高中数学专题参数不等式经典题型


参数不等式恒成立问题中参数范围的确定 1 分离参数法 例 1: 设

? 1 ? 2 x ? ? ? ?n ? 1? x ? n x a ? f ? x ? ? lg ? 其中 n 若 ? , a 是实数, 是任意给定的自然数且 n≥2, f ? x ? n ? ?

?

?

当x?

?? ?,1?

时有意义, 求 a 的取值范围。 例 2 : 已 知 定 义 在 R 上 函 数 f(x) 为 奇 函 数 , 且 在

a>

m 取(4- 2 2 ,+∞) f ?c o s ? ? 3? ? f ?4m ? 2m c o s ? ? 0 恒成立。 2 ? 5 1 ? 3? 2 例 3: 设 0<a ? ,若满足不等式 x ? a ? b 的 一切实数 x, 亦满足不等式 x ? a ? 求正实数 b 的取值范围。 取 ? 0, b ? 4 2 ? 16 ? 2 主参换位法 某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可 考虑变换思维角度。即把变元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果。 例 4:若对于任意 a ?

?0,??? 上 是 增 函 数 , 对 于 任 意 x ? R 求 实 数

1 ?1 ? n ? 2
m 范围,使

?? 1,1? ,函数 f ?x? ? x 2 ?a ? 4?x ? 4 ? 2a 的值恒大于 0,求 x 的取值范围。

例 5:

对于(0,3)上的一切实数 x,不等式

?x ? 2?m ? 2 x ? 1恒成立,求实数 m 的取值范围。

x ? 1或 x ? 2 或 x ? 3 1 ?m?5 2

3 构建函数法 当参数难以分离而不等式是有关某个变量的一次或二次函数时,可以通过构建函数来解决。我们知道,函数概念是高中数学的一 个很重要的概念,其思想和方法已渗透到数学的各个分支。在某些数学问题中,通过数式类比,构造适当的函数模型,然后利用 函数的有关性质结论解题。如何通过构造一次函数,二次函数模型,并利用它们的性质来确定参数的取值范围。 (1) 构造一次函数 例 6: 若对一切

p ? 2 ,不等式 ?log 2 x ? ? p log 2 x ? 1 ? 2 log 2 x ? p 恒成立,求实数 x 的取值范围。
2

x 取 ? 0, (2) 造二次函数

? ?

1? ? ? ?8,?? ? 2? ? 1 ? ,?? ? ? 2 ?

例 7: 对于 ?

? ?? ? ?0, ? , cos2 ? ? 2m sin? ? 2m ? 2 ? 0 恒成立,求实数 m 的范围。 ? 2?

m 取??

4 数形结合法 某些含参不等式恒成立问题,既不能分离参数求解,又不能转化为某个变量的一次或二次函数时,则可采用数形结合法。对 于解含参不等式恒成立问题,我们可以先把不等式(或经过变形后的不等式)两端的式子分别看成两个函数,且画出两函数的图 象,然后通过观察两图象(特别是交点时)的位置关系,从而列出关于含参数的不等式。

81 18 ? 2 xy ? 2 ? y 2 ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。 a 取 (??,6] 2 x x ?1 ? ? 1? 2 例 9:若不等式 3 x ? log a x ? 0 在 x ? ? 0, ? 内恒成立,求实数 a 的取值范围。解: a 取 ? 27 ,1? ? ? ? 3?
例 8、已知对于一切 x,y∈R,不等式 x
2

?

5. 观察.试探.猜想.证明法 当前面的方法都难以解决问题时,我们可以考虑从特殊到一般的思想,先考虑一些变量的特殊值,找出相应的满足题设的参数的 取值,然后猜想出参数的取值范围,并将问题转化为:在已知参数取值范围的情况下,证明所给问题恒成立。 例 10: 已知对一切实数 ? ,不等式 a 参考答案 1 分离参数法 分析一下这道题的特征:因为分母 n 是正数,要使得 须也是正数。并容易看出,可以将 a 分离出来。 分析: 当x?

?4 ? sin ? ?4 ? cos2 ? ? 3 ? a ? 0 恒成立,试求实数 a 的取值范围。 a ?

3 82

f ? x ? 当 x ? ?? ?,1? 有意义,分子 1 ? 2 x ? ? ? ?n ? 1? ? n x a
x
x x ?? 1 ? x ? 2 ? x ? 1? ? x ? ? ? ?n ? 1? ? n x a ? 0 ? a ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? n? ? ?? n ? ? n ? ? ?

?

? 就必

?? ?,1?时, f ?x ? 有意义,故有1 ? 2
x x

令 ? ?x ? ? ??? 1 ? ? ? 2 ? ? ? ? ?1 ? 1 ? ? ,只要对 ? ? ? ? ? ? ?

?

x

?

?? n ? ?

?n?

?

n? ? ?

?x ?在 ?? ?,1? 上的最大值,此不等式成立即可。故我们可以利用函数的最值

分离出参数 a。 解:由 x ?

?? ?,1? 时, f ?x ? 有意义得: 1 ? 2 x ? ? ? ?n ? 1?x ? n x a ? 0 ? a ? ??? 1 ? ?? ?
?
x x x

x x ?2? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ,由指数 ? n? ? ?? n ? ? n ? ? ? x

函数单调性知上式右边的函数 ? ?x ? ? ? ?? 1 ? ? ? 2 ? ? ? ? ?1 ? 1 ? ? 的最大值是 ? ? ? ? ? ? ?

?

?? n ? ?

?n?

?

n? ? ?

?1? ? ? ?? 1 ? ? ? 2 ? ? ? ? ? n ? 1 ?? = ? ?? ?? ? ? ?
?? n ? ? n ? ? n ??

1 ?1 ? n ? ,故 2

a>

1 ?1 ? n ? 2

一般地,利用最值分离参数法来确定不等式 (1) 将参数与变量分离,即化为

(3)

思想方法:把不等式中恒成立问题转化为求函数最值问题。适用题型: (1) 参数与变量能分离; (2) 函数的最值易求出。 例 2:解:∵ f(x)在 R 上为奇函数,且在

?0,??? 上是增函数,∴f(x)在 ?? ?,??? 上为增函数,又 ∵ f ?c o s ? ? 3? ? f ?4m ? 2m c o ? ? ? 0 ,∴ f ?cos 2? ? 3? >- f ?4m ? 2m cos? ? = f ?2m cos? ? 4m? 2 s 1 ∴ cos 2? ? 3 ? 2m cos? ? 4m 即 2m?2 ? cos? ? ? 3 ? cos 2? , ∵ 2- cos ? ? ? ,3? ,
2 2 ? cos ? 2 m ? 3 ? cos 2? ? 4 ? 2 cos ? ,∴m> ? 2 ? cos? ?



2 ? cos?

2? 2 2 ? ? ? ,即 4-m< t ? 在 t ? ?1,3?上恒成立,即求 g ?t ? ? t ? 在 t ? ?1,3?上的 t? t t ? 2 2 1 最小值,∵ g ?t ? ? t ? ≥2 2 等号成立条件 t= ,即 t ? 2 ? ? ,3? 成立,∴ g ?t ?min ? 2 2 ,∴4-m< 2 2 即 m>4- t t 2 2 ,∴m 的取值范围为(4- 2 2 ,+∞)
令 2- cos?

? t , t ? ?1,3?,

例 3:简析略解:此例看不出明显的恒成立问题,我们可以设法转化: 设集合 A=

1? ? 1 1? x ? a2 ? ? ? ?a2 ? ,a2 ? ? 2? ? 2 2? ? 1 由题设知 A ? B,则: a ? b ? a2 ? 2 1 a ? b ? a2 ? 2 1 于是得不等式组: b ? ?a 2 ? a ? 2 1 b ? a2 ? a ? 2
B= ? x |
2

?





1? 3 1 ? 1? 1 3 1 ? ? a ? a ? ? ? ? a ? ? ? ,最小值为 ; a 2 ? a ? ? ? a ? ? ? , 2? 4 2 ? 2? 4 16 2 ? 3 ? 3? b? , 即 :b 的取值范围是 ? 0, ? 16 ? 16 ?
2

2 主参换位法 分析:若把它看成 x 的二次函数,由于 a, x 都要变,则函数的最小值很难求出,思路受阻。若视 a 为主元,则给解题带来转机。 例 4 :解:设

g ?a ? ? ?x ? 2?a ? x 2 ? 4 x ? 4 ,把它看成关于 a 的直线,题意知,直线恒在横轴下方。 g ?1? ? 0 ,解得: x ? 1 或 x ? 2 或 x ? 3

例 5:分析: 一般的思路是求 x 的表达式,利用条件求 m 的取值范围。但求 x 的表达式时,两边必须除以有关 m 的式子,涉 及对 m 讨论,显得麻烦。 解:若设

f ?x ? ? ?x ? 2?m ? ?2 x ? 1? ? ?m ? 2?x ? ?1 ? 2m? ,把它看成是关于 x 的直线

3 构建函数法

?x

(2) 求

D 时的最大(或最小)值; f 2 ?x ? 在 解不等式 f1 ?? ? ? f 2 max ?x ??或 ? f 2 min ?x ??

f ?x, ? ? ? 0 , ( x ? D ? 为实参数)恒成立中参数取值范围的基本步骤: f1 ?? ? ? f 2 ?x ??或f 2 ?? ? ? f 2 ?x ??的形式;
得 ? 的取值范围。

2

2 ? cos?

2 ? cos?

2 2 ? 4 ? [2 ? cos? ? ] 2 ? cos? 2 ? cos?

∴ m>4- ? t

?x | x ? a ? b? ? ?a ? b, a ? b? ,

(0 ? a ?

5 ) 4
2

最小值为

1 4



所以

g ?? 1? ? 0

(1) 构造一次函数 例 6:解: 原不等式变形为



f ? p ? ? p?log 2 x ? 1? ? ?log 2 x ? ? 2 log 2 x ? 1 f ? p ? ? 0 在 p ? ?? 2,2?上恒成立
2 2 2

p?log 2 x ? 1? ? ?log 2 x ? ? 2 log 2 x ? 1 ? 0 ,现在考虑 p 的一次函数:
2

f ?? 2? ? ?2?log 2 x ? 1? ? ?log 2 x ? ? 2 log 2 x ? 1 ? 0
解得:

∴ f ?2? ? 2?log 2 x ? 1? ? ?log 2 x ? ? 2 log 2 x ? 1 ? 0 ,
注: (2) 本题对于一切 造二次函数

x ? 8或0 ? x ?

1 2

p ? 2 不等式恒成立,因此应视 p 为主元,视 x 为参数,把不等式左边变成关于 p 的一次函数型。

例 7:解: 原不等式变形为:

? sin 2 ? ? 2m sin? ? 2m ? 1 ? 0 ,即 sin 2 ? ? 2m sin? ? 2m ? 1 ? 0 ,令 sin? ? t , t ? ?0,1? ,∴ t 2 ? 2mt ? 2m ? 1 ? 0 ,令 f ?t ? = t 2 ? 2mt ? 2m ? 1,∴ 题意为 f ?t ? >0 在 t ? ?0,1? 上恒成立。 ? 2m ? 2m ? 2m 2 ? ? 0 f ?0? ? 2m ? 1 ? 0 , 0 ? ? ? 1 , ? = ?? 2m ? -4×1×( 2m ? 1 )<0, ? ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 或 1 1 g ?1? ? 1 ? 2m ? 2m ? 1 >0,解得 : ? ? m ? 0 或 0 ? m ? 1 或 m ? 1 ∴ m ? ? , 2 2
2

4 数形结合法 例 8 解: x

?

81 18 81 18 ? 2 xy ? 2 ? y 2 ? a ? 0 ? a ? x 2 ? 2 ? 2 xy ? 2 ? y2 2 x x x x
2 81 18 ? 2 xy ? 2 ? y 2 }min ,又 x 2 x x

要使原不等式恒成立

? a ? {x 2 ?
= (x ?

9 9 ? 2 xy ? y 2 ? [( ) 2 ? 2( ) 2 2 ? y 2 ? 2 ? y 2 ] ? 2 x x

9 9 2 ,N(y,- 2 ? y )则点 M 在曲线 C1:xy=9 上,点 N 在曲线 C2: y 2 ) ? ( ? 2 ? y 2 ) 2 ? 2 ,考虑到点 M(x, ) x x 2 2 x +y =2(y≤0)上。显然|MN|min= 3 2 ? 2 ? 2 2 ,此时 a ? 6 .故满足条件的 a 的取值范围为 (??,6]
评析:对一些不等式两边的式子,函数模型较明显、函数图象较容易作出的,可以考虑作出函数图象,用函数图像的直观性解决 不等式或方程的恒成立的问题,也非常容易得到意想不到的效果。

? 1? 例 9:解: 由题意知 : 3x ? log a x 在 x ? ? 0, ? 内恒成立。在同一坐标系内分别作 ? 3? ? 1? 2 出 y ? 3x 和 y ? l o g x 的图象,因为 x ? ? 0, ? 时, y ? log a x 的图象位于函数 a ? 3?
2

y x

O

y ? 3x 2 的图象上方,



a> 1 时,显见不成立。故

0<a<1

①,由图可知:

或在这个点的上方,则:

log a

1 1 1 ②,由 ? ,∴ a ? 27 3 3

①,② 知

?1 1? y ? log a x 的图象必须过点 ? , ? ?3 3? 1 ?1 ? : ? a ? 1 ,∴ a 的取值范围为 ? ,1? 27 ? 27 ?

5. 观察.试探.猜想.证明法
4 3 ?? ? 3 ? 2 ? ? 3 ? a ? 0 解得: a> 。又取 ? =0,? 时均得: a ? , , 则由 a? 4 ? sin ? ? cos 2? 2 82 2 257 ? 3 3 2 , 由于当 a ? 由此猜想: a ? 时,对一切 ? ? R ,∵ cos ? ? 0 , 4 ? sin? ? 3 ,∴ 82 82 3 2 a?4 ? s i n ? ? c o s ? ? 3 ? a ? a ? 34 ? 0 ? 3 ? a ? 0 恒成立,故 a ? ? 4 为所求。 82

例 10:分析: 取 ? =


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