高中数学必修一同步教学课件:3.1.2 用二分法求方程的近似解_图文

3.1.2 用二分法求方程的近似解 (1)通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件, 了解二分法是求方程近似解的常用方法,从中体会函 数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用; (2)能借助计算器用二分法求方程的近似解; (3)体会数学逼近过程,感受精确与近似的相对统一. 在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指 挥部的电话线路发生了故障.这是一条10km长的线路, 如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段 查找,困难很多.每查一个点要爬一次电线杆,10km 长,大约有200多根电线杆呢.想一想,维修线路的工 人师傅怎样工作最合理? 如图,设闸门和指挥部的所在处为点A,B, 1.首先从中点C查 2.用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定 故障在BC段 3.再到BC段中点D 4.这次发现BD段正常,可见故障在CD段 5.再到CD中点E来看 6.这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半 A C E D B 这样每查一次,就可以把待查线路长度缩减为一 半,故经过7次查找,就可以将故障发生的范围缩小 到50—100m左右,即在一两根电线杆附近. 这在现实生活中也有许多重要的应用.其思想方 法在生活中解答以上这类问题时经常碰到.解答以上 这类实际问题关键在于,根据实际情况加以判断和总 结,巧妙取中点,巧妙分析和缩小故障的区间,从而 以最短的时间和最小的精力达到目的. 假设在区间[-1,5]上,f(x)的图象是一条连续的 曲线,且f(-1)>0,f(5)<0即f(-1)f(5)<0,我们依如 上方法求得方程f(x)=0的一个解? 取[-1,5]的一个中点2,因为f(2)>0,f(5)<0,即 f(2)f(5)<0,所以在区间[2,5]内有方程的解,于是再 取[2,5]的中点3.5,…… 如果取到某个区间的中点x0,恰好使f(x0)=0, 则x0就是所求的一个解;如果区间中点的函数总不 为0,那么,不断重复上述操作, y f(x) -1 O 1 2 3 4 5 x 二分法的定义: 像上面这种求方程近似解的方法称为二分法,它 是求一元方程近似解的常用方法。 定义如下: 对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数 y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分 为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点 近似值的方法叫做二分法(bisection). 给定精度 ? ,用二分法求函数的零点近似值的步骤如下: 1.确定区间? a, b ?,验证 f (a) ? f (b) ? 0 ,给定精度 ? ; 2.求区间 ? a , b ? 的中点 c ; 3.计算 f (c) (1)若 f (c) ? 0 ,则 c就是函数的零点; : (2)若 f (a) ? f (c) ? 0 ,则令 b ? c(此时零点 x0 ? (a, c) ; (3)若 f (c) ? f (b) ? 0 ,则令 a ? c (此时零点 x0 ? (c, b) ; 4.判断是否达到精度 ? 即若 a ? b ? ? ,则得到零点近似值 a (或 b ); 否则重复步骤2~4. 例1. 求函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内的零点 (精确度为0.01). 解:画出y=lnx及y=6-2x的图象,观察图象得, 方程lnx=6-2x有唯一解,记为 x1 ,且这个解 在区间(2,3)内。 列出下表: 根所在区间 区间端点函数值符号 中点值 中点函数值符号 (2,3) (2.5,3) f(2)<0,f(3)>0 f(2.5)<0,f(3)>0 2.5 2.75 f(2.5)<0 f(2.75)>0 (2.5,2.75) (2.5,2.625) f(2.5)<0,f(2.75)>0 2.625 2.5625 2.53125 2.546875 2.5390625 f(2.625)>0 f(2.5625)>0 f(2.53125)<0 f(2.546875)>0 f(2.5390625)>0 f(2.5)<0,f(2.625)>0 f(2.5)<0 (2.5,2.5625) f(2.5625)>0 f(2.53125)<0 (2.53125,2.5625) f(2.5625)>0 f(2.53125)<0 (2.53125,2.546875) f(2.546875)>0 (2.53125,.5390625) f(2.53125)<0, f(2.5390625)>0 由于 2.5390625 ? 2.53125 ? 0.0078125 ? 0.01 所以,可以将 x ? 2.53125 作为函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 零点的近似值,也即方程 ln x ? 2x ? 6 ? 0 的近似根 点评:由函数的零点与相应方程根的关系,我们可以 用二分法来求方程的近似解。 由于计算量较大,而且是重复相同的步骤,因此可以通 过设计一定的计算程序,借助计算器或计算机完成计算。 利用计算器,求方程 lgx=3-x的近似解.(精确到0.1) 解:画出y=lgx及y=3-x的图象,观察图象得,方程 lgx=3-x有唯一解,记为x, 且这个解在区间(2,3)内。 y 设 f(x)=lgx+x-3 O y=lgx x y=3-x 列出下表: 根所在区间 (2 ,3 ) (2.5,3) (2.5,2.75) (2.5,2.625) 区间端点函数值符号 f(2)<0,f(3)>0 f(2.5)<0,f(3)>0 f(2.5)<0,f(2.75)>0 中点值 2.5 2.75 2.625 中点函数值符号 f(2.5)<0 f(2.75)>0 f(2.625)>0 f(2.5625)<0 f(2.5)<0,f(2.625)>0 2.5625 f(2.5625)<0, (2.562

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