高中数学第三章指数函数和对数函数第2节指数扩充及其运算性质第2课时基础知识素材北师大版必修1

2.2 指数运算的性质 1.掌握幂的运算性质. 2.能够熟练地进行指数的运算. 指数幂的运算性质 当 a>0,b>0 时,对任意实数 m,n 都满足以下三条: m n (1)a ·a =________________________; m n (2)(a ) =________________________; n (3)(ab) =______________________. 指数幂运算性质的语言叙述为: (1)两个同底数的幂相乘,底数不变,指数相加; (2)幂的乘方,底数不变,指数相乘; (3)两个实数积的幂等于它们幂的积. 【做一做 1-1】 计算:3 3 × 32? 3 =__________. ? 1 2 【做一做 1-2】 计算:100 ?81? ? 3 -? ? 4 =__________. ?16? 答案:(1)a m+n (2)a mn (3)a b 3 n n 【做一做 1-1】 9 3 3 ? 32? ? 32 ? 9 . 53 【做一做 1-2】 - 270 ? 1 2 100 ? 1 2 ? 81 ? ?? ? ? 16 ? ?3 ? 3 4 ? (102 ) ?? 3 ?4 ? ? ?? ? ? ? ?? 2 ? ? ? ? 3 4 1 8 53 ? 3? ? 10?1 ? ? ? ? ? ?? 10 27 270 ? 2? 为什么指数幂运算性质中规定了 a>0,b>0? m n m 剖析: 这是由分数指数幂的定义决定的, 因为我们规定 a>0 时 a n = a 表示一个根式, 负数的分数指数幂的意义并没有定义, 指数幂的运算性质不作这样的限制的话, 就会出现运 算上的错误. 3 1 2 6 2 6 例如:-2= -8=(-8) 3 =(-8) 6 = ?-8? = 64=2.显然这是错误的. 1 题型一 根式的运算 【例 1】 求下列各式的值: 6 (1) ?3-π ? ; (2) 81? 9 3 ; 3 4 6 4 2 (3)( 25- 125)÷ 5; (4) a2 3 (a>0). 2 a· a 分析: 将根式化为分数指数幂形式, 利用分数指数幂的运算性质计算是根式运算中经常 采用的方法. 反思:对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的 形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式. 题型二 指数幂(根式)的运算 【例 2】 计算下列各式: 1 4 1 ? ? 7?0 3 ? -0.75 (1)(0.064) 3 -?- ? +[(-2) ] 3 +16 +|-0.01| 2 ; ? 8? (2) a 2 a ?3 ÷ 3 9 3 3 a-7· a13(a>0). 分析:(1)将负分数指数化为正分数指数,将小数指数化为分数指数. (2)将根式化为分数指数幂. 反思: 进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质, 并灵活运用. 一般地, 进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数运算,同时还 要注意运算顺序问题. 题型三 条件求值问题 【例 3】 已知 a 2 ? a -1 2 1 ? 1 2 ? 5 ,求下列各式的值: 2 -2 (1)a+a ;(2)a +a ;(3)a -a . 分析:解答本题可从整体上寻求各式与条件 a 2 ? a 1 ? 1 2 -2 ? 5 的联系,进而整体代入求值. 反思:1.条件求值是代数式求值中的常见题型,一般要结合已知条件先化简再求值,另 外要特别注意条件的应用,如条件中的隐含条件、整体代入等,可以简化解题过程.本题若 通过 a 2 ? a 1 ? 1 2 ? 5 解出 a 的值代入求值则非常复杂. 2.解决此类问题的一般步骤是: 2 答案:【例 1】 解:(1)原式=|3-π |=π -3; (2)原式= [34 ? (33 ) 2 ]4 ? (3 4? 2 1 3 4 4 1 1 ) ? 33 14 1 ? 4 ? 36 ? 3 6 3 ; 3 1 7 (3)原式= (5 3 ? 5 2 ) ? 5 4 ? 53 ? 54 ? 52 ? 54 ? 53 2 1 ? 4 2 1 3 1 2 ? 52 3 1 ? 4 ? 512 ? 5 4 5 5 ? 12 55 ? 4 55 ; (4)原式= a2 a2 ? a3 1 2 ?a 1 2 2? ? 2 3 ? a 6 ? 6 a5 . 5 【例 2】 解:(1)原式=[(0.4) ] 1 1 143 + + +0.1= . 16 8 80 (2)原式= ? [a 3 2 ? a 3 1 9 ? 1 3 ?( ? ) 2 3 ? 1 3 -1+(-2) +(2 ) -4 4 -0.75 +[(0.1) ] 2 =(0.4) -1 2 1 -1 ] ? [a 2 ? 1 2 1 7 ?( ? ) 3 ? a2 3 ] ? a6 1 13 ? 9 3 7 13 ? ? ? 6 6 6 ? a0 ? 1 . 【例 3】 解:(1)将 a 2 ? a -1 1 ? 5 的两边平方, 得 a+a +2=5,即 a+a =3. -1 2 -2 (2)由 a+a =3,两边平方,得 a +a +2=9, 2 -2 ∴a +a =7. 2 -2 (3)设 y=a -a ,两边平方,得 2 4 -4 y =a +a -2=(a2+a-2)2-4=72-4=45. 2 -2 ∴y=±3 5,即 a -a =±3 5. -1 1 下列各式运算错误 的是( ). .. 2 2 2 3 7 8 A.(-a b) ·(-ab ) =-a b 2 3 3 2 3 3 3 B.(-a b ) ÷(-ab ) =a b 3 2 2

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