丰润区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________

丰润区第二中学 2018-2019 学年高三上学期 11 月月考数学试卷含答案

一、选择题

1. 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球,从中摸出 1 个球,摸出红球的概率是 0.42,摸出白球的概

率是 0.28,那么摸出黒球的概率是( )

A.0.42 B.0.28 C.0.3 D.0.7

 

2. 设 Sn 是等比数列{an} 的前项和, S4 ? 5S2 ,则此数列的公比 q ? (



A.-2 或-1

B.1 或 2

C. ?1或 2

D. ?2 或-1

3. 下列命题中错误的是( )

A.圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个

B.圆锥的轴截面是所在过顶点的截面中面积最大的一个

C.圆台的所有平行于底面的截面都是圆面

D.圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形  

4. 已知双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=1 相切,则双曲线的离心率为(



A. B. C. D.

 

5. 抛物线 y2=2x 的焦点到直线 x﹣ y=0 的距离是(



A. B. C. D.

6. 由两个 1,两个 2,两个 3 组成的 6 位数的个数为( ) A.45 B.90 C.120 D.360 7. 若某算法框图如图所示,则输出的结果为( )

A.7 B.15 C.31 D.63  
8. 复数 =( )

A.

B.

C.

D.

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9.

设 Sn 为数列{an}的前 n 项的和,且 Sn

?

3 2 (an

?1)(n ? N*) ,则 an

?(



A. 3(3n ? 2n )

B. 3n ? 2

C. 3n

D. 3? 2n?1

10.已知某运动物体的位移随时间变化的函数关系为

数列{an}是(



A.公差为 a 的等差数列 B.公差为﹣a 的等差数列

入 入 ,设物体第 n 秒内的位移为 an,则 入入 N

C.公比为 a 的等比数列 D.公比为 的等比数列

n=1,x=0

 

11.数列{an}的首项 a1=1,an+1=an+2n,则 a5=(



n=n+1

A. B.20 C.21 D.31

n<N



1

x=x+

n(n+1)

12.5 名运动员争夺 3 项比赛冠军(每项比赛无并列冠军),获得冠军的入可能种数为(



A.35

B.

C.

入 入Dx.53

 

二、填空题

入入

13.若实数 a,b, c, d 满足 b ? a2 ? 4 ln a ? 2c ? d ? 2 ? 0 ,则 ?a ? c?2 ? ?b ? d ?2 的最小值为 ▲ .

14.函数 f ? x? ? xex 在点 ?1, f ?1?? 处的切线的斜率是

.

15.以点(1,3)和(5,﹣1)为端点的线段的中垂线的方程是      .

16.设函数 f(x)=

,则 f(f(﹣2))的值为  .

17.Sn=

+

+…+

=  .

18.已知过球面上 A, B,C 三点的截面和球心的距离是球半径的一半,且
AB ? BC ? CA ? 2 ,则
球表面积是_________.
三、解答题
19.已知数列 a1,a2,…a30,其中 a1,a2,…a10,是首项为 1,公差为 1 的等差数列;列 a10,a11,…a20,是公 差为 d 的等差数列;a20,a21,…a30,是公差为 d2 的等差数列(d≠0). (1)若 a20=40,求 d; (2)试写出 a30 关于 d 的关系式,并求 a30 的取值范围; (3)续写已知数列,使得 a30,a31,…a40,是公差为 d3 的等差数列,…,依此类推,把已知数列推广为无穷数 列.提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例),并进行研究,你能得到什么样的结论?  

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20.(1)直线 l 的方程为(a+1)x+y+2﹣a=0(a∈R).若 l 在两坐标轴上的截距相等,求 a 的值; (2)已知 A(﹣2,4),B(4,0),且 AB 是圆 C 的直径,求圆 C 的标准方程.

21.(本题满分 13 分)已知函数 f (x) ? 1 ax2 ? 2x ? ln x . 2
(1)当 a ? 0 时,求 f (x) 的极值; (2)若 f (x) 在区间[1 ,2] 上是增函数,求实数 a 的取值范围.
3
【命题意图】本题考查利用导数知识求函数的极值及利用导数来研究函数单调性问题,本题渗透了分类讨论思 想,化归思想的考查,对运算能力、函数的构建能力要求高,难度大.

22.已知集合 A={x|x2+2x<0},B={x|y=

}

(1)求(?RA)∩B;

(2)若集合 C={x|a<x<2a+1}且 C?A,求 a 的取值范围.

23.【常熟中学 2018 届高三 10 月阶段性抽测(一)】已知函数 f ? x? ? ?x2 ? ax ? lnx ?a ? R ? . (1)若函数 f ? x? 是单调递减函数,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 f ? x? 在区间 ?0,3? 上既有极大值又有极小值,求实数 a 的取值范围.
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24.已知直线 l:x﹣y+9=0,椭圆 E: + =1, (1)过点 M( , )且被 M 点平分的弦所在直线的方程; (2)P 是椭圆 E 上的一点,F1、F2 是椭圆 E 的两个焦点,当 P 在何位置时,∠F1PF2 最大,并说明理由; (3)求与椭圆 E 有公共焦点,与直线 l 有公共点,且长轴长最小的椭圆方程.  
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丰润区第二中学 2018-2019 学年高三上学期 11 月月考数学试卷含答案(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C

【解析】解:∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出 1 个球,

在口袋中摸球,摸到红球,摸到黑球,摸到白球这三个事件是互斥的

摸出红球的概率是 0.42,摸出白球的概率是 0.28,

∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件,

∴摸出黑球的概率是 1﹣0.42﹣0.28=0.3,

故选 C.

【点评】本题考查互斥事件的概率,注意分清互斥事件与对立事件之间的关系,本题是一个简单的数字运算问

题,只要细心做,这是一个一定会得分的题目.   2. 【答案】D

【解析】

试题分析:当公比 q ? ?1时, S4

? 5S2

? 0 ,成立.当 q

?

?1

时,

S4

,

S2

都不等于,所以

S4

? S2

S2

? q2

? 4,

? q ? ?2 ,故选 D.

考点:等比数列的性质.

3. 【答案】 B

【解析】解:对于 A,设圆柱的底面半径为 r,高为 h,设圆柱的过母线的截面四边形在圆柱底面的边长为 a,

则截面面积 S=ah≤2rh.

∴当 a=2r 时截面面积最大,即轴截面面积最大,故 A 正确.

对于 B,设圆锥 SO 的底面半径为 r,高为 h,过圆锥定点的截面在底面的边长为 AB=a,则 O 到 AB 的距离为



∴截面三角形 SAB 的高为

,∴截面面积 S=

=



=



故截面的最大面积为

.故 B 错误.

对于 C,由圆台的结构特征可知平行于底面的截面截圆台,所得几何体仍是圆台,故截面为圆面,故 C 正确.

对于 D,由于圆锥的所有母线长都相等,轴截面的底面边长为圆锥底面的直径,故圆锥所有的轴截面是全等的 等腰三角形,故 D 正确. 故选:B. 【点评】本题考查了旋转体的结构特征,属于中档题.  

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4. 【答案】D 【解析】解:双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± x,即 x±y=0. 根据圆(x﹣2)2+y2=1 的圆心(2,0)到切线的距离等于半径 1,

可得,1=

,∴ = ,

,可得 e= .
故此双曲线的离心率为: . 故选 D. 【点评】本题考查点到直线的距离公式,双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,求出 的值,是 解题的关键.   5. 【答案】C

【解析】解:抛物线 y2=2x 的焦点 F( ,0), 由点到直线的距离公式可知:

F 到直线 x﹣ y=0 的距离 d=

=,

故答案选:C.   6. 【答案】B 【解析】解:问题等价于从 6 个位置中各选出 2 个位置填上相同的 1,2,3, 所以由分步计数原理有:C62C42C22=90 个不同的六位数, 故选:B. 【点评】本题考查了分步计数原理,关键是转化,属于中档题.   7. 【答案】 D 【解析】解:模拟执行算法框图,可得 A=1,B=1 满足条件 A≤5,B=3,A=2 满足条件 A≤5,B=7,A=3 满足条件 A≤5,B=15,A=4 满足条件 A≤5,B=31,A=5 满足条件 A≤5,B=63,A=6 不满足条件 A≤5,退出循环,输出 B 的值为 63.

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故选:D.
【点评】本题主要考查了程序框图和算法,正确得到每次循环 A,B 的值是解题的关键,属于基础题.   8. 【答案】A

【解析】解:

=

=

=



故选 A.

【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算,本题解题的关键是掌握除法的运算法则,本题是一个基础题.   9. 【答案】C

【解析】

???a1 ? ???a1

? ?

S1 a2

? ?

3 2 3 2

(a1 (a2

?1) ?1)



??a1 ?a2

? ?

3 9



经代入选项检验,只有 C 符合.

10.【答案】A

【解析】解:∵



∴an=S(n)﹣s(n﹣1)=

=

∴an﹣an﹣1=

=a

∴数列{an}是以 a 为公差的等差数列 故选 A 【点评】本题主要考察了数列的递推公式求解数列的通项公式,等差数列的定义的应用,属于数列知识的简单 应用   11.【答案】C 【解析】解:由 an+1=an+2n,得 an+1﹣an=2n,又 a1=1, ∴a5=(a5﹣a4)+(a4﹣a3)+(a3﹣a2)+(a2﹣a1)+a1 =2(4+3+2+1)+1=21. 故选:C. 【点评】本题考查数列递推式,训练了累加法求数列的通项公式,是基础题.   12.【答案】D 【解析】解:每一项冠军的情况都有 5 种,故 5 名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是 53,

故选:D. 【点评】本题主要考查分步计数原理的应用,属于基础题.

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二、填空题
13.【答案】5 【解析】



点:利用导数求最值 【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤:第一步:利用 f′(x)>0 或 f′(x)<0 求单调区间;第 二步:解 f′(x)=0 得两个根 x1、x2;第三步:比较两根同区间端点的大小;第四步:求极值;第五步:比 较极值同端点值的大小.
14.【答案】 2e
【解析】
试题分析:Q f ? x? ? xex ,? f '? x? ? ex ? xex ,则 f '?1? ? 2e ,故答案为 2e .
考点:利用导数求曲线上某点切线斜率. 15.【答案】 x﹣y﹣2=0 .
【解析】解:直线 AB 的斜率 kAB=﹣1,所以线段 AB 的中垂线得斜率 k=1,又线段 AB 的中点为(3,1),
所以线段 AB 的中垂线得方程为 y﹣1=x﹣3 即 x﹣y﹣2=0, 故答案为 x﹣y﹣2=0. 【点评】本题考查利用点斜式求直线的方程的方法,此外,本题还可以利用线段的中垂线的性质(中垂线上的 点到线段的 2 个端点距离相等)来求中垂线的方程.   16.【答案】 ﹣4 .

【解析】解:∵函数 f(x)=

∴f(﹣2)=4﹣2= ,

f(f(﹣2))=f( )=
故答案为:﹣4.   17.【答案】

=﹣4.

【解析】解:∵

=

, =(



),

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∴Sn=

+

+…+

= [(1﹣ )+( ﹣ )+( ﹣ )+…+(



)= (1﹣



=



故答案为:



【点评】本题主要考查利用裂项法进行数列求和,属于中档题.  
18.【答案】 64? 9
【解析】111]

考点:球的体积和表面积. 【方法点晴】本题主要考查了球的表面积和体积的问题,其中解答中涉及到截面圆圆心与球心的连线垂直于截 面,球的性质、球的表面积公式等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,属于中档 试题,本题的解答中熟记球的截面圆圆心的性质,求出球的半径是解答的关键.
三、解答题
19.【答案】

【解析】解:(1)a10=1+9=10.a20=10+10d=40,∴d=3. (2)a30=a20+10d2=10(1+d+d2)(d≠0),

a30=10



当 d∈(﹣∞,0)∪(0,+∞)时,a30∈[7.5,+∞) (3)所给数列可推广为无穷数列{an], 其中 a1,a2,…,a10 是首项为 1,公差为 1 的等差数列, 当 n≥1 时,数列 a10n,a10n+1,…,a10(n+1)是公差为 dn 的等差数列. 研究的问题可以是:试写出 a10(n+1)关于 d 的关系式,并求 a10(n+1)的取值范围. 研究的结论可以是:由 a40=a30+10d3=10(1+d+d2+d3),

依此类推可得 a10(n+1)=10(1+d+…+dn)=



当 d>0 时,a10(n+1)的取值范围为(10,+∞)等.

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【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的性质解决实际问题,会根据特例总结归纳出一般性的规律,是一道
中档题.  

20.【答案】 【解析】解:(1)当 a=﹣1 时,直线化为 y+3=0,不符合条件,应舍去;

当 a≠﹣1 时,分别令 x=0,y=0,解得与坐标轴的交点(0,a﹣2),( ,0).

∵直线 l 在两坐标轴上的截距相等,

∴a﹣2= ,解得 a=2 或 a=0;

(2)∵A(﹣2,4),B(4,0),

∴线段 AB 的中点 C 坐标为(1,2).

又∵|AB|=



∴所求圆的半径 r= |AB|= .

因此,以线段 AB 为直径的圆 C 的标准方程为(x﹣1)2+(y﹣2)2=13.

 

21.【答案】

【解析】(1)函数的定义域为 (0,??) ,因为 f (x) ? 1 ax2 ? 2x ? ln x ,当 a ? 0 时, f (x) ? 2x ? ln x ,则 2

f '(x) ? 2 ? 1 .令 f '(x) ? 2 ? 1 ? 0 ,得 x ? 1 .…………2 分

x

x

2

所以 x, f '(x), f (x) 的变化情况如下表:

x (0, 1) 1 (1 ,??) 222

f '(x) -

0



f (x) ↘ 极小值 ↗

所以当

x

?

1

时,

f

(x)

的极小值为

f

1 ()

?1?

ln

2 ,函数无极大值.………………5



2

2

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22.【答案】

【解析】解:(1)A={x|x2+2x<0}={x|﹣2<x<0},

B={x|y=

}={x|x+1≥0}={x|x≥﹣1},

∴?RA={x|x≤﹣2 或 x≥0},

∴(?RA)∩B={x|x≥0};…

(2)当 a≥2a+1 时,C=?,此时 a≤﹣1 满足题意;

当 a<2a+1 时,C≠?,

应满足



解得﹣1<a≤﹣ ;

综上,a 的取值范围是

.…

 
23.【答案】(1) a ? 2 2 ;(2) 2 2 ? a ? 19 . 3
【解析】试题分析:
(1)原问题等价于 f ?? x? ? 0 对 ?0, ??? 恒成立,即 a ? 2x ? 1 对 ?0, ??? 恒成立,结合均值不等式的结论可
x 得a?2 2;

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(2)由题意可知 f ?? x? ? ?2x2 ? ax ?1 ? 0 在 ?0,3? 上有两个相异实根,结合二次函数根的分布可得实数 a 的
x 取值范围是 2 2 ? a ? 19 .
3
试题解析:

(2)∵函数 f ? x? 在 ?0,3? 上既有极大值又有极小值,

∴ f ?? x? ? ?2x2 ? ax ?1 ? 0 在 ?0,3? 上有两个相异实根,
x
即 2x2 ? ax ?1 ? 0 在 ?0,3? 上有两个相异实根,

??0



g

?x?

?

2x2

?

ax

?1

0 ,则{

?

a 4

?

3

a ,得{

?2 2或a 2 0 ? a ? 12

2



g ?0? ? 0 g ?3? ? 0

a ? 19 3

即 2 2 ? a ? 19 . 3

24.【答案】

【解析】解:(1)设以点 M( , )为中点的弦的端点为 A(x1,y1),B(x2,y2), ∴x1+x2=1,y1+y2=1, 把 A(x1,y1),B(x2,y2)代入椭圆 E: + =1,



,∴kAB=

=﹣

=﹣ ,

∴直线 AB 的方程为 y﹣ =﹣ (x﹣ ),即 2x+8y﹣5=0. (2)设|PF1|=r1,|PF2|=r1,

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则 cos∠F1PF2=

=

﹣1=

﹣1=

﹣1,

又 r1r2≤(

)2=a2(当且仅当 r1=r2 时取等号)

∴当 r1=r2=a,即 P(0,

)时,cos∠F1PF2 最小,

又∠F1PF2∈(0,π),∴当 P 为短轴端点时,∠F1PF2 最大.

(3)∵ =12, =3,∴ =9.

则由题意,设所求的椭圆方程为 +

=1(a2>9),

将 y=x+9 代入上述椭圆方程,消去 y,得(2a2﹣9)x2+18a2x+90a2﹣a4=0, 依题意△=(18a2)2﹣4(2a2﹣9)(90a2﹣a4)≥0, 化简得(a2﹣45)(a2﹣9)≥0, ∵a2﹣9>0,∴a2≥45,

故所求的椭圆方程为

=1.

【点评】本题考查直线方程、椭圆方程的求法,考查当 P 在何位置时,∠F1PF2 最大的判断与求法,是中档题
,解题时要认真审题,注意根的判别式、余弦定理、椭圆性质的合理运用.  

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