高中数学第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点教案新人教A版必修1

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3.1.1 方程的根与函数的 零点
1.知识与技能 (1)结合二次函数的图象,理解零点的定义及方程的根与函数的零 点的等价条件,学会判断函数 零点的存在性及零点的个数,从而体会函数的零点与方程的根的联系; (2)理解并会运用函数在某个区间上存在零点的判定方法. 2.过程与方法 培养学生观察、思考、分析、猜想、验证的能力,并从中体验从特殊到一般及函数与方程的思 想. 3.情感、态度与价值观 从函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值.
重点:体会函数的零点与方程的根之间的联系,掌握零点存在的判定条件. 难点:探究发现函 数零点的存在性. 重难点的突破:以学生熟悉的二次函数图象和二次方程为平台,通过让学生观察方程和函数形式 上的联系,引导学生得出三个重要的等价关系,体现了“化归”和“数形结合”的数学思想,为探索 零点存在定理做好铺垫. 在此基础上,以学生熟悉的一次函数、二次函数为载体,运用数形结合的思想,借助多媒体,以动 态的形式演示函数值在零点附近的变化规律,通过 学生的观察、思考、 交流、探索归纳出连续函数 y=f(x)在区间(a,b)内一定有零点的条件:f(a)·f(b) <0,并通过范例及变式训练对零点存在的判定 条件加以训练,突出重点的同时化解难点.
函数思想与方程思想的再探讨
1

函数是数学的一个重要概念,它渗透在数学 的各部分内容中,一直是高考的热点、重点内容.函

数思想,就是用运动变化的观点,分析和研究具体问题中的数量关系,建立函数关系,运用函数的知识,

使问题得到解决.这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征,重在对问题的变量的动态研究,

从变量的运动变化联系和发展角度拓宽解题思路,和函数有必然联系的是方程,方程 f(x)=0 的解就

是函数 y=f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标,函数 y =f(x)也可以看作二元方程 f(x)-y=0,通过方程

进行研究,要确定变化过程中的某些量,往往要转化为求出这些量满足的方程,希望通过方程(组)来

求得这些量.方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系.

函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解

方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,

把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.

函数与方程的联系:

(1)函数与方程是互相联系的,在一定条件下,它们可以互 相转化,如解方程 f(x)=0 就是求函数

y=f(x)的零点,方程 f(x)=g(x)的解就是函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象的交点的横坐标.

(2)函数思想在于揭示问题的数量关系的本质特征,运用函数思想解题,重在对问题中变量的动

态研究,从变量的运动、变化、联系和发展角度打开思路,而方程思想则是研究运动中的等量关系.

函数思想与方程思想常常是相辅相成的,函数的研究离不开方程.列方程、解方程和研究方程的特性,

都是应用函数与方程思想时需要重点考虑的.

(3)方程问题可以转化为函数问题,它涉及的知识点较多,面也较广,在概念性、应用性、理解性

上都有一定的要 求,所以它是高考中考查的重点.

在学习中,要做到熟练掌握基础知识,充分理解各知识之间的内在联系, 要总结、归纳运用函数

的观点和方法解决常见数学问题的解题规律.在解题中,充分、合理地运用函数与方程的思想方法,

会产生意想不到的效果.

下面为几类常见二次方程(ax2+bx+c=0)根的分布情况及需满足的条件(只讨论 a>0 的情况,a<0

时可变形为 a>0 的情况). 根的分布(m<n<p<s 图象 为常数)

满足的条件

2

x1<x2<m
m<x1<x2
x1<m<x2
m<x1<x2<n
m<x1<n<x2<p 只有一根在 (m,n)之间 m<x1<n< p<x2<s

f(m)<0 或 f(m)·f(n)<0

【典例】 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0,求 m 为何值时: (1)方程一个根在区间(-1,0)内,另一个根在区间(1,2)内; (2)方程的两个根均在区间(0,1)内. 解:设 f(x)=x2+2mx+2m+1. (1)函数 f(x)的零点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,由图①可知,
3

图① 图②

∴-

<m<-

.

∴当-

<m<-

时,方程的一个根在区间(-1,0)内,另一个根在区间(1,2)内.

(2) 函数 f(x)的两个零点均在区间(0,1)内,由图②可知,

?

∴-

<m≤1-

.

4

∴当-

<m≤1-

时,方程的两个根均在区间(0,1)内.

5


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