舞阳一高2013-2014学年下学期第一次大考高三年级数学(理科)


舞阳一高 2013-2014 学年下学期第一次大考高三年级数学试 题(理科)
考试时间 120 分钟 满分 150 分
第 I 卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.设不等式 x ? x ? 0 的解集为 M ,函数 f ( x ) ? ln(1? | x |) 的定义域为 N,则 M ? N 为
2

A. [0,1) 2.如果复数 z ?

B. (0,1)

C.[0,1]

D. (-1,0]

2 ,则( ?1 ? i



A. |z|=2

B. z 的实部为 1 C . z 的虚部为﹣1

D. z 的共轭复数为 1+i

3.已知等比数列 ?a n ? 的公比 q ? 2 ,且 2a4 , a 6 , 48 成等差数列,则 ?a n ? 的前 8 项和( ) A.127 B.255 C.511 D.1023 )

4.设 a, b 是两条直线, 则 a ? b 的一个充分条件是 ( ? , ? 是两个平面, A. a ? ? , b / / ? , ? ? ? C. a ? ? , b ? ? , ? // ? B. a ? ? , b ? ? , ? // ? D. a ? ? , b // ? , ? ? ?

5. 阅读右边程序框图,为使输出的数据为 30,则判断框中应填人的条件为

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 6.在平面直角坐标平面上, OA ? (1, 4), OB ? ( ?3,1) ,且 OA 与 OB 在直
线 l 上的射影长度相等, 直线 l 的倾斜角为锐角, 则 l 的斜率为 A. ( )

A.i≤4

B. i≤5`

C. i≤6

D. i≤7

4 3

B.

5 2
2 2

C.

2 5

D.
2

3 4
a ? 1 的最小 2

7.已知点 (a , b) 在圆 x ? y ? 1 上,则函数 f ( x ) ? a cos x ? b sin x cos x ? 正周期和最小值分别为( A. 2? , )

3 2

B.

? ,-

3 2

C.

? ,-

5 2 ?? ?

D. 2? , -

5 2 2? 对 3

8. 设函数 f ( x ) ? A sin( ? x ? ? ) ( A ? 0,? ? 0,? 称,它的周期是 ? ,则( A. f ( x ) 的图象过点 (0, ) )

?
2

?
2

) 的图像关于直线 x ?

1 2

B. f ( x ) 在 ?

? ? 2? ? , ? 上是减函数[ ? 12 3 ?

C. f ( x ) 的一个对称中心是 (

5? , 0) 12

D. f ( x ) 的最大值是 A

9.已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB=2. ?ASC ? ?BSC ? 45? 则棱锥 S—ABC 的体积为 A. ( B. )

3 3

2 3 3

C.

4 3 3

D.

5 3 3
y l Q

10.函数 f ? x ? ? cos ? x 与 g ? x ? ? log 2 x ? 1 的图像所有交点的横坐标之和 为 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
A

x2 y2 11.如图,A,F 分别是双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 (a,b> 0) 的左顶点、右焦点,过 F a b

F O x

的直线 l 与 C 的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和 y 轴分别交于 P,Q 两 点.若 AP⊥AQ,则 C 的离心率是( A. 2 B. 3 C.
1 ? 13 4

) D.
1 ? 17 4

P
(第 11 题图)

12. 已知函数 f(x 十 1)是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的不等实数 式 A.(1,+ ? ) B.(一 ? ,1) 恒成立,则不等式 f(1-x)<0 的解集为 C.(0,+ ? ) D(一 ? ,0)

,不等

第Ⅱ卷(共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题---第 21 题为必考题,每个试题考生都必 须做答。第 22 题—第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。将正确答案写在答题纸上。 13.设 a ?

?

?

0

(a x ? sin xdx ,则二项式

1 x

)6 的展开式中含有 x 2 的项的系数为 ______

14. 在平面直角坐标系中,不等式组

所表示的平面区域的面积是 9,则实数 a

的值为____. 15.由 1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的六位数,要求奇数不相邻,且 4 不在第四位, 则这样的六位数共有 ___ 个.

16. 数列 ?a n ? 满足 an ? ?

? n, n ? 2k ? 1 ( k ? N * ) ,设 f ( n) ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? a2n ?1 ? a2n 则 a , n ? 2 k ? k

f (2014) ? f (2013) 等于____________

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本题满分 12 分) 设 ?ABC 的 三 内 角 A、B、C 的 对 边 长 分 别 为 a , b, c , 已 知 a , b, c 成 等 比 数 列 , 且

sin A sin C ?

3 . 4

(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)设向量 m ? (cos A,cos 2 A) , n ? ( ?
?

?

? ? 12 ,1) ,当 m gn 取最小值时,判断 ?ABC 的形状. 5

18. (本题满分 12 分) 已知平行四边形 ABCD 中,AB=6,AD=10,BD=8,E 是线段

AD 的中点.沿直线 BD 将△BCD 翻折成△ BC?D ,使得平面
BC?D ⊥平面 ABD.
(Ⅰ)求证: C?D ? 平面 ABD; (Ⅱ)求直线 BD 与平面 BEC ? 所成角的正弦值;

19. (本题满分12分) 2013年2月20日,针对房价过高,国务院常务会议确定五条措施(简称 “国五条” ). 为此, 记者对 某城市的工薪阶层关于 “国五条” 态度进行了调查, 随机抽取了60人,作出了他们的月收 入的频率分布直方图(如图),同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计 表(如下表): 月收入(百元) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) 赞成人 8 数 7 10 6

频率/组距

[55,65) [65,75)

2 1

0.025

0.02
0.015 0.01

0.005

0

15

25

35

45

55

65

75 月收入/百元

(I)试根据频率分布直方图估计这 60 人的平均月收入; (Ⅱ)若从月收入(单位:百元)在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取 3 人进行追踪调 查,记选中的 6 人中不赞成 “国五条” 的人数为 X,求随机变量 X 的分布列及数学期望. (注明: 本图的纵坐标标注的依次是 0.01 , 0.015 , 0.02 , 0.025 )

20.(本题满分 12 分) 已知定点 F1 ? ?1, 0 ? , F2 ? 1, 0 ? ,动点 P ? x , y ? ,且满足 PF1 , F1 F2 , PF2 成等差数列. (Ⅰ) 求点 P 的轨迹 C1 的方程; (Ⅱ) 若曲线 C 2 的方程为 ? x ? t ? ? y 2 ? t 2 ? 2t
2

?

?

2

(0 ? t ?

2 ),过点 A ? ?2, 0 ? 的 2

直线 l 与曲线 C 2 相切,求直线 l 被曲线 C1 截得的线段长的最小值. 21. (本题满分 12 分)
2 2 2 x 已知函数 f ? x ? ? ?ax ? ? a ? 1? x ? a ? ? a ? 1? ? e (其中 a ? R ).

?

?

(Ⅰ) 若 x ? 0 为 f ? x ? 的极值点,求 a 的值; (Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,解不等式 f ? x ? ? ? x ? 1? ?

?1 2 ? x ? x ? 1? ; ?2 ?

(Ⅲ) 若函数 f ? x ? 在区间 ? 1, 2 ? 上单调递增,求实数 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一道作答,多答、不答按本选考题的首题进行评分.
22. (本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在△ABC 中,CD 是∠ACB 的平分线,△ACD 的外接圆交于 BC 于点 E,AB=2AC.

(1)求证:BE=2AD; (2)当 AC=1,EC=2 时,求 AD 的长. 23.(本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲. 已知曲线 C 1 : ?

? x ? ?4 ? cos t , ? x ? 8cos ? , (t 为参数) , C2 :? ( ? 为参数) 。 ? y ? 3sin ? , ? y ? 3 ? sin t ,

(1)化 C 1 ,C 2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若 C 1 上的点 P 对应的参数为 t ?

?
2

,Q 为 C 2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线

? x ? 3 ? 2t , C3 : ? ? y ? ?2 ? t

(t 为参数)距离的最小值及此时 Q 点坐标.

24. (本题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲. 已知 a ? R ,设关于 x 的不等式 2 x ? a + x ? 3 ? 2 x ? 4 的解集为 A. (Ⅰ)若 a ? 1 ,求 A ; (Ⅱ)若 A ? R , 求 a 的取值范围。

舞阳一高 2013-2014 学年下学期第一次大考 高三年级数学试题(理科)答案
1-5 A C B C A 13. -192 6-10 C B C C B 15. 120. 11-12 D D 16. 4
2013

14.1

17.解:(Ⅰ)因为 a、b、c 成等比数列,则 b 2 ? ac .由正弦定理得 sin 2 B ? sin A sin C . 又 sin A sin C ?

3 3 3 ,所以 sin 2 B ? .因为 sin B ? 0 ,则 sin B ? . 2 4 4

因为 B ? (0, ? ) ,所以 B ?

?
3



2? . 3

????4 分

又 b 2 ? ac ,则 b ? a 或 b ? c , 即 b 不是 ?ABC 的最大边,故 B ? (Ⅱ)因为 m ? n ? ? 所以 m ? n ? ?

?
3

.

????6 分

?? ? ?

12 3 43 . cos A ? 2 cos 2 A ? 1 ? 2(cos A ? ) 2 ? 5 5 25 ? ? 3 所以当 cos A ? 时, m gn 取得最小值. 5

?? ? ?

12 cos A ? cos 2 A , 5

????9 分

此时

1 3 3 ? ? ? cos A ? ? (0 ? A ? ? ) , 于是 ? A ? . 6 3 2 5 2

又B?

?
3

? A? B ?

?
2

,从

而 ?ABC 为锐角三角形. 沿直线 BD 将△BCD 翻折成△ BC ?D 可知 CD=6,BC’=BC=10,BD=8, 即 BC '2 ? C ' D2 ? BD2 ,

???????????12 分

18、证明:证明: (Ⅰ)平行四边形 ABCD 中,AB=6,AD=10,BD=8,

C ' D ? BD .

??????2 分

∵平面 BC ?D ⊥平面 ABD ,平面 BC ?D ? 平面 ABD = BD , C?D ? 平面 BC ?D , ∴ C?D ? 平面 ABD . 5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 C?D ? 平面 ABD,且 CD ? BD , 如图, 以 D 为原点,建立空间 直角坐标 系 ??????

D ? xyz. C '(0,0,6) .

则 D(0,0,0) ,A(8,6,0) ,B(8,0,0) ,

∵E 是线段 AD 的中点, ??? ? ∴ E (4,3,0) , BD ? (?8,0,0) . ??? ? 0) 在 平 面 BEC ? 中 , BE ? (? 4 , 3 , ,

???? ? BC ' ? (?8,0,6) ,

? 设平面 BEC? 法向量为 n ? ( x, y, z ) ,
??? ? ? ? ??4 x ? 3 y ? 0 ? BE ? n ? 0 ∴ ? ???? ,即 ? , ? ? ??8 y ? 6 z ? 0 ? ? BC ' ? n ? 0 ? 令 x ? 3 ,得 y ? 4, z ? 4 ,故 n ? (3,4,4) .??????(6 分)
设直线 BD 与平面 BEC ? 所成角为 ? ,则 ? ??? ? ? ??? ? | n ? BD | 3 41 ? ? sin ? ?| cos ? n, BD ?|? ? ??? . 41 | n | ? | BD | ∴ 直线 BD 与平面 BEC ? 所成角的正弦值为 19、解: (Ⅰ)这 60 人的月平均收入为: (百 (20 ? 0.015 ? 30 ? 0.015 ? 40 ? 0.025 ? 50 ? 0.02 ? 60 ? 0.015 ? 70 ? 0.01) ? 10 ? 43.5 元)

3 41 . 41

??????(12 分)

??????(4 分) (Ⅱ)根据频率分布直方图可知道:

??????(6 分)

??(10 分) (每算对一个一分,正确给出 x 的取值 1 分,共 5 分)

??????(12 分) (正确写出分布列 1 分,正确算出期望值 1 分) 20.【解析】(Ⅰ)由 F1 ? ?1, 0 ? , F2 ?1, 0 ? , PF1 ? PF2 ? 4 ? F1 F2 ???????2 分 根据椭圆定义知 P 的轨迹为以 F1 , F2 为焦点的椭圆, 其 长 轴 2a ? 4 , 焦 距 2c ? 2 , 短 半 轴 b ? a 2 ? c 2 ? 3 , 故 C1 的 方 程 为

x2 y2 ? ? 1 . ??4 分 4 3
(Ⅱ)设 l : y ? k ? x ? 2 ? ,由过点 A?? 2,0? 的直线 l 与曲线 C 2 相切得

k ?t ? 2 ? k 2 ?1

? t ?t ? 2 ? ,

化简得 t ?

? 2? ,t ? ? ? 0,2 ? k ?1 ? ? k
2

(注:本处也可由几何意义求 k 与 t 的关系)????6 分

由0 ? t ?

k k 2 ?1

?

2 2 ,解得 0 ? k ? 1 ????7 分 2

? y ? k ?x ? 2? ? 联立 ? x 2 y 2 ,消去 y 整理得 4k 2 ? 3 x 2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 12 ? 0 ,???????8 ?1 ? ? 3 ?4

?

?

分 直 线 l 被 曲 线 C1 截 得 的 线 段 一 端 点 为 A?? 2,0? , 设 另 一 端 点 为 B , 解 方 程 可 得

? ?2 ? 4k 2 ? 3? 12k ? ?, B? , ? 4k 2 ? 3 4 k 2 ? 3 ? ? ?
? ?2 ? 4k 2 ? 3? ? ? 12k ?2 12 k 2 ? 1 所以 AB ? ? ????????10 分 ? 2? ? ? 2 ? ? 4k 2 ? 3 ? ? 4k ? 3 ? 4k 2 ? 3 ? ? ?
2

(注:本处也可由弦长公式结合韦达定理求得) 令 k 2 ? 1 ? n ,则 AB ?

12n ? 4n 2 ? 1

12 1 4n ? n

, n ? (1, 2] ,

考查函数 y ? 4n ?

1 1 的性质知 y ? 4n ? 在区间 (1, 2] 上是增函数, n n

所以 n ? 2 时 , y ? 4n ?

12 12 2 7 2 1 ? 取最大值 , 从而 AB min ? . ???? n 7 2 7 2 2

12 分
2 2 21.【解析】(Ⅰ)因为 f ? x ? ? ?ax 2 ? ? a ? 1? x ? a ? ? a ? 1? ? e x

?

?

2 2 2 2 2 ? x f ? ? x ? ? ?2ax ? ? a ?1? ? e x ? ?ax 2 ? ? a ? 1? x ? a ? ? a ? 1? ? e x ? ? ?ax ? ? a ? 1? x ? a ? e ? ? ? ?

?2 分 因为 x ? 0 为 f ? x ? 的极值点,所以由 f ? ? 0 ? ? ae ? 0 ,解得 a ? 0 ?????3 分
0

检验,当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? xe ,当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ,当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 .
x

所以 x ? 0 为 f ? x ? 的极值点,故 a ? 0 .?????4 分 ( Ⅱ ) 当

a?0
x



,







?1 ? f ? x ? ? ? x ? 1? ? x 2 ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? ?2 ?
整 理 得

? ? e?

?? ?
,

1 2 ? 1? x ? ?, ?2 ?


x1

x

? 1 2 ?? ? x ? 1? ?e x ? ? ? x ? x ? 1? ? ? 0 ?2 ?? ?

?x ?1 ? 0 ? ? x ?1 2 ? ?e ? ? 2 x ? x ? 1 ? ? 0 ? ? ?



?x ?1 ? 0 ? ?6 分 ? x ?1 2 ? ?e ? ? 2 x ? x ? 1 ? ? 0 ? ? ?

令 g ? x? ? e ? ?
x

?1 2 ? x ? x ? 1? , h ? x ? ? g ? ? x ? ? e x ? ? x ? 1? , h? ? x ? ? e x ? 1 , ?2 ?
x x

当 x ? 0 时, h? ? x ? ? e ? 1 ? 0 ;当 x ? 0 时, h? ? x ? ? e ? 1 ? 0 , 所 以 h ? x ? 在 ? ??, 0 ? 单 调 递 减 , 在 (0, ??) 单 调 递 增 , 所 以 h ? x ? ? h ? 0 ? ? 0 , 即

g? ? x? ? 0 ,
所以 g ? x ? 在 R 上单调递增,而 g ? 0 ? ? 0 ; 故 ex ? ?

?1 2 ? ?1 ? x ? x ? 1? ? 0 ? x ? 0 ; e x ? ? x 2 ? x ? 1? ? 0 ? x ? 0 , ?2 ? ?2 ?

所以原不等式的解集为 x x ? 0或x ? 1 ;????????????8 分
2 2 ? x (Ⅲ) 当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? ? ? ax ? a ? 1 x ? a ? ? e

?

?

?

?

因为 x ? ?1, 2 ? ,所以 f ? ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ?1, 2 ? 上是增函数. ???????9 分 当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? a ? x ? a ? ? x ? ① 若

? ?

1? x ? ? e , x ? ?1, 2 ? 时, f ? x ? 是增函数, f ? ? x ? ? 0 . a?

a ? ?1 , 则

1? ? ? 1 ? f ? ? x ? ? a ? x ? a ? ? x ? ? e x ? 0 ? x ? ? ? , ?a ? , 由 a? ? ? a ?

?1, 2 ? ? ? ??
② 若

1 ? , ?a ? 得 a ? ?2 ; ? a ?
1? ? 1? ? f ? ? x ? ? a ? x ? a ? ? x ? ? ? e x ? 0 ? x ? ? ? a, ? ? a? ? a? ?
, 由

?1 ? a ? 0 , 则

?1, 2 ? ? ? ? ? a, ?
?

1? 1 ?得? ? a ? 0. a? 2
2 x

③ 若 a ? ?1 , f ? ? x ? ? ? ? x ? 1? ? e ? 0 ,不合题意,舍去. ???????11 分 综上可得,实数 a 的取值范围是 ? ??, ?2? ? ? ? (亦可用参变分离或者图像求解).

? 1 ? , ?? ? ? 2 ?

???????????12 分

22、选修 4-1 几何证明选讲

解:连接 DE 因为 ACED 是圆的内接四边形, 所以 ?BDE ? ?BCA ,又 ?DBE ? ?CBA , 所以 ?DBE∽?CBA ,即有

BE DE ,又 AB ? 2 AC , ? BA CA

所以 BE ? 2DE ,又 CD 是 ?ACB 的平分线, 所以 AD ? DE ,从而 BE ? 2 AD 。 ?????5 分 (2)由条件的 AB ? 2 AC ? 2 设 AD ? t , 根据割线定理得 BD ? BA ? BE ? BC , 即 ? AB ? AD ? ? BA ? 2 AD ? ? 2 AD ? CE ? , 所以 ? 2 ? t ? ? 2 ? 2t ? 2t ? 2 ? 即 2t ? 3t ? 2 ? 0
2

解得 t ?

1 1 ,或 t ? ?2 (舍去) ,即 AD ? 2 2
2 2

???????10 分

x2 y2 23(Ⅰ) C1 : ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 1, C 2 : ? ? 1. ?????2 分 64 9
C1 为圆心是( ?4,3) ,半径是 1 的圆.
C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆. ?????5
分 (Ⅱ)当 t ?

?
2

时, P ( ?4, 4).Q(8cos ? , 3sin ? ), 故M ( ?2 ? 4cos ? , 2 ?

3 sin ? ). 2

C3 为直线 x ? 2 y ? 7 ? 0, M 到C 3的距离d ?
从而当 cos ? ?

5 | 4cos ? ? 3sin ? ? 13 | . 5

8 5 4 3 . ???????(8 分) ,sin ? ? ? 时, d 取得最小值 5 5 5

Q
所以,此时

32 9 , ? ) ???????10 分 5 点坐标为 5 (

24.解(1)当 x ? -3 时,原不等式化为-3x-2 ? 2x+4, 得 x ? -3, 当-3<x ? 当 x>

1 ,原不等式化为 4-x ? 2x+4,得 3<x ? 0 2

1 时,3X+2 ? 2X+4,得 x ? 2 2

综上,A= ?x | x ? 0, x ? 2?

…………5 分

(2)当 x ? -2 时, 2 x ? a ? x ? 3 ? 0 ? 2x+4 成立. 当 x>-2 时, 2 x ? a ? x ? 3 = 2 x ? a ? x+3 ? 2x+4. 得 x ? a +1 或 x ?

a ?1 , 3

a ?1 ,得 a ? -2. 3 综上, a 的取值范围为 a ? -2………………10 分
所以 a +1 ? -2 或 a +1 ?


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