福建省武平县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试 数学 Word版含答案

武平一中 2018—2019 学年第二学期半期考
高一数学试题

(考试时间:120 分钟 满分 150 分)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)

一、选择题 (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.)
1. ?ABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,若 a ? 2,b ? 3, B ? 600 ,则角 A 为( )

A.1350

B.1350 或 450

C. 450

D. 300

2.如果 a ? 0,b ? 0 ,那么下列不等式中正确的是( )

A. 1 ? 1 ab

B. ?a ? b

C. a2 ? b2

D. a ? b

3.《九章算术》一书中有如下问题:今有女子善织,日增等尺,七日织 28 尺,第二日,第五

日,第八日所织之和为 15 尺,则第十五日所织尺数为( )

A.13

B.14

C.15

D.16

4.若 ?ABC满足 c ? 2b cos A, 则 ?ABC的形状是( )

A.等腰三角形 B.直角三角形

5.不等式

1 ?1 x?2

的解集是(



A. [2,3]

B. ?2,3?

C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
C. ?? ?,2? ? ?3,??? D. (??,2] ? ?3,???

6.已知{ an }是等差数列,{ bn }是等比数列,若 a1 ?a3 ?a5 ?a7 ?a9 =50,b4 ? b6 ? b14 ? b16 =

625,则 a2 ? a8 =( ) b10

A.4

B. ? 4

C.±4

D.±5

7.在 ?ABC 中, AB ? 7 , AC ? 6 , M 是 BC 的中点, AM ? 4 ,则 BC 等于( )

A. 21

B. 106

C. 69

D. 154

8 . 若点(n ,a n )都在函数 y ? 3x ? 24 图象上,则数列{a n }的前 n 项和最小时的 n 等于
()

A. 7 或 8

B. 7

C. 8

D. 8 或 9

? ? 9.各项均正的数列 an 满足 a1 ? 4 , an?1 ? 2an ? 2n?1 ,则 an 等于( )

A、 n ? 2n?1

B. (n ? 1) ? 2n

C. n ? 2n?1

D、 (n ? 1) ? 2n

10.等比数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,若 S10 ? 10 , S30 ? 70 ,则 S40 等于( )

A. 150

B.-200

C.150 或 -200

D. 400 或 -50

11.

等比数列 ?an ?的各项均正, a2

?

1 4

,其前

n

项和

S

n

? a ? (1 )n ,则 2

1 - 1 ? 1 - 1 ? ??? ? (?1)n?1 1 的值为(



a1 a2 a3 a4

an

A. 2[1 ? (?2)n ] B. 2(1 ? 2n )

C. 2 (1 ? 2n ) 3

D. 2 [1 ? (?2)n ] . 3

? ? ? ? 12. 若数列 an

, bn

的通项公式分别为 an

? (?1) n?2018 a , bn

?

2?

(?1) n?2019 n

,且

an ? bn ,对任意 n ? N * 恒成立,则实数 a 的取值范围是( )

A.

????

1,

1 2

?? ?

B.?? 1,1?

C. ?? 2,1?

D.

????

2,

3 2

?? ?

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)

二、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)
13. 已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 b ? 3 ,三内角 A,B,C
成等差数列,则该三角形的外接圆半径等于________.
14.如图,嵩山上原有一条笔直的山路 BC ,现在又新架设了一条索道 AC ,小李在山脚 B 处 看索道 AC ,发现张角 ?ABC ? 120? ;从 B 处攀登 4 千米到达 D 处,回头

看索道 AC ,发现张角 ?ADC ? 150? ;从 D 处再攀登 8 千米方到达 C 处,则

索道 AC 的长为________千米.

15. 数列 ?an ?满足 a1 ? 1 , a2n?1 ? a2n ? n ? 1 ,则数列?an ?的前 21 项和为

.

16. ?ABC的三边分别为 a,b, c ,且 sin A ? 2 sin B ? 2sin C ,则 cosC 的最小值等



.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.)
17.(本小题满分 10 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a,b, c ,且 a2 ? b2 ? c2 ? bc (1)求角 A ; (2)若 b ? 2,且 ?ABC 的面积为 S ? 2 3 ,求 a 的值.
? ? 18.(本题 12 分)已知不等式 ax2 ? 3x ? 2 ? 0 的解集为 x x ? 1或x ? b .
(1)求实数 a,b 的值;
(2)解不等式 ax2 ? (ac ? b)x ? bc ? 0 (c ? R)
19.(本题 12 分)如图,半圆 O 的直径长为 2,A 为直径的延长线上的一点,OA ? 2 ,B 为半 圆周上的动点,以 AB 为边,向半圆外作等边 ?ABC,设 ?AOB ? ? , 四边形 OACB 的 面积为 f (? ) , (1)求 f (? ) 表达式; (2)求 f (? ) 的最大值.

20.(本题 12 分)已知数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 1 , Sn ? 2an?1. (1)求数列?an ?的通项公式;

(2)当 bn

?

log

3 2

(3an?1

)

时,求数列

?1

? ?

bn

bn?1

? ? ?

的前

n

项和

Tn

.

21.(本题 12 分)在锐角 ?ABC中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, c, 且 3(bsin C ? c ? cosB) ? a tan C
(1)求角 A;
(2)若 ?ABC的面积为 3 ?c 2 ,求实数 ? 的范围。 4

22.已知等差数列?an?的前 n 项和为 Sn , a3 ? 3 , S6 ? 21 ,数列?bn?满足:

b1

?

1 2



bn?1

?

n ?1 2n bn

?n? N *? ,数列?bn?的前 n 项和为Tn

(1)求数列?an?的前 n 项和;

? ? (2)求数列 bn 的通项公式及前 n 项和Tn ;

(3)记集合 M

?

??n ?

S

n

(2

?

Tn

)

?

(n ? 2)? 2

,

n

?

N

*

? ?

,若

M

的子集个数为

32,

?

求实数 ? 的

取值范围.

参考答案

一、选择题 (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 选择 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C A B C B A B A 二、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)

13. 1

14. 4 13

15. 66

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.)

6? 2

16.

4

17.解:(1)? cosA ?

b2

? c2 ? a2 2bc

,又 a2

? b2 ? c2

? bc -------2 分

?

cos

A

?

?

1 2

-----4





0

?

A

??

,?

A

?

2? 3

-------5 分

11 12 DD

(2) S ?ABC

?

1 bcsin A ? 2

1 bcsin 2?

2

3

?

3 bc ,又 S ? 2 4

3 , b ? 2,?c ? 4 ----9 分

?a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 28 ,故 a ? 2 7 -----10 分

18.解:(1)由题意可知

解得 a=1,b=2--------5 分

(2)不等式 ax2 ? (ac ? b)x ? bc ? 0 ,即 x2 ? (c ? 2)x ? 2c ? 0 ,所以 (x ? 2)(x ? c) ? 0

若 ,不等式的解集为 ?c,2?; ,不等式的解集为?2?; ,不等式的解集为?2, c?.(11

分) 综上:若

,不等式的解集为 ?c,2?; ,不等式的解集为?2?; ,不等式的解集为?2, c?.

(12 分)

19.解:(1)在 ?AOB 中, AB2 ? OA2 ? OB2 ? 2OA? OBcos? ? 5 ? 4cos? ,

? f (? ) ? S?AOB ? S?ABC ? sin ? ?

3 cos? ? 5 3 ? 2sin(? ? ? ) ? 5 3 (0 ? ? ? ? ) (6

4

34

分)

(2)? f (? ) ? 2sin(? ? ? ) ? 5 3 ,?0 ? ? ? ? ,? ? ? ? ? ? ? ? 2? ,

34

3

33

?? ? 5? 时, f (? ) 的最大值为 2 ? 5 3 .(12 分)

6

4

20、解:(1)? sn ? 2an?1 , ? sn?1 ? 2an (n ? 2) ,得

sn

? sn?1

?

2an?1

?

2an

,?

a n ?1 an

?

3 2

(n

?

2)

,又

a1

? 1,? a2 a1

?

3 .故 2

?1, (n ? 1)

an

?

?

?1

? ?

2

? ?? 3 ??n?2 , (n ?2?

?

-------6 分 2)

(2)

bn

?

log 3 (3an?1)
2

?

n ,? 1 bn bn ?1

? 1 ?1? 1 n(n ? 1) n n ? 1

?Tn

?1?

1 2

?

1 2

?

1 3

? ???

1 n

?

1 n ?1

?1?

1 ---12 n ?1



21. 解:(1)? 3(b sin C ? c cosB ) ? a .? 3(sin B sin C ? cos B cosC) ? sin A tan C
? ? 3 cos(B ? C) ? sin A ,? 3 cos A ? sin A ? tan A ? 3 ,A 为锐角,? A ? ? ----6 3



(2)? S ? 1 bc sin A ? 3 ?c2 ,? 3 bc ? 3 ?c 2 ,

2

4

4

4

??

?

b

?

sin B

?

sin( 2? 3

? C)

=

3 cosC ? 1 sin C

2

2

?

3

1

?1,

c sin C

sin C

sin C

2 tan C 2

? 0 ? 2? ? C ? ? ,? ? ? C ? ? ,? tan C ? 3 ,?0 ? 1 ? 3 ,

3

26

2

3

tan C

所以实数 ? 的范围是 1 ? ? ? 2 .---12 分 2

22.解:(1)设数列

?an

?

的公差为

d,则:

?a1 ? 2d ? ??6a1 ?15d

3 ?

解得{ 21

a1 d

? ?

1 1

?an ? n ,

Sn

?

n2 ? 2

n

--3



(2)由题意得 bn?1 ? 1 ? n ?1 -----5 分 bn 2 n



n

?

2 时 bn

?

bn bn?1

?

bn?1 bn?2

???

b2 b1

? b1

?

? ??

1 2

n
? ??

? ???

n? n ?1

n ?1 n?2

???

2 1

? ??

?

n 2n

又 b1

?

1 2

也满足上

式,故 bn

?

n 2n

故 Tn

?

1 2

?

2 22

?

3 33

???

n 2n

——①

1 2 Tn

?

1 22

?

2 33

???

n ?1 ? 2n

n 2n?1

——②

①-②得:

1 2 Tn

?

1 2

?

1 22

?

1 23

???

1 2n

?

n 2n?1



1 2

???1 ?

1 2n

1? 1

? ??

?

n 2n?1

?1?

n?2 2n?1

2

?Tn

?

2?

n?2 2n

-------8



(3)由题意得 ? ? 2Sn (2 ? Tn ) ,由(1)(2)知: n?2

2S

n ?2 ? Tn
n?2

?

?

n2 ? 2n

n

,令

f

?n?

?

n2 ? 2n

n

,

n?

N

*

则 f ?1? ?1, f ?2? ? 3 , f ?3? ? 3 , f ?4? ? 5 , f ?5? ? 15 , f (6) ? 21 ,

2

2

4

16

32

f

?n ?1? ?

f

?n?

?

?n ?1?2 ? n ?1

2n?1

?

n2 ? n 2n

?

?n ?1??2 ? n?
2n?1

?当 n ? 3 时 f ?n ?1? ? f ?n? ? 0 , f ?n ?1? ? f ?n?

集合 M 的子集个数为 32 ?M 中的元素个数为 5,

?

n2 ? 2n

n

?

?,n

?

N

* 的解的个数为

5,故

21 32

?

?

?

15 16

---12




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