高中数学全程学习方略配套课件:第一章 阶段复习课(人教A版必修5)_图文

第一章 阶段复习课 点击进入相应模块 对所学知识及时总结,将其构建成知识网络,既有助于整 体把握知识结构,又利于加深对知识间内在联系的理解。下面 是本阶段的知识结构图,请要求学生从后面的备选答案中选择 准确内容,填在框图中的相应位置。 正、余弦定理的应用 【名师指津】正、余弦定理体现了三角形中的边角关系,能 实现边角的互化,应用这两个定理可解决以下几类问题: 【特别提醒】应用正弦定理时,一定要注意解的个数. 【例1】在△ABC中,已知 sin A ? 3, sinA+cosA<0, 5 a ? 3 5,b=5,求c. 【审题指导】此题已知a,b及A的正弦值,求c,只需先求 cosA,再利用余弦定理求c. 【规范解答】∵sinA+cosA<0,且 sin A ? 3, 5 ∴cosA<-sinA<0, ∴ cos A ? ? 1 ? sin 2 A ? ? 4 , 5 又 a ? 3 5, b=5,由a2=b2+c2-2bccosA,得 4 (3 5) 2 ? 52 ? c 2 ? 2 ? 5 ? c ? (? ), 5 整理得,c2+8c-20=0,解得,c=2或c=-10(舍), ∴c=2. 正、余弦定理的实际应用 【名师指津】正、余弦定理的实际应用应注意的问题: (1)认真分析题意,弄清已知元素和未知元素,根据题意画出示 意图; (2)明确题目中的一些名词、术语的意义,如仰角、俯角、方向 角、方位角等; (3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题,利用学过的几何 知识,作出辅助线,将已知与未知元素归结到同一个三角形中, 然后解此三角形; (4)在选择关系时,一是力求简便,二是要尽可能使用题目中 的原有数据,尽量减少计算中误差的积累; (5)按照题目中已有的精确度计算,并根据题目要求的精确度 确定答案并注明单位. 【特别提醒】画示意图时,一定要根据题目中的已知元素, 准确地画出示意图. 【例2】如图,渔船甲位于岛屿A的南 偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距 12海里,渔船乙以10海里/小时的速度 从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船 甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追 赶渔船乙,刚好用2小时追上. (1)求渔船甲的速度; (2)求sin α的值. 【审题指导】在△ABC中,利用余弦定理求出BC的值,即可求出 速度;注意∠BCA=α,所以求sinα 的值可在△ABC中解决. 【规范解答】(1)依题意,∠BAC=120°,AB=12, AC=10×2=20,∠BCA=α. 在△ABC中,由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC =122+202-2×12×20×cos120°=784, 解得,BC=28,所以渔船甲的速度为 BC ? 14 海里/小时. 2 答:渔船甲的速度为14海里/小时. (2)方法一:在△ABC中,因为AB=12,∠BAC=120°,BC=28, ∠BCA=α, 由正弦定理,得 AB ? sin ? BC , sin120? 即 sin ? ? ABsin120? ? BC 12 ? 3 2 ? 3 3. 28 14 方法二:在△ABC中,因为AB=12,AC=20,BC=28, ∠BCA=α, 2 2 2 AC ? BC ? AB 由余弦定理,得 cos ? ? 2AC ? BC 2 2 2 20 ? 28 ? 12 13 即 cos ? ? ? . 2 ? 20 ? 28 14 因为α为锐角,所以 13 3 3 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? ( ) 2 ? . 14 14 判断三角形的形状 【名师指津】判断三角形的形状应注意: (1)根据已知条件(通常是含有三角形的边和角的等式)判断三 角形的形状时,需要灵活应用正弦定理和余弦定理转化为边的 关系或角的关系; (2)判断三角形的形状,一般有以下两种途径:将已知条件统 一化成边的关系,用代数方法求解;将已知条件统一化成角的 关系,用三角知识求解. 【特别提醒】当“sinA=sinB”时,有“A=B或A+B=π”. 2 2 2 a ? b ? c 【例3】在△ABC中,△ABC的面积 S ? 且 4 2sinBsinC=sinA,试判断△ABC的形状. 【审题指导】角化边,或边化角. 2 2 2 a ? b ? c 【规范解答】由 S ? , 得 4 2 2 2 1 a ?b ?c 2 2 2 absin C ? , ∴2absinC=a +b -c , 2 4 ∴2absinC=2abcosC,∴sinC=cosC, ∵C∈(0,π),∴ C ? ? , 4 由2sinBsinC=sinA,得 2sinBsinC=sin(B+C),∴sin(B-C)=0 ∵-π<B-C<π,∴B-C=0,即B=C 故△ABC为等腰直角三角形. 正、余弦定理与三角函数的综合应用 【名师指津】关于正、余弦定理与三角函数的综合应用: (1)以三角形为载体,以正、余弦定理为工具,以三角恒等变换 为手段来考查三角形问题是近几年高考中一类热点题型.在具体 解题中,除了熟练使用正、余弦定理这个工具外,也要根据条 件,合理选用三角函数公式,达到简化问题的目的. (2)解三角形的实质是将几何问题转化为代数问题,即方程问 题,所以利用正、余弦定理解三角形问题时,常与平面向量等 知识结合给出问题的条件,这些知识的加入,一般只起“点缀” 作用,难度较小,易于化简. 【特别提醒】注意函数思想、方程思想的应用. 【例4】已知A、B、C是△ABC的三个内角,向量 m ? 1,- 3 , n ? ? cos A,sin A ? , 且m n ? ?1. ? ? (1)求角A; (2)若 sin B ? cos B ? 3, 求tanC的值. sin B ? cos B 【审题指导】先利用向量数量积的定义,找出s

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