2011届高三数学复习专题测试六:直线与圆的方程

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2011 届高三数学复习专题测试六:直线与圆的方程 (一)典型例题讲解:
例 1、已知定点 P(6,4)与定直线?1:y=4x,过 P 点的直线?与?1 交于第一 、 象限 Q 点,与 x 轴正半轴交于点 M,求使△OQM 面积最小的直线?方程。 命题意图 直线?是过点 P 的旋转直线, 本题主要考查如何选参数, 是选其斜率
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k 作为参数,还是选择点 Q(还是 M)作为参数是本题关键。 知识依托 两点连线的斜率公式,直线的方程,三角形的面积,基本不等式 错解分析 本题的关键是选准参数,如果选 k 作为参数,运算量稍大,会把问 题变得复杂起来 技巧与方法 选用点做参数,灵活运用直线方程及面积公式
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解:设 Q(x0,4x0) ,M(m,0) ∵ Q,P,M 共线 ∴ kPQ=kPM ∴ 解之得: m =
5x 0 x0 ?1 4 ? 4x 0 4 = 6 ? x0 6?m

∵ x0>0,m>0 ∴ x0-1>0 ∴ S ?OMQ = | OM | 4x 0 = 2mx 0 = 令 x0-1=t,则 t>0
S= 1 2 10x 0 x0 ?1
2

10( t + 1) 2 1 = 10( t + + 2) ≥40 t t

当且仅当 t=1,x0=11 时,等号成立

,此时 Q(11,44) ,直线?:x+y-10=0

评注: 评注:本题通过引入参数,建立了关于目标函数 S△OQM 的函数关系式,再由基 本不等式再此目标函数的最值。要学会选择适当参数,在解析几何中,斜率 k, 截距 b,角度θ,点的坐标都是常用参数,特别是点参数。 某校一年级为配合素质教育, 利用一间教室作为学生绘画成果展览室, 例 2、 、
1

为节约经费,他们利用课桌作为展台,将装画的镜框放置桌上,斜靠展出,已知 镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α<180°)镜框中,画的上、下边缘与镜框下 边缘分别相距 a m,b m,(a>b) 问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳? 命题意图 本题是一个非常实际的数学问题,它不仅考查了直线的有关概 念以及对三角知识的综合运用, 而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问 题的能力 知识依托 三角函数的定义,两点连线的斜率公式,不等式法求最值 错解分析 解决本题有几处至关重要,一是建立恰当的坐标系,使问题转 化成解析几何问题求解;二是把问题进一步转化成求 tanACB 的最大值 如果坐 标系选择不当,或选择求 sinACB 的最大值 都将使问题变得复杂起来 技巧与方法 欲使看画的效果最佳,应使∠ACB 取最大值,欲求角的最值, 又需求角的一个三角函数值 解 建立如图所示的直角坐标系,AO 为镜框边,AB 为画的宽度,O 为下 边缘上的一点,在 x 轴的正半轴上找一点 C(x,0)(x>0),欲使看画的效果最佳,应 使∠ACB 取得最大值 由三角函数的定义知 A、B 两点坐标分别为(acosα,asinα)、 (bcosα,bsinα),于是直线 AC、BC 的斜率分别为 y a sinα b sinα A . , k BC = tan xCB = kAC=tanxCA= a cosα ? x b cosα ? x B 于是 α k BC ? k AC (a ? b) ? x sinα (a ? b) ? sinα o tanACB= = = C x 1 + k BC ? k AC ab? (a + b)x cosα + x2 ab + x ? (a + b) ? cosα
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x

由于∠ACB 为锐角,且 x>0,则 tanACB≤ 当且仅当

( a ? b) ? sin α 2 ab ? ( a + b) cosα

,

ab =x,即 x= ab 时,等号成立, x

此时∠ACB 取最大值,对应的点为 C( ab ,0), 因此,学生距离镜框下缘 ab cm 处时,视角最大,即看画效果最佳
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例 3、预算用 2000 元购买单件为 50 元的桌子和 20 元的椅子,希望使桌椅 、 的总数尽可能的多,但椅子不少于桌子数,且不多于桌子数的 1 5 倍,问桌、 椅各买多少才行? 命题意图 利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一 个应用,本题主要考查找出约束条件与目标函数、准确地描画可行域,再利用图 形直观求得满足题设的最优解 知识依托 约束条件,目标函数,可行域,最优解 错解分析 解题中应当注意到问题中的桌、椅张数应是自然数这个隐含条 件,若从图形直观上得出的最优解不满足题设时,应作出相应地调整,直至满足 题设 技巧与方法 先设出桌、椅的变数后,目标函数即为这两个变数之和,再 由此在可行域内求出最优解
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设桌椅分别买 x,y 张,把所给的条件表示成不等式组,即约束条件

?50 x + 20 y ≤ 2000 200 ? ?y ≥ x ?x = 7 ?50 x + 20 y = 2000 ? ? 为? 由? , 解得? ?y = x ? y = 200 ? y ≤ 1 .5 x ? ? x ≥ 0, y ≥ 0 7 ? ?

∴A 点的坐标为(

200 200 , ) 7 7

y
y=1.5x B(25, 75 ) 2 y=x

? x = 25 ?50 x + 20 y = 2000 ? , 解得? 由? 75 y = 1.5 x ? ?y = 2 ?

A o
50x+20y=2000

x

∴B 点的坐标为(25,

75 ) 2 200 200 75 , ),B(25, ),O(0,0)为顶 7 7 2 75 ),但注意 2

所以满足约束条件的可行域是以 A( 点的三角形区域(如右图)

由图形直观可知,目标函数 z=x+y 在可行域内的最优解为(25,
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到 x∈N,y∈N*,故取 y=37 故有买桌子 25 张,椅子 37 张是最好选择 (1)求经过点 A(5,2) ,B(3,2) ,圆心在直线 2x-y-3=0 上圆方程; 例 4、 、
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(2)设圆上的点 A(2,3)关于直线 x+2y=0 的对称点仍在这个圆上,且与 直线 x-y+1=0 相交的弦长为 2 2 ,求圆方程。 命题意图 本题主要考查圆的方程的表达形式及对称性的问题,可利用数形结 合法,利用圆中“半径、半弦、弦心距”构成直角三角形可解. 知识依托 圆的方程,对称性,勾股定理 错解分析 题中没有注意到圆的对称只是改变圆的位置,圆的大小并不改变, 不能选取特殊点来进行解题。 技巧与方法 先选准圆的方程的形式,利用数形结合,并能选特殊点进行对称 解: (1)法一:从数的角度
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若选用标准式:设圆心 P(x,y) ,则由|PA|=|PB|得: (x0-5)2+(y0-2)2=(x0-3)2+(y0-2)2 又 2x0-y0-3=0 两方程联立得: ?
?x 0 = 4 ,|PA|= 10 ?y 0 = 5

∴ 圆标准方程为(x-4)2+(y-5)2=10
D E ,? ) 2 2

若选用一般式:设圆方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心( ?

3

? 2 2 ?5 + 2 + 5D + 2E + F = 0 ? 2 ∴ ?3 + 2 2 + 3D + 2E + F = 0 ? D E ?2 × ( ? ) ? ( ? ) ? 3 = 0 2 2 ?

? D = ?8 解之得: ?E = ?10 ? ?F = 31 ?

法二:从形的角度 AB 为圆的弦, 由平几知识知, 圆心 P 应在 AB 中垂线 x=4 上, 则由 ? 得圆心 P(4,5) ∴ 半径 r=|PA|= 10 显然,充分利用平几知识明显降低了计算量
?2 x ? y ? 3 = 0 ?x = 4

(2) 设 A 关于直线 x+2y=0 的对称点为 A’ 由已知 AA’为圆的弦 ∴ AA’对称轴 x+2y=0 过圆心 ,则 R=|PA|=(-2a-2)2+(a-3)2 ∴ R2 = 2 +
(3a ? 1) 2 2

设圆心 P(-2a,a) ,半径为 R 又弦长 2 2 = 2 R 2 ? d 2 , d = ∴ 4(a+1)2+(a-3)2=2+

| ?2a ? a + 1 | 2

(3a ? 1) 2 2

∴ a=-7 或 a=-3

2 2 当 R= 当 a=-7 时, 52 ; a=-3 时, 244 ∴ 所求圆方程为(x-6) +(y+3) =52 R=

或(x-14)2+(y+7)2=244

(二)巩固练习

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一、选择题 1.若直线(m2-1)x-y+1-2m=0 不过第一象限,则实数 m 取值范围是( A、-1<m≤
1 2



B、 ? ≤m≤1

1 2

C、 <m<1

1 2

D、 ≤m≤1

1 2

2.已知直线 2x+y-2=0 和 mx-y+1=0 的夹角为 A、 ? 或-3
1 3

π ,则 m 值为( 4

) D、 或 3
1 3

B、-3 或

1 3

C、-3 或 3

3.点 P 在直线 x+y-4=0 上,O 为原点,则|OP|的最小值是( A、2 B、 6 C、 2 2

) D、 10

4

1 4. “m= ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂直” 2

的(

) A.充分必要条件 C.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件 ) D

5. 三边均为整数且最大边的长为 11 的三角形的个数为( A 15 B 30 C 36
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以上都不对

6.已知平面区域 D 由以 A(1,3) 、 B(5,2) 、 C (3,1) 为顶点的三角形内部和边界组成. 若在区域 D 上有无穷多个点 ( x, y ) 可使目标函数 z = x + my 取得最小值,则 m = ( ) A. ? 2 B. ? 1 C. 1 D. 4 7. 在圆 x 2 + y 2 = 4 上,与直线 4x+3y-12=0 的距离最小的点的坐标为(
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A.

?8 6? ? ,? ? ?5 5?

B.

?8 6? ? , ? ?5 5?

? 8 6? C. ? ? , ? ? 5 5?

D.

? 8 6? ?? ,? ? ? 5 5?

8 . 将 直 线 2x ? y + λ = 0 沿 x 轴 向 左 平 移 1 个 单 位 , 所 得 直 线 与 圆 x 2 + y 2 + 2 x ? 4 y = 0 相切,则实数 λ 的值为
A.-3 或 7 B.-2 或 8 C.0 或 10




D.1 或 11

9,圆 x 2 + y 2 ? 2 x + 4 y ? 4 = 0 截直线 x+y-l=0 所截得的弦长是





(A )2

(B) 2 2

(C ) 2 7

(D)以上都不对

10 ,从直线 y = 3 上的点向定圆 x 2 + y 2 = 2 x 作切线,则切线长的最小值为



) (B) 7 (C )3 (D) 10 )

(A ) 2 2

11,过点 P(3,6)且被圆 x 2 + y 2 = 25 截得的弦长为 8 的直线方程是 (

(A) 3 x ? 4 y + 15 = 0 (C ) 4 x ? 3 y + 6 = 0 或 x =3

(B) 4 x ? 3 y + 6 = 0 (D) 3 x ? 4 y + 15 = 0 或 x=3

12.直线 y = ?x + m 与圆 x2 + y2 =1在第一象限内有两个不同交点,则 m 的取值范围 是 ( ) ( A) 0 < m < 2 (B) 1 < m < 2
(C ) 1 ≤ m ≤ 2 ( D) ? 2 < m < 2
5

二、填空题 13.直线 ax+by+c=0 与直线 dx+ey+c=0 的交点为(3,-2) ,则过点(a,b)(d, , e)的直线方程是___________________。 14.已知{(x,y)|(m+3)x+y=3m-4}∩{(x,y)|7x+(5-m)y-8=0}=φ,则直线 (m+3)x+y= 3m+4 与坐标轴围成的三角形面积是__________________。 15. 直线 2x-y-4=0 上有一点 P,它与两定点 A(4,-1),B(3,4)的距离之差最 大,则 P 点坐标是_________ 16 自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在直 线与圆 x2+y2-4x-4y+7=0 相切,则光线 l 所在直线方程为_________
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17 设不等式 2x-1>m(x2-1)对一切满足|m|≤2 的值均成立,则 x 的范围为 _________ 18.已知 P(1,2)为圆 x2+y2=9 内一定点,过 P 作两条互相垂直的任意弦交圆 于点 B、C,则 BC 中点 M 的轨迹方程为____________
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三、解答题 19、已知△ABC 中,A(2,-1) ,B(4,3) ,C(3,-2) ,求: (1)BC 边上的高所在直线方程; (2)AB 边中垂线方程; (3)∠A 平分线所在直线方程。

20、已知方程 x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0 表示一个圆, (1)求实数 m 取 值范围; (2)求圆半径 r 取值范围; (3)求圆心轨迹方程。

21、已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点,分别过点 A、B 作 y 轴的平行线与函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点 (1)证明 点 C、D 和原点 O 在同一直线上 (2)当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标
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6

22、 已知圆 C: x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为 1 的直线 L,使以 L 被圆 C 截得弦 AB 为直径的圆经过原点?若存在,写出直线的方程;若不存在,说明理由
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23、如果实数满足 ( x + 2) 2 + y 2 = 3 ,求

y 的最大值、2x-y 的最小值 x

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24、在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的长为2,宽为1,AB、AD边 分别在x轴、y轴的正半轴上,A点与坐标原点重合(如图所示) .将矩形折叠, 使A点落在线段DC上. (Ⅰ)若折痕所在直线的斜率为k,试写出折痕所在直线的方程; (Ⅱ)求折痕的长的最大值.
Y C D

X O (A) B

7

解答 一. 选择题 题 号 答 案 二. 填空题 13、 3x-2y+C=0; 17、 14、 2; 15、 6); P(5, 16、3x+4y-3=0 或 4x+3y+3=0; 。
1 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

D

C

C

B

C

C

B

A

C

A

D

B

7 ?1 3 +1 ; <x< 2 2

18、 x2+y2-x-2y-2=0

三. 解答题 19、解: (1)∵ kBC=5 ∴ BC 边上的高 AD 所在直线斜率 k= ?
1 5

∴ AD 所在直线方程 y+1= ? (x-2) (2)∵ AB 中点为(3,1) AB=2 ,k ∴ AB 中垂线方程为 x+2y-5=0

即 x+5y+3=0

(3)设∠A 平分线为 AE,斜率为 k,则直线 AC 到 AE 的角等 于 AE 到 AB 的角。 ∵ kAC=-1,kAB=2 ∴
k +1 2 ? k = 1 ? k 1 + 2k

∴ k2+6k-1=0

∴ k=-3- 10 (舍) ,k=-3+ 10 ∴ AE 所在直线方程为( 10 -3)x-y-2 10 +5=0 20、解(1)m 满足[-2(m+3)]2+[2(1-4m2)]2-4(16m4+9)>0,即 7m2-6m-1<0
? 1 < m <1 7
8



(1)
1 7

半径 r= ? 7m 2 + 6m + 1 = ? 7(m ? ) 2 + ∴ m = 时, rmax =
3 7

3 7

16 7
4 7 7
2

∵ ? < m <1

4 7 7

∴ 0<r≤

(3)设圆心 P(x,y) ,则 ? 又 ? < m <1 ∴
1 7 20 <x<4 7

?x = m + 3
2 ? y = 4m ? 1

消去 m 得:y=4(x-3) -1
2

∴ 所求轨迹方程为(x-3) = (y+1)(

1 4

20 < x < 4) 7

21、(1)证明 设 A、B 的横坐标分别为 x1 、x2 ,由题设知 x1 >1,x2 >1,?点 A(x1,log8x1),B(x2,log8x2)
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因为 A、B 在过点 O 的直线上,所以 (x1,log2x1) 2,log2x2) 、(x 由于 log2x1=3log8x1,log2x2=3log8x2,则
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log 8 x1 log 8 x2 = ,又点 C、D 的坐标分别为 x1 x2

k OC =

log 2 x1 3 log 8 x1 log 2 x2 3 log 8 x2 = , kOD = = x1 x1 x2 x2
新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 王kc新王oc王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新

由此得 kOC=kOD,即 O、C、D 在同一直线上 (2)解 由 BC 平行于 x 轴,有 log2x1=log8x2,又 log2x1=3log8x1 ∴x2=x13
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新新新新 新新新新 源源源源源源源源 源源源源源源源源 特特特特特 特特特特特 王王王王 新新 王xw c新1t@ 王m 王 k 新 王 26 co.

将其代入

log 8 x1 log 8 x2 = ,得 x13log8x1=3x1log8x1, x1 x2
新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王

由于 x1>1 知 log8x1≠0,故 x13=3x1x2= 3 ,于是 A( 3 ,log8 3 ) 22、解:设直线 L 的斜率为1,且 L 的方程为 y=x+b,则

?y = x +b ? 2 2 ?x + y ? 2x + 4 y ? 4 = 0

消元得方程2x2+(2b+2)x+b2+4b-4=0,设此方程两根

? b + 1 b ?1? 为 x1,x2,则 x1+x2=-(b+1),y1+y2= x1+x2+2b=b-1,则AB中点为 ? ? , ?, 2 2 ? ?

又弦长为

k + 1 x1 ? x2 =
2

2 ( ?b ? 6b + 9 )
2

? b + 1 ? ? b ?1 ? , 由 题 意 可 列 式 ? ? +? ? = ? 2 ? ? 2 ?
2 2

9

? 2 ( ?b 2 ? 6b + 9 ) ? ? ? 解得 b=1 或 b=-9,经检验 b=-9 不合题意.所以所求直线方程 ? ? 2 ? ? ? ?
2

为 y=x+1

新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源th源/:w w kj.x源gty源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 p 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王kc@ 1王o.c王 王 新新 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源/:w w kj.x源gty源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 p 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 王kc新王c王 新 x t 2 .6 m 王 w @ 1 o

23、解(1)问题可转化为求圆 ( x + 2) 2 + y 2 = 3 上一点到原点连线的斜率 k = 最大值, 由图形性质可知, 由原点向圆 ( x + 2) 2 + y 2 = 3 作切
y 的最大值 x 设过原点的直线为 y=kx,即 kx-y=0,

y 的 x
2

y
1 -3 -2 -1

线,其中切线斜率的最大值即为

新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王

o
-1 -2

1

x



?2 k ? 0
2

?y? = 3 ,解得 k = 3 或 k = ? 3 ∴ ? ? = 3 ? x ?max k +1

新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 王kc新王oc王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新

(2)∵ x,y 满足 ( x + 2) 2 + y 2 = 3 , ? x = ?2 + 3 cos θ ? ∴? ? y = 3 sin θ ?
∴{2 x ? y}min = ?4 ? 15
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源th源/:w w kj.x源gty源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 p 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王kc@ 1王o.c王 王 新新 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源/:w w kj.x源gty源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 p 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 x t 2 .6 m 王 w @ 1 o 王kc新王c王 新

∴ 2 x ? y = ?4 + 2 3 cos θ ? 3 sin θ = ?4 + 15 sin (θ + φ )

另法:应用线性规划的思路,如图, 2x-y 的最小值或最大值就在直线 2x-y=b 与圆 ( x + 2) 2 + y 2 = 3 的切点处达到. 由

y
2
2x-y=0

?4 ? b 5

= 3 ,解得 b = ?4 ? 15 或 b = ?4 + 15
-3 -2 -1

1

o
-1 -2

1

x

∴{2 x ? y}min = ?4 ? 15
2x-y=b

20.解(I) (1)当 k = 0 时,此时 A 点与 D 点重合, 折痕所在的直线方程 y = (2)当 k ≠ 0 时,将矩形折叠后 A 点落在线段 CD 上的点为 G(a,1) 1 所以 A 与 G 关于折痕所在的直线对称,有 k OG ? k = ?1, k = ?1 ? a = ? k a

1 2

故 G 点坐标为 G ( ? k ,1) ,从而折痕所在的直线与 OG 的交点坐标(线段 OG 的中
k2 k k 1 1 k 点)为 M ( ? , ) ,折痕所在的直线方程 y ? = k ( x + ) ,即 y = kx + + 2 2 2 2 2 2
10

由(1) (2)得折痕所在的直线方程为:k=0 时, y =

k2 k 1 + ; k ≠ 0 时 y = kx + 2 2 2

(II)(1)当 k ≠ 0 时,折痕的长为 2; (1) 当 k ≠ 0 时 , 折 痕 所 在 的 直 线 与 坐 标 轴 的 交 点 坐 标 为 N (0, k 2 +1 k 2 +1 ), P( ? ,0 ) 2 2k

k 2 +1 2 k 2 + 1 2 ( k + 1) 3 y = PN = ( ) + (? ) = 2 2k 4k 2
2

y/ =

3( k 2 + 1) 2 ? 2k ? 4k 2 ? ( k 2 + 1) 3 ? 8k 16k 4

令 y / = 0 解得 k = ? 所以折痕的长度的最大值 2

2 2

∴ PN max =

27 <2 16

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