2019高中数学第一章常用逻辑用语阶段复习课学案新人教A版选修1_1

第一课 常用逻辑用语 [核心速填] 1.命题及其关系 (1)判断一个语句是否为命题,关键是: ①为陈述句; ②能判断真假. (2)互为逆否关系的两个命题的真假性相同. (3)四种命题之间的关系如图所示. 2.充分条件、必要条件和充要条件 (1)定义 一般地,若 p,则 q 为真命题,是指由 p 通过推理可以得出 q.这时,我们就说,由 p 可推出 q,记作 p? q,并且说 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件. 一般地,如果既有 p? q,又有 q? p,就记作 p?q.此时,我们说,p 是 q 的充分必要条 件,简称充要条件. (2)特征 充分条件与必要条件具有以下两个特征: ①对称性:若 p 是 q 的充分条件,则 q 是 p 的必要条件; ②传递性: 若 p 是 q 的充分条件, q 是 r 的充分条件, 则 p 是 r 的充分条件. 即若 p? q, q? r,则 p? r.必要条件和充分条件一样具有传递性,但若 p 是 q 的充分条件,q 是 r 的必 要条件,则 p 与 r 的关系不能确定. 3.含逻辑联结词的命题的真假判断 (1)p∧q:全真才真,一假则假; (2)p∨q:全假才假,一真则真; (3) p:p 与 p 真假性相反. 4.全称量词与全称命题,存在量词与特殊命题 (1)全称量词与全称命题:短语“所有的”“任意一个”“每一个”“任给”在逻辑中 通常叫做全称量词,并用符号“? ”表示.全称命题“对 M 中任意一个 x,有 p(x)成立”, 可用符号简记为? x∈M,p(x). 1 (2)存在量词与特称命题:短语“存在一个”“至少有一个”“有些”在逻辑学中通常 叫做存在量词,并用符号“? ”表示;特称命题“存在 M 中的元素 x0,使 p(x0)成立”,可 用符号简记为? x0∈M,p(x0). 5.含有一个量词的命题的否定 (1)全称命题 p:? x∈M,p(x),则 p:? x0∈M, p(x0). (2)特称命题 p:? x0∈M,p(x),则 p:? x∈M, p(x). [体系构建] [题型探究] 四种命题的关系及其真假判断 将下列命题改写成“若 p,则 q”的形式,并写出它的逆命题、否命题 和逆否命题以及判断它们的真假. (1)当 mn<0 时,方程 mx -x+n=0 有实数根; (2)能被 6 整除的数既能被 2 整除,又能被 3 整除. [解] (1)将命题写成“若 p,则 q”的形式为:若 mn<0,则方程 mx -x+n=0 有实数 根. 它的逆命题、否命题和逆否命题如下: 逆命题:若方程 mx -x+n=0 有实数根,则 mn<0.(假) 否命题:若 mn≥0,则方程 mx -x+n=0 没有实数根.(假) 逆否命题:若方程 mx -x+n=0 没有实数根,则 mn≥0.(真) (2)将命题写成“若 p,则 q”的形式为:若一个数能被 6 整除,则它能被 2 整除,且能 被 3 整除,它的逆命题,否命题和逆否命题如下: 逆命题:若一个数能被 2 整除又能被 3 整除,则它能被 6 整除.(真) 2 2 2 2 2 2 否命题:若一个数不能被 6 整除,则它不能被 2 整除或不能被 3 整除.(真) 逆否命题:若一个数不能被 2 整除或不能被 3 整除,则它不能被 6 整除.(真) [规律方法] 1.在原命题、逆命题、否命题、逆否命题中,原命题与逆否命题,逆命题 与否命题是等价命题,它们的真假性相同. 2.“p∧q”的否定是“ p 或 q”,“p∨q”的否定是“ p 且 q”. [跟踪训练] 1.(1)给出下列三个命题: ①“全等三角形的面积相等”的否命题; ②“若 lg x =0,则 x=-1”的逆命题; ③若“x≠y 或 x≠-y,则|x|≠|y|”的逆否命题. 其中真命题的个数是( A.0 B B.1 ) C.2 D.3 2 [对于①,否命题是“不全等三角形的面积不相等”,它是假命题;对于②,逆命题 2 是“若 x=-1,则 lg x =0”,它是真命题;对于③,逆否命题是“若|x|=|y|,则 x=y 且 x=-y”,它是假命题,故选 B.] (2)命题:“若 a +b =0,则 a=0 且 b=0”的逆否命题是( 2 2 ) 【导学号:97792039】 A.若 a +b =0,则 a=0 且 b≠0 B.若 a +b ≠0,则 a≠0 或 b≠0 C.若 a=0 且 b=0,则 a +b ≠0 D.若 a≠0 或 b≠0,则 a +b ≠0 D 2 2 2 2 2 2 2 2 2 [命题“若 a +b =0,则 a=0 且 b=0”的逆否命题是:“若 a≠0 或 b≠0,则 a 2 2 2 +b ≠0”.故选 D.] 充分条件、必要条件与充要条件 (1)已知△ABC 两内角 A,B 的对边边长分别为 a,b,则“A=B”是“acos A= bcosB”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)已知直线 l1:x+ay+2=0 和 l2:(a-2)x+3y+6a=0,则 l1∥l2 的充分必要条件 是 a=__________. [解析] (1)由 acos A=bcosB? sin 2A=sin 2B, 3 ∴A=B 或 2A+2B=π ,故选 A. (2)由 1 a 2 = ≠ , a-2 3 6a 得 a=-1(舍去),a=3. [答案] (1)A (2)3 [规律方法] 充分条件和必要条件的判断 充分条件和必要条件的判断,针对具体情况,应采取不同的策略,灵活判断.判断时要 注意以下两个方面: 注意分清条件和结论, 以免混淆充分性与必要性,从命题的角度判断充分、 必要条 件时,一定要分清哪个是条件,哪个是结论,并指明条件是结论的哪种条件,否则会混淆二 者的关系,造成错误. 注意转化命题判断, 培养思维的灵活性,由于原命题与

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