三棱锥的外接球体积的求法


课题:三棱锥外接球的体积

题目:将面积为2的长方形ABCD沿 对角线AC折起,使二面角D-AC-B 的大小为α(0°<α<180°),则三棱 锥D-ABC的外接球的体积的最小值 是多少?

D A B

. O
D C

A
B

. O

C

解:因为外接球的球心到球面各顶点 的距离相等且有且只有一个,而O到 A、B、C、D四点距离相等

所以O为三棱锥外接球的球心且有
R=OA=1/2AC

设长方形ABCD的边长分别为a、b则由 已知可得: 长方形面积S=ab=2
对角线AC= a? +b? ≧ 2ab=2 所以R≧1 即外接球体积的最小值为: V=4/3?


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