【数学】黔南州2016-2017学年高二下学期期末试卷(理)

参考答案 一、选择题.(每小题 5 分,共 60 分) 1-12、CBDCC CDABD DA 二、填空题.(每小题 5 分,共 20 分) 13. 60 14. 2 x ? y ? 1 ? 0 15. ? 1 4 16. 1000 三、解答题(共 6 小题,共 70 分). 17.(10 分)解: (1)由余弦定理可得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 16 ? 25 ? 20 ? 21 ∴a ? 21 .(5 分) S? 1 1 bc sin A ? ? 4 ? 5 ? sin 60? ? 5 3 (5 分) 2 2 (2)由正弦定理得 sin B ? b sin A 2 ? a 7 ∵ b ? c ,∴ B ? C ,∴ 0 ? B ? ∴ cos B ? ? 2 3 4 3 ,∴ sin 2 B ? 2 sin B cos B ? .(10 分) 7 7 ?a1 ? a4 ? 9 ,∵ ?an ?是递增的等比数列.∴ a1 ? a4 . ?a2 a3 ? a1a4 ? 8 a4 ? 8 ,即 q ? 2 .∴ an ? 2n?1 .(6 分) a1 18.(12 分)解: (1)由 ? 解得 a1 ? 1, a4 ? 8 .∴ q 3 ? (2)∵ bn ? 4 ? 2 n ?1 2 4 1 1 ? ∴ bnbn ?1 ? ? 4( ? ) n n?2 n n(n ? 1) n n ?1 ? 1 1 1 1 1 ? 2019 2019 ∴ T2019 ? 4?(1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? ) ? 4? ? 2 2 3 2019 2020 ? 2020 505 (12 分) ? ? 19.(12 分)解:(1)设这 3 个数中至少有 1 个是偶数的事件为 A . ∵1 至 9 中有 4 个偶数,5 个奇数. ∴ P( A) ? 1 2 2 1 3 C4 C5 ? C4 C5 ? C4 37 ? 3 C9 42 (5 分) (2)随机变量 ? 的取值为 0,1,2. P(? ? 1) ? 42 42 1 ? ? 3 C9 84 2 P(? ? 2) ? 7 7 1 ? ? 3 C9 84 12 42 7 35 5 ? ? ? 84 84 84 12 1 2 P(? ? 0) ? 1 ? ? P (10 分) 0 5 12 1 2 1 12 E (? ) ? 0 ? 5 1 1 2 ? 1? ? 2 ? ? 12 2 12 3 (12 分) 20.解: (12 分) (1)连接 EO . ∵ AC ? BD, AE ? BD, AC ? AE ? A ∴ BD ? 面 ACE .∴ BD ? EO ∵ PD ? 面 ABCD .∴ PD ? BD 在平面 PBD 中, BD ? EO , BD ? PD .∴ EO ∥ PD 又∵ EO ? 面 AEC , PD ? 面 AEC .∴ PD ∥面 AEC .(6 分) (2)由(1)知 EO ∥ PD , PD ? 面 ABCD .∴ EO ? 面 ABCD 以 O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系.在等腰梯形 ABCD 中,BC ∥ AD , AB ? CD, AC ? BD, BC ? 2, AD ? 2 2 . 由平面几何知识知 OA ? OD ? 2, OB ? OC ? 1 ∴ A(0,?2,0), B(1,0,0), C (0,1,0), P(?2,0,3) 即 AB ? (1,2,0), PB ? (3,0,?3) , PC ? (2,1,?3) 设面 PAB 的法向量 n ? ( x, y, z) 由? x A O B C y E D z P ? ? AB ? n ? 0 ? ? PB ? n ? 0 ,得 ? ?x ? 2 y ? 0 ,可取 n ? (2,?1,2) ?3x ? 3z ? 0 PC ? n PC n ? 3 14 ? 3 ? 14 14 (12 分) 设 PC 与面 PAB 所成角为 ? ,则 sin ? ? cos PC, n ? 21.解: (12 分) (1)由 e ? a 2 ? b2 3 c 3 ? ,解得 a 2 ? 4b 2 ,得 ? a2 4 a 2 椭圆 C 的方程为 x2 y2 ? 2 ? 1 ,即 x 2 ? 4 y 2 ? 4b2 2 4b b ∵点 ( 2 , 2 2 ) 在 C 上, ( 2 ) 2 ? 4 ? ( ) 2 ? 4b 2 2 2 ∴ b2 ? 1, a 2 ? 4 .∴椭圆 C 的标准方程为 x2 ? y 2 ? 1 .(5 分) 4 (2)①当直线 OM 或 ON 的斜率不存在时, 1 OM 2 ? 1 ON 2 ? 1 5 ?1 ? 4 4 (7 分) ②当 OM , ON 的斜率都存在时,设直线 OM 的斜率为 k (k ? 0) ,则 k ON ? ? 1 k ? y ? kx 4 4k 2 ? 2 2 2 2 2 ,y ? 由?x 得 (1 ? 4k ) x ? 4 ,∴ x ? 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ? ? y ?1 ?4 ∴ 1 OM 2 ? 1 1 ? 4k 2 ? x 2 ? y 2 4 ? 4k 2 1 1 ? 4(? ) 2 2 1 1 k ? k ?4 以 ? 代替 k ,得 ? 2 2 1 k ON 4 ? 4(? ) 2 4 ? 4k k ∴ 1 OM 2 ? 1 ON 2 ? 1 ? 4k 2 k2 ? 4 5 ? ? 4 ? 4k 2 4 ? 4k 2 4 综上可知, 1 OM 2 ? 1 ON 2 ? 5 为定值.(12 分) 4 22.(12 分)解: (1) f ( x) 的定义域为 (0,1) ? (1,??) t x

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