人大附中2013届高三五月三模考试数学文word版试题含扫描版答案

中国人民大学附属中学高三模拟考试

数学试题(文科)
第 I 卷(选择题 共 40 分)

2013.5.

一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项. 1.设集合 M ? ? x lg x ? 0? , N ? ? x x ? 2? , 则M ? N ? A. ?1, 2? B. ?1, 2 ? C. ?1, 2? D. ?1, 2?

2.设 a=20.3,b=0.32,c=log20.3,则 a,b,c 的大小关系是 A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.b<c<a

3.已知直线 l1 : (k - 3) x + (4 - k ) y + 1 = 0 与 l2 : 2(k - 3) x - 2 y + 3 = 0 平行,则 k 的值是 A.1 或 3 C.1 或 2 B.1 或 5 D. 3 或 5

4.一几何体的三视图如右图所示,其体积为( )cm3 A. 12 C. 18 B.36 D. 20

5.设等比数列 {an } 的公比为 q ,前 n 项和为 Sn .则“ | q | ? 1 ”是“ S4 ? 2S2 ”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件

6.若向量 a , b 满足 | a |?| b |? 2 ,且 a ? b ? b ? b ? 6 ,则向量 a , b 的夹角为 A.30° B.45°

7. 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ?
an = f ( n? ) ,则 ?an ? 的前 2013 项之和为 6
B. 1 D. 0

?
2

C.60°

D.90°

) 的部分图像如图,设数列 ?an ? 的通项公式为

A. ?1 C.

1 2

1

8.如图所示,正方体 ABCD ? A?B?C ?D? 的棱长为 1, E、F 分别是棱 AA?, CC ? 的中点,过 直线 E、F 的平面分别与棱 BB ?, DD? 交于 M、N,设 BM= x, x ?[0,1] ,给出以下四个命 题: ①当且仅当 x=0 时,四边形 MENF 的周长最大;
1 ②当且仅当 x= 时,四边形 MENF 的面积最小; 2
A' D' N B' F C'

③四棱锥 C ? ? MENF 的体积 V ? h( x ) 为常函数; ④正方体 ABCD ? A?B?C ?D? 被截面 MENF 平分成等体积的 两个多面体.
A B E D M C

以上命题中正确命题的个数 A.4 B.3 C.2 D.1

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填在题中横线上. 9. 已知
a ? 1 ? bi ,其中 a,b 是实数,i 是虚数单位,则 a+bi= 1? i

10. 已知实数 x ??1,9? ,执行如右图所示的流程图,则输出 的 x 不小于 55 的概率为
?x ? 2 y ? 0 ? 11.设不等式组 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 表示的平面区域为 D,若直线 ?y ? 0 ?
2x ? y ? b 上 存 在 区 域 D 上 的 点 , 则 b 的 取 值 范 围

是 . 12. 对长为 800 m 、宽为 600 m 的一块长方形地面进行绿化, 要求四周种花卉,花卉带的宽度相等,中间种草,并且种草 的面积不小于总面积的一半,则花卉带的宽度范围为 ?0,100? (用区间表示). 13.已知离心率为 的椭圆 C1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,抛物线 C2 : y 2 ? 4mx (m ? 0) 的焦 点为 F2 ,设椭圆 C1 与抛物线 C 2 的一个交点为 P ( x ?, y ? ) , PF1 ? ,则椭圆 C1 的标准方程 为 ;抛物线 C 2 的标准方程为 . ;
7 3

1 2

14.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? ?

?2n ? 1, n ? 4; ? n ? N ? , 则 an = 2 ??n ? (a ? 1)n, n ? 5. ?

若 a 5 是 ?an ? 中的最大值,则实数 a 的取值范围是
2

.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin? x ? cos x ?
?? ? 4? , 2? . ? , 2? 和 ? ?3 ? 3

的图象上两相邻最高点的坐标分别为 ?>0 ) (

(Ⅰ)求 ? 的值;
b (Ⅱ)在 ? ABC 中,a,b,c 分别是角 A、B、C 的对边,且 f ( A) ? 2 ,求角 A 的大小及 的 a 取值范围.

16、 (本题满分 13 分) 某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标 值大于或等于 102 的产品为优质品. 现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验, 各生产了 100 件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果: A 配方的频数分布表 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 指标值分组 8 20 42 22 8 频数 B 配方的频数分布表 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 指标值分组 4 12 42 32 10 频数 (Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生产的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

?-2,t<94, y=?2,94≤t<102, ?4,t≥102.
估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率, 并求用 B 配方生产的上述 100 件产品平均一件的利润. 17. (本题满分 14 分) 如图, 已知 AB ? 平面 ACD, DE//AB, ACD 是正三角形, △
AD ? DE ? 2 AB, 且 F 是 CD 的中点.

(Ⅰ)求证:AF//平面 BCE; (Ⅱ)求证:平面 BCE ? 平面 CDE ; (Ⅲ)设平面 BCE ? 平面 ACD = l ,试问直线 l 是否和平 面 ABED 平行,说明理由.

3

18. (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?
2ax ? a 2 ? 1 ( x ? R ) ,其中 a ? R . x2 ? 1

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间与极值.

19. (本题满分 13 分) 已知椭圆 C:
x2 y 2 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率 ,直线 l : x ? y ? 2 ? 0 与以原点为 2 a b 2

圆心,以椭圆 C 的短半轴长为半径的圆相切. (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 M 是椭圆的上顶点,过点 M 分别作直线 MA,MB 交椭圆于 A,B 两点,设两 1 直线的斜率分别为 k1,k2,且 k1+k2=4,证明:直线 AB 过定点 N( ? ,-l). 2 20. (本题满分 14 分) 如图所示,正五边形 ABCDE 的每个顶点对应着一个整 数,且这五个整数 的和为正数.若其 3 个相邻顶点对应 的整数依次为 x、y、z,且 y<0,则要进行如下的操作: 把整数 x、y、z 分别换为 x+y,-y,z+y,称其为一次“求 正”操作.只要五个整数中有负整数,“求正”操作就要继 续进行. (Ⅰ)若 A, B, C , D, E 对应的数分别为 3, ?2, ?2, 4,1 ,写出每一步“求正”操作直到终止; (Ⅱ)若 A, B, C , D, E 对应的数分别为 a, ?4,5,1, 2 ,并且经过两次“求正”操作后终止, 求实数 a 的值; (Ⅲ)判断对任意满足条件的数组,“求正”操作是否经过有限次后就一定能终止?说明 理由。
A B E(z) D(y) C(x)

4

5

6

7

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