=(x+xln x)′ =1+x′ln x+x(lnx)′ =1+ln x+1=2+ln x, ∴f′(1)=2+ln 1=2, ∴函数 f(x)在点(1,1)处的切线方程为

y-1=2(x-1),即 2x-y-1=0.
【答案】 B 5.函数 y=cos 2x+sin x的导数为( cos x A.-2sin 2x+ 2 x sin x C.-2sin 2x+ 2 x ) cos x B.2 sin 2x+ 2 x cos x D.2sin 2x- 2 x

【解析】 y′=-sin 2x·(2x)′+cos 1 1 =-2sin 2x+ · cos x 2 x cos x =-2sin 2x+ . 2 x 【答案】 A 二、填空题

x·( x)′

6. 若曲线 y=xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x-y+1=0, 则点 P 的坐标是________. 1 【解析】 设 P(x0,y0).∵y=xln x,∴y′=ln x+x· =1+ln x.

x

∴k=1+ln x0.又 k=2,∴1+ln x0=2,∴x0=e. ∴y0=eln e=e.∴点 P 的坐标是(e,e). 【答案】 (e,e)

?π ? ?π ? 7.已知函数 f(x)=f′? ?sin x+cos x,则 f′? ?=________. ?2? ?4? ?π ? 【解析】 ∵f′(x)=f′? ?cos x-sin x, ?2?
π π ?π ? ?π ? ∴f′? ?=f′? ?cos -sin =-1, 2 2 ?2? ?2? ∴f′(x)=-cos x-sin x, π π ?π ? ∴f′? ?=-cos -sin =- 2. 4 4 ?4? 【答案】 - 2 8.(2016·广州高二检测)若函数为 y=sin x-cos x,则 y′=________________.
2
4 4

【解析】 ∵y=sin x-cos x=(sin x+cos x)·(sin x-cos x)=-cos 2x, ∴y′=(-cos 2x)′=-(-sin 2x)·(2x)′ =2 sin 2x. 【答案】 2sin 2x 三、解答题 9.求下列函数的导数. (1)y= 1-2x ;(2)y=e
2 sin x

4

4

2

2

2

2



π? ? (3)y=sin?2x+ ?;(4)y=5log2(2x+1). 3? ?
1

【解】 (1)设 y=u2,u=1-2x ,
1 ?1 - ? 2 则 y′=(u2)′(1-2x )′=? u 2?·(-4x) ?2 ? 1 1 -2x 2 - = (1-2x ) 2(-4x)= . 2 2 1-2x 1

2

(2)设 y=e ,u=sin x, 则 yx′=yu′·ux′=e ·cos x=e π (3)设 y=sin u,u=2x+ , 3 π? ? 则 yx′=yu′·ux′=cos u·2=2cos?2x+ ?. 3? ? (4)设 y=5log2u,u=2x+1, 则 y′=yu′·ux′= 10 10 = . uln 2 ?2x+1?ln 2
u
sin x

u

cos x.

?π 1? 2 10.求曲线 y=2sin x 在点 P? , ?处的切线方程. ? 6 2?
【解】 因为 y′=(2sin x)′=2×2sin x×(sin x)′ =2×2sin x×cos x=2sin 2x, π ? π? 所以 y′|x= =2sin?2× ?= 3. 6 6? ? 1 ? π? 所以过点 P 的切线方程为 y- = 3?x- ?, 6? 2 ? 1 3π 即 3x-y+ - =0. 2 6 [能力提升] 1.(2016·长沙高二检测)函数 y=sin 2x-cos 2x 的导数是( )
2

3

π? ? A.2 2 cos?2x- ? 4? ? B.cos 2x-sin 2x C.sin 2x+cos 2x π? ? D.2 2cos?2x+ ? 4? ? 【解析】 ∵y′=(sin 2x-cos 2x)′ =(sin 2x)′-(cos 2x)′ =cos 2x·(2x)′+sin 2x·(2x)′=2cos 2x+2sin 2x =2 2? π? 2 ? 2 ? ? cos 2x+ sin 2x?=2 2cos?2x- 4 ?, ? ? 2 ?2 ?

故选 A. 【答案】 A 4 2.已知点 P 在曲线 y= x 上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 α 的取值范 e +1 围是( ) B.? D.? 4 , e +1
x x

? π? A.?0, ? 4? ?
C.?

?π ,π ? ? ?4 2? ?3π ,π ? ? ? 4 ?

?π ,3π ? 4 ? ?2 ?

【解析】 因为 y=
x

-4e -4e 所以 y′= x = 2= 2x x ?e +1? e +2e +1

-4 . 1 x e + x+2 e

1 x x 因为 e >0,所以 e + x≥2,所以 y′∈[-1,0),所以 tan α ∈[-1,0). e 又因为 α ∈[0,π ),所以 α ∈? 【答案】 D 3.曲线 y=e
-5x

?3π ,π ?. ? ? 4 ?

+2 在点(0,3)处的切线方程为_________________________.
-5x

【解析】 因为 y′=e

(-5x)′=-5e

-5x



所以 y′|x=0=-5,故切线方程为 y-3=-5(x-0), 即 5x+y-3=0. 【答案】 5x+y-3=0 4.已知函数 f(x)=x +1(1-a)x -a(a+2)x+b(a,b∈R). (1)若函数 f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求 a,b 的值;
4
3 2

(2)若曲线 y=f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线,求 a 的取值范围. 【解】 f′(x)=3x +2(1-a)x-a(a+2). (1)由题意得?
?f?0?=b=0, ? ? ?f′?0?=-a?a+2?=-3,
2

解得 b=0,a=-3 或 a=1. (2)∵曲线 y=f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线, ∴关于 x 的方程 f′(x)=3x +2(1-a)x-a(a+2)=0 有两个不相等的实数根, ∴Δ =4(1-a) +12a(a+2)>0, 即 4a +4a+1>0, 1 ∴a≠- . 2 1? ? 1 ? ? ∴a 的取值范围为?-∞,- ?∪?- ,+∞?. 2? ? 2 ? ?
2 2 2

5


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