椭圆及其标准方程导学案

§2.1.1 椭圆及其标准方程(一) 教学目标: 1.了解椭圆的实际背景,通过作图探究抽象出椭圆的定义,了解椭圆标准方程的推 导及化简过程. 2.掌握椭圆的定义及其标准方程. 教学重点:椭圆的定义和标准方程的理解与应用. 教学难点:椭圆标准方程的灵活运用.
【课前知识准备】 1.平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹是 2.圆心为 (0,0) ,半径为 4 的圆的标准方程是 3.若直线过 ( 4,0) , (0,3) 两点,则该直线的截距式方程为 . . .

【课前探究活动】 (1)准备:同桌两人一组,准备画板一个、A4 纸一张、细绳一段、图钉两个 和铅笔一枝; (2)具体活动:将无弹性细绳的两端拉开一段距离,分别固定在画板上的 F1 , F2 两 图钉处,用铅笔把细绳拉紧,使铅笔(动点 M )在画纸上慢慢移动形成轨迹.

火眼金睛 ? 思与论
问题 1:你作出的点的轨迹是什么图形? ①在作图过程中,哪些点的位置不变,哪些距离改变,哪些量不变? ②改变细绳两端点的距离 | F1 F2 | ,使其等于绳长(常数) ,画出的轨迹又是什 么? ③当绳长(常数)小于两图钉间的距离 | F1 F2 | 时,还能画出轨迹吗? 新知 1:椭圆的定义 平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数(大于 | F1 F2 | )的点的轨迹叫 作 ,定点 F1 , F2 叫做 ,两焦点间的距离 | F1 F2 | 叫做
王新敞
奎屯 新疆

辨析 1:若 F1 , F2 是定点,且 | F1F2 |? 6 ,动点 M 满足 MF1 ? MF2 ? 8 ,则点 M
1

的轨迹是( ) A.圆

B.椭圆

C. 线段

D. 不存在

问题 2:如何求椭圆的方程?(提示:类比求圆的轨迹方程的方法)

M

新知 2:椭圆的标准方程为

( 【心得交流】①焦点在 轴上且坐标分别是 F1 ( ,

) ), F2 ( . , );

② a, b, c 的关系为: 辨析 2:根据下列椭圆方程,说出方程中 a 、 b 、 c 的值. (1)
x2 y2 ? ? 1; 25 9

(2)

x2 y2 ? ? 1; 169 144

(3)

y2 x2 ? ? 1. 144 169

问题 3:回顾椭圆方程的探求过程,若把两焦点 F1 、 F2 放在 y 轴上恰当的位置,椭 圆的方程又是什么呢?
y

M

F2

0

x

问题 4:根据椭圆的标准方程,如何判断焦点的位置?

F1

辨析 3:判断下列方程表示的轨迹是否为椭圆;若是,判定焦点的位置并写出焦 点的坐标.
2

(1)

x y ? ? 1; 4 3

(2)

x2 y2 ? ? 1; 16 16

(3)

x2 y2 ? ? 1; 16 9

(4) x 2 ?

y2 ? 1; 2

(5) 9 y 2 ? 16x 2 ? 144.

【心得交流】椭圆标准方程的特点: ①标准方程的左边是两个平方的 ②焦点在分母 ③ a, b, c 中

,右边是



的变量所对应的轴上; 最大.

真知灼见 ?

讲与练

练习: 根据下列条件求出椭圆的标准方程并写出椭圆的焦点坐标. (1) a ? 4, b ? 1 ,焦点在 x 轴上; (2) a ? 4, c ? 15 ,焦点在 y 轴上;

例 1:已知椭圆两焦点的坐标分别是 ?? 4,0? 、 ?4,0? ,且椭圆上一点 P 到两焦点
3

的距离之和等于 10,求该椭圆的标准方程.

? 3 5? 变式:已知椭圆的两个焦点的坐标分别是 ?0, 2? 、 ?0,? ,且经过点 ? ? , ? , ? 2 ? 2 2?

求椭圆的标准方程.

反思小结:通过本节课 我学到的知识是 我掌握的方法有 我加强的数学思想有 拓展练习: 1. 已知椭圆方程为 A.6 2. 已知椭圆
x2 y2 ? ? 1 ,则这个椭圆的焦距为( 23 32

).

B.3

C. 3 5

D. 6 5

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3,则 P 到另一个焦 25 16

点的距离为( ). A.2 B.3 C. 5 课后作业:1.课本 49 页习题 2.1 第 2 题
? 3 5? 探究:已知椭圆经过两点 ? ? , ? 、 ? 2 2?

D. 7

? 3,5 ?,怎样求该椭圆的标准方程?
4


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