高三数学-2018【数学】北京市考试院2018届高三上学期抽样测试(文) 精品

北京考试院 2018 届高三年级第一学期抽样测试
数学(文)

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页,共 150 分。考试 时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷 和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项.

1.在复平面内,复数 i ? (1?i) 对应的点位于

(A)第一象限

(B)第二象限

(C)第三象限

2.已知命题 p : ?x ?R ,| x | ? 0 ,那么命题 ?p 为

(D)第四象限

(A) ?x ? R ,| x | ? 0

(B) ?x ?R ,| x | ? 0

(C) ?x ? R ,| x | ? 0

(D) ?x ?R ,| x | ? 0

3.已知圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 8 ? 0 ,那么下列直线中经过圆心的直线的方程为

(A) 2x ? y ?1 ? 0

(B) 2x ? y ?1 ? 0

(C) 2x ? y ?1 ? 0

(D) 2x ? y ?1 ? 0

4.已知幂函数 y ? f (x) 的图象经过点 ( 2, 4) ,则 f (x) 的解析式为

(A) f (x) ? 2x

(B) f (x) ? x2

(C) f (x) ? 2x

5.在等比数列{an} 中, a1

?

2 , a4

?

1 4

,若 ak

?

2?15 ,则 k

等于

(A) 9

(B)10

(C)16



D



f (x) ? x ? 2

(D)17

6.一个四棱锥的底面为长方形,其三视图如图 所示,则这个四棱锥的体积是
(A)1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

3

正(主)视图

1 侧(左)视图

2 俯视图

7.△ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c .若 cos A ? 2 5 , bc ? 5,则△ 25

ABC 的面积等于

(A) 2 5

(B) 4

(C) 5

(D) 2

8.设集合 S ? {A0 , A1, A2 , A3, A4},在 S 上定义运算⊙为: Ai ⊙ Aj ? Ak ,其中 k ?| i ? j | ,

i ? 0,1, 2,3, 4, j ? 0,1, 2,3, 4 .那么满足条件 ( Ai ⊙ Aj ) ⊙ A2 ? A1 ( Ai ? S , Aj ? S )

的有序数对 (i, j) 共有

(A)12 个

(B) 8 个

(C) 6 个

(D) 4 个

第Ⅱ卷(非选择题 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

9.甲、乙两名同学在 5 次数学考试中,成绩统计用茎叶图表示如下,则平均成绩高的同学





开始

甲乙 98 8 3899 210 9 1
(第 9 题图)

S ? 0, k ? 0
S ? S ? 2k
k ? k ?1

k ?3

输出 S

结束

图)
10.执行如图所示的程序框图,输出的结果 S ? _________ .

(第 10 题

11.若向量 a ,b 的夹角为 30? ,| a | ? 3 ,| b |? 2 ,则 a ?b=

;| a ? b |?



12.已知 tan? ? cos? ,那么 sin? 的值是



13.设函数

f

(x)

?

??2?x ,

? ??

x

?2

,

x ? 0, x ? 0.

若 f (x0 ) ? 1 ,则 x0 的取值范围是



14.设等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ,若 a4 ? 8 , a5 ? 10 ,则 S6 的最小值为________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分)
已知函数 f (x) ? sin x cos x ? 3 (cos2 x ? sin2 x) . 2
(Ⅰ)求 f ( π ) 的值; 6
(Ⅱ)求 f (x) 的最大值及单调递增区间.

16.(本小题满分 13 分)

C1

如图,已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱与底面
A1
垂直, ?BAC ? 90 , M , N 分别是 A1B1 , BC

M

B1

的中点.

(Ⅰ)证明: AB ? AC1 ;

(Ⅱ)判断直线 MN 和平面 ACC1 A1 的位置关系,并

加以证明.

A

C N
B

17.(本小题满分 14 分)
设 a ?R ,函数 f (x) ? 2x3 ? (6 ? 3a)x2 ?12ax ? 2 .

(Ⅰ)若 a ?1,求曲线 y ? f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f (x) 在[?2, 2] 上的最小值.

18.(本小题满分 13 分)

在平面直角坐标系

xOy

中,平面区域

W

中的点的坐标

(

x,

y

)

满足

??1 ? x ? 2, ??0 ? y ? 2





区域W 中随机取点 M (x, y) .

(Ⅰ)若 x ? Z , y ? Z ,求点 M 位于第一象限的概率;

(Ⅱ)若 x ?R , y ? R ,求| OM | ? 2 的概率.

19.(本小题满分 13 分)

已知

F1(?2, 0)



F2

(2,

0)

两点,曲线

C

上的动点

P

满足 |

PF1

|

?

|

PF2

|

?

3 2

|

F1F2

|.

(Ⅰ)求曲线 C 的方程;

(Ⅱ)若直线 l 经过点 M (0,3) ,交曲线 C 于 A , B 两点,且 MA ? 1 MB ,求直线 l 的方 2

程.

20.(本小题满分 14 分)

数列{an} 满足 a1 ? a , an?1 ?

an ? 3 , n ? 1, 2,3, 2

.

(Ⅰ)若 an?1 ? an ,求 a 的值;

(Ⅱ)当

a

?

1 2

时,证明: an

?

3 2

(n

? 1, 2,3,

);

(Ⅲ)设数列{an ?1}的前 n 项之积为 Tn .若对任意正整数 n ,总有 (an ?1)Tn ? 6 成立,求 a

的取值范围.

(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)

2018-2018 学年度第一学期高三年级抽样测试

数学(文史类)参考答案

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.

1.A

2.C 3.C

4.B

5.D 6.B

7.D

8.A

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

9.甲
14. 42

10. 15

11. 3 13

12. ? 1 ? 5 2

13. (??, ?1) (0, ??)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.

15.解:(Ⅰ) f (x) ? 1 sin 2x ? 3 cos 2x

2

2

? sin(2x ? π ) , 3

所以 f ( π ) ? sin(2? π + π ) ? sin 2π ? 3 .

6

63

32

(Ⅱ)当 x ? kπ ? π ( k ? Z )时, f (x) 的最大值是1. 12

由 ? π ? 2kπ ? 2x ? π ? π ? 2kπ , k ?Z ,

2

32

得 ? 5π ? kπ ? x ? π ? kπ , k ?Z .

12

12

所以 f (x) 的单调递增区间为[? 5π ? kπ, π ? kπ], k ? Z . 12 12

16.证明:(Ⅰ)因为 CC1 ? 平面 ABC , 又 AB ? 平面 ABC , 所以 CC1 ? AB .
由条件 ?BAC ? 90 ,即 AC ? AB , 且 AC ? CC1 ? C ,

C1

A1

M

B1

C

D

N

A

B

所以 AB ? 平面 ACC1A1 .

又 AC1 ? 平面 ACC1A1 ,

所以 AB ? AC1 .

(Ⅱ) MN ∥平面 ACC1A1 .证明如下:

设 AC 的中点为 D ,

连接 DN , A1D .

因为 D , N 分别是 AC , BC 的中点,

所以 DN

?//

1 2

AB .

又 A1M

1
=
2

A1B1 , A1B1

?//

AB ,

所以 A1M ?// DN .

所以四边形 A1DNM 是平行四边形.

所以 A1D ∥ MN .

因为 A1D ? 平面 ACC1A1 , MN ? 平面 ACC1A1 , 所以 MN ∥平面 ACC1A1 .

17.解:(Ⅰ) f ?(x) ? 6[x2 ? (2 ? a)x ? 2a] ? 6(x ? 2)(x ? a) .

当 a ?1时, f ?(0) ? ?12, f (0) ? 2,

所以切线方程为 y ? 2 ? ?12x ,即12x ? y ? 2 ? 0 .

(Ⅱ)令 f ?(x) ? 0 ,解得: x1 ? ?2, x2 ? a . ① a ? 2 ,则当 x ? (?2, 2) 时, f ?(x) ? 0 ,函数 f (x) 在 (?2, 2) 上单调递减,

所以,当 x ? 2 时,函数 f (x) 取得最小值,最小值为 f (2) ? 42 ? 36a .

② ?2 ? a ? 2,则当 x ???2, 2?时,

当 x 变化时, f ?(x) , f (x) 的变化情况如下表:

x

?2

(?2, a)

a

(a, 2)

2

f ?(x)

?

0

?

f (x)

10 ?12a

极小值

42 ? 36a

所以,当 x ? a 时,函数 f (x) 取得最小值,最小值为 f (a) ? ?a3 ? 6a2 ? 2 .

③ a ? ?2 ,则当 x ? (?2, 2) 时, f ?(x) ? 0 ,函数 f (x) 在 (?2, 2) 上单调递增,

所以,当 x ? ?2 时,函数 f (x) 取得最小值,最小值为 f (?2) ? 10 ?12a .

综上,当 a ? ?2 时, f (x) 的最小值为10?12a ;当 ?2 ? a ? 2 时, f (x) 的最小值为

?a3 ? 6a2 ? 2 ;当 a ? 2 时, f (x) 的最小值为 42 ? 36a .

18.解:(Ⅰ)若 x , y ? Z ,则点 M 的个数共有12 个,列举如下:

(?1,0) ,(?1,1) ,(?1, 2) ,(0, 0) ,(0,1) ,(0, 2) ,(1,0) ,(1,1) ,(1, 2) ,(2, 0) ,(2,1) ,

(2, 2) .

当点 M 的坐标为 (1,1) , (1, 2) , (2,1) , (2, 2) 时,点 M 位于第一象限,

故点 M 位于第一象限的概率为 1 . 3
(Ⅱ)如图,若 x , y ? R ,则区域W 的面积是 3?2 ? 6 .

y

D

C

E

满足| OM | ? 2 的点 M 构成的区域为 {(x, y) | ?1 ? x ? 2, 0 ? y ? 2, x2 ? y2 ? 4} ,即图中的阴影部分.

AO

Bx

易知 E(?1, 3) , ?EOA ? 60? ,

所以扇形 BOE 的面积是 4π ,△ EAO 的面积是 3 ,

3

2

4π ? 故| OM | ? 2 的概率为 3

3 2 ? 8π ? 3

3.

6

36

19.解:(Ⅰ)由已知可得| PF1 | ? | PF2 | ?

3 2 | F1F2 | ? 6

?

F1F2

? 4,

故曲线 C

是以 F1 , F2 为焦点,长轴长为 6 的椭圆,其方程为

x2 9

?

y2 5

?1.

(Ⅱ)方法一:设 A( x1, y1), B(x2 , y2 ) ,由条件可知 A 为 MB 的中点,

?

x2 1

? ?

9

?

y2 1
5

? 1,

(1)

则有

? ? ?

x2 2 9

?

y2 2 5

? 1,

(2)

?2x1 ? x2 ,

(3)

??2 y1 ? y2 ? 3. (4)

将(3)、(4)代入(2)得 4x12 9

? (2 y1 ? 3)2 5

? 1 ,整理为 4x12 9

? 4 y12 5

? 12 5

y1

?

4 5

? 0.

将(1)代入上式得 y1 ? 2 ,再代入椭圆方程解得 x1 ? ?

3, 5

故所求的直线方程为 y ? ? 5 x ? 3 . 3

方法二:依题意,直线 l 的斜率存在,设其方程为 y ? kx ? 3.

? y ? kx ? 3,



? ?

x2

?? 9

?

y2 5

? 1,

得 (5 ? 9k 2 )x2 ? 54kx ? 36 ? 0 . 令 ? ? 0 ,解得 k 2 ? 4 . 9

设 A( x1, y1), B(x2 , y2 ) ,



x1 ? x2

?

?54k 5 ? 9k 2





x1 x2

?

36 5 ? 9k 2





因为 MA ?

1 2

MB ,所以

A 为 MB 的中点,从而

x2

?

2x1 .

将 x2

?

2x1 代入

①、②

,得 x1

?

?18k 5 ? 9k 2



x2 1

?

18 5 ? 9k 2



消去 x1 得

( ?18k )2 ? 18 5 ? 9k 2 5 ? 9k 2



解得 k 2 ? 5 , k ? ? 5 .( ? ? 0 )

9

3

所以直线 l 的方程为 y ? ? 5 x ? 3 . 3

20.解:(Ⅰ)因为 an?1 ? an ,所以 an ?

an ? 2

3

,解得 an

?

3 2

或 an

?

?1 (舍去).



n

的任意性知,

a1

?

a

?

3 2



(Ⅱ)反证法:

假设

an

?

3 2

,则

3 ? an?1 2

?

3 2

,得

an?1

?

3, 2

依此类推,

an?2

?

3 2

,…,

a2

?

3 2



a1

?

3 2

,与

a1

?

1 2

矛盾.

所以

an

?

3 2

.

(Ⅲ)由已知,当 n ? 2 时,2an2 ? an?1 ? 3 ,2(an2 ?1) ? an?1 ?1 ,2(an ?1)(an ?1) ? an?1 ?1 ,

所以

2(an

? 1)

?

an?1 ? 1 an ? 1

.

同理

2(an?1

? 1)

?

an?2 an?1

?1 ,…, ?1

2(a3

?1)

?

a2 a3

?1 ?1



2(a2

? 1)

?

a1 a2

?1 ?1

.

将上述 n ?1个式子相乘,得

2n?1(a2 ?1)(a3 ?1)

(an?1

? 1)(an

?1)

?

a1 an

?1 ?1





2n?1

?

Tn a1 ?1

?

a1 an

?1 ?1



(an

? 1)Tn

?

a12 ?1 2n?1



n

?

2

).



n

? 1 时,

(a1

? 1)T1

?

a12 ?1 21?1

.

所以 (an

? 1)Tn

?

a12 ?1 2n?1

(n

?

N*

)

.

从而要使 (an

? 1)Tn

?

a12 ?1 2n?1

?6

对 n ? N* 恒成立,

只要

a2 1

?

6 ? 2n?1

?1对

n ? N* 恒成立即可.

因为{6 ? 2n?1 ?1} 单调递增,所以 a12 ? 6 ?1?1 ? 7 ,

即 a1 ? a 的取值范围是[? 7, 7] .

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