2010届高三数学专题讲座复习5 数学方法

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高考中常用数学的方法 ------配方法、待定系数法、换元法
一、知识整合 配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法.这些方法是数学思想的具体体现,是解决问 题的手段,它不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有实施的步骤和作法.
[ 来源 学 科 网 [来源 学 科 网Z& X&X &K] : + + ] : & &

配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成 “完全平方” 的恒等变形,使问题的结构 发生了转化,从中可找到已知与未知之间的联系,促成问题的解决. 待定系数法的实质是方程的思想,这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中,从而通过 解方程(或方程组)求得未知数. 质是转化. 二、例题解析 例 1. 已知长方体的全面积为 11,其 12 条棱的长度之和为 24,则这个长方体的一条对角线长为(
源: 学 科网ZX XK] [ 来源 xxk .Co m] :Z

换元法是一种变量代换,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,从而使问题得到简化,换元的实

).

[来

(A) 2 3

(B) 14

(C)5

(D)6

分析及解:设长方体三条棱长分别为 x,y,z,则依条件得: 2(xy+yz+zx)=11,4(x+y+z)=24.而欲求的对角线长为

x 2 ? y 2 ? z 2 ,因此需将对称式 x 2 ? y 2 ? z 2 写成基

本 对 称 式 x+y+z 及 xy+yz+zx 的 组 合 形 式 , 完 成 这 种 组 合 的 常 用 手 段 是 配 方 法 . 故

x 2 ? y 2 ? z 2 ? ( x ? y ? z ) 2 ? 2( xy ? yz ? xz) =62 -11=25


x 2 ? y 2 ? z 2 ? 5 ,应选 C.

例 2. F1 和 F2 为双曲线 设 ( ). (A)1 (B)

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上且满足∠F1 PF2 =90°,则Δ F1 PF2 的面积是 4

5 2

(C)2

(D) 5

[来 源:学|科|网Z |X| X|K ]

分析及解:欲求 S ?PF1F2 ?
2

1 | PF1 | ? | PF2 | 2
2

(1),而由已知能得到什么呢? (2), (3),那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系

由∠F1 PF2 =90°,得 | PF1 | ? | PF2 | ? 20 又根据双曲线的定义得|PF1 |-|PF2 |=4

呢 ? 我 们 发 现 将 (3) 式 完 全 平 方 , 即 可 找 到 三 个 式 子 之 间 的 关 系 . 即

|| PF1 | ? | PF2 || 2 ?| PF1 | 2 ? | PF2 | 2 ?2 | PF1 | ? | PF2 |? 16 ,
故 | PF1 | ? | PF2 |?

1 1 (| PF1 | 2 ? | PF2 | 2 ?16) ? ? 4 ? 2 2 2
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S ?PF1F2 ?

1 | PF1 | ? | PF2 |? 1 ,∴ 选(A). 2
[ 来源 学 科 网 : & & ]

注: 配 方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化.

例 3.设双曲线的中心是坐标原点,准线平行于 x 轴,离心率为 的最近距离是 2,求双曲线方程. 分析及解:由题意可设双曲线方程为

5 ,已知点 P(0,5)到该双曲线上的点 2

y2 x2 5 ,∴a=2b,因此所求双曲线方程可写成: ? 2 ? 1 ,∵ e ? 2 2 a b

y 2 ? 4x 2 ? a 2

(1),故只需求出 a 可求解.

设双曲线上点 Q 的坐标为(x,y),则|PQ|=

x 2 ? ( y ? 5) 2
2

(2),∵点 Q(x,y)在双曲线上,∴(x,y)满足

(1)式,代 入(2)得|PQ|= 其最小值即可求解.

y2 a2 ? ? ( y ? 5) 2 4 4

(3),此时|PQ| 表示为变量 y 的二次函数,利用配方法求出

5 a2 2 由(3)式有 | PQ | ? ( y ? 4) ? 5 ? (y≥a 或 y≤-a). 4 4
2

二次曲线的对称轴为 y=4,而函数的定义域 y≥a 或 y≤-a,因此,需对 a≤4 与 a>4 分类讨论. (1)当 a≤4 时,如图(1)可知函数在 y=4 处取得最小值, ∴令 5 ?

a2 ? 4 ,得 a2 =4 4 y2 ? x2 ? 1. 4

∴所求双曲线方程为

[ 来源 学 ] : 科网

(2)当 a>4 时,如图(2)可知函数在 y=a 处取得最小值,

[来 源:Zx xk. Com ]

5 a2 2 ? 4 ,得 a2 =49, ∴令 (a ? 4) ? 5 ? 4 4
∴所求双曲线方程为

[来源 学。 网 Z。X。X。K] : 科。

y 2 4x 2 ? ? 1. 49 49

注: 此题是利用待定系数法求解双曲线方程的,其中利用配方法求解二次函数的最值问题,由于二次函 数的定义域与参数 a 有关,因此需对字母 a 的取值分类讨论,从而得到两个解,同学们在解答数习题时应学 会综合运用数学思想方法解题. 例 4.设 f(x)是一次函数,且其在定义域内是增函数,又 f
?1

[f

?1

( x)] ? 4 x ? 12 ,试求 f(x)的表达式.

分析及解:因为此函数的模式已知,故此题需用待定系数法求出函数表达式. 设一次函数 y=f(x)=ax+b (a>0),可知

f ?1 ( x) ?

1 ( x ? b) , a

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∴ f

?1

[ f ?1 ( x)] ?

1 1 1 1 [ ( x ? b) ? b] ? 2 x ? 2 (ab ? b) ? 4 x ? 12 . a a a a

比较系数可知:

?1 ? a 2 ? 4(且a ? 0) ? ? ? 1 (ab ? b) ? 12 ?a2 ?
a?

(1) (2)
[ 来源 xxk .Co m] :Z

解此方程组,得

1 1 ,b=2,∴所求 f(x)= x ? 2 . 2 2

例 5.如图,已知在矩形 ABCD 中,C(4,4),点 A 在曲线 x 2 ? y 2 ? 9 (x>0,y>0)上移动,且 AB,BC 两边始 终分别平行于 x 轴,y 轴,求使矩形 ABCD 的面积为最小时点 A 的坐标. 分析及解:设 A(x,y),如图所示,则 S ABCD ? (4-x)(4-y) (1)

此时 S 表示为变量 x,y 的函数,如何将 S 表示为一个变量 x(或 y)的函数呢?有的同学想到由已知得 x2 +y2 =9, 如何利用此条件?是从等 式中解出 x(或 y),再代入(1)式,因为表达式有开方,显然此方法不好. 如果我们将(1)式继续变形,会得到 S=16-4(x+y)+xy 这时我们可联想到 x +y 与 x+y、xy 间的关系,即(x+y) =9+2xy.
2 2 2

(2)

t2 ?9 因此,只需设 t=x+y,则 xy= ,代入(2)式 2
得 S=16-4t+

t2 ?9 1 7 ? (t ? 4) 2 ? (3)S 表示为变量 t 的二次函数, 2 2 2
7 . 2

∵0<x<3,0<y<3,∴3<t< 3 2 ,∴当 t=4 时,SABCD 的最小值为

此时 ?

? x ? y ? 4, 2 2 2 2 ? 得A的坐标为(2 ? ,2 ? )或(2 ? ,2 ? ) 7 2 2 2 2 xy ? , ? 2 ?

注:换元前后新旧变量的取值范围是不同的,这样才能防止出现不必要的错误. 例 6.设方程 x2 +2kx+4=0 的两实根为 x1 ,x2 ,若 (

x1 2 x ) ? ( 2 ) 2 ≥3,求 k 的取值范围. x2 x1

x1 2 x2 2 x1 x 2 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? ) ?2 ?[ ? 2] 2 ? 2 ≥3, 解:∵ ( ) ? ( ) ? ( x2 x1 x 2 x1 x1 x 2
以 x1 ? x 2 ? ?2k , x1 x 2 ? 4 代入整理得(k 2 -2)2 ≥5,又∵Δ =4k2 -16≥0, ∴?

?| k 2 ? 2 |? 5 ? 解得 k∈(- ?,? 2 ? 5 )∪[ 2 ? 5 ,+ ? ]. ?k 2 ? 4 ? 0 ?
x2 ? y 2 ? 1 上移动时,求函数 u=x2 +2xy+4y2 +x+2y 的最大值. 4
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例 7.点 P(x,y)在椭圆

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解:∵点 P(x,y)在椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上 移动, 4

∴可设 ?

? x ? 2 cos? ? y ? sin ?

于是

[来 源:学 科网ZXXK]

u ? x 2 ? 2 xy ? 4 y 2 ? x ? 2 y
= 4 cos2 ? ? 4 sin? cos? ? 4 sin 2 ? ? 2 cos? ? 2 sin? = 2[(cos? ? sin? ) 2 ? cos? ? sin? ? 1] 令 cos? ? sin? ? t , ∵ sin? ? cos? ?
[来源:学 科 网 # # ]

2 sin(? ? ) ,∴|t|≤ 2 . 4

?

于是 u= 2(t 2 ? t ? 1) ? 2(t ? ) 2 ? 当 t= 2 ,即 sin(? ? ∴θ =2kπ +

?
4

1 2

3 ,(|t|≤ 2 ). 2

) ? 1 时,u 有最大值.

? (k∈Z)时, u max ? 6 ? 2 2 . 4
( x ? 3) 2 y 2 ? ? 1 相交于 A,B 两点,若以 AB 为直径的圆恰好通过椭 6 2

例 8. 过坐标原点的直线 l 与椭圆 圆的左焦点 F,求直线 l 的倾斜角.

解:设 A(x1,y1 ),B(x2 ,y2) 直线 l 的方程为 y=kx,将它代入椭圆方 程整理得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 x ? 3 ? 0 由韦达定理, x1 ? x 2 ? (*)

6 3 (1), x1 x 2 ? (2) 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2


又 F(1,0)且 AF⊥BF,∴ k AF ? k BF ? ?1 , 将 y1 ? kx1 , y 2 ? kx2 代入上式整理得 将(1)式,(2)式代入,解得

y1 y ? 2 ? ?1 , x1 ? 1 x 2 ? 1

(k 2 ? 1) ? x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1 ,
故直线 l 的倾斜角为

k2 ?

1 . 3

? 5? 或 . 6 6

注:本题设交点坐标为参数,“设而不求”,以这些参数为桥梁建立斜率为 k 的方程求解. 例 9.设集合 A={ x | 4 ? 2
x x ?1

? a ? 0, x ? R }

(1)若 A 中有且只有一个元素,求实数 a 的取值集合 B; (2)当 a∈B 时,不等式 x2 -5x-6<a(x-4)恒成立,求 x 的取值范围. 解:(1)令 t=2x,则 t>0 且方程 4 ? 2
x x ?1

? a ? 0 化为 t2 -2t+a=0

(*),A 中有且只有一个元素等价于方程

(*)有且只有一个正根,再令 f(t)=t2 -2t+a, 则Δ =0 或?

?? ? 0 即 a=1 或 a≤0,从而 B=(- ? ,0]∪{1}. ? f (0) ? 0
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(2)当 a=1 时, 3 ? 11 <x<3+ 11 , 当 a≤0,令 g(a)=a(x-4)-(x2 -5x-6),则当 a≤0 时不等式

x 2 ? 5 x ? 6 ? a( x ? 4) 恒成立,

即当 a≤0 时,g(a)>0 恒成立,故

? g ( 0) ? 0 ? ?1 ? x ≤4. ? ?x ? 4 ? 0

综上讨论,x 的取值范围是( 3 ? 11 ,4).

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