2014高考数学百天仿真冲刺卷卷一

2014 高 考 百 天 仿 真 冲 刺 卷 数 学 卷 一
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位 ...... 置上 . ..

0 x ? 2? 中有 3 个元素,则实数 x 不能取的值构成的集合为 ▲ . 1. 已知数集 M ? ??1,,
2. 设集合 A ? ? x ( x ? 1) 2 ? 3x ? 7,且x≥5? ,则 A ? N ? ▲ .

3.已知 x、y 为正实数,满足 2 x+y ? 6 ? xy ,则 xy 的最小值为 ▲ . 4. 在等腰直角△ABC中, 过直角顶点C在 ?ACB 内部任作一条射线 CM , 与线段 AB 交于点 M , 则 AM ? AC 的概率为 ▲ . 5.已知 a ? b ? 0 ,则 a 2 ?
16 的最小值为 ▲ b( a ? b)


2 2

6. 过定点 P (1,2)的直线在 x轴与y轴 正半轴上的截距分别为 a、b ,则 4 a ? b 的最小值为 ▲ .

7. 已知存在实数 a ,满足对任意的实数 b ,直线 y ? ? x ? b 都不是曲线 y ? x3 ? 3ax 的切线,则 实数 a 的取值范围是 ▲ . 8. 在△ABC 中,若 tan A ? tan B ? tan C ? 1,则 tan A tan B tan C ? ▲ . ▲ . 9. 设函数 f ( x) ? x a ? x 2 ? 1 对于任意 x ? [?1, 1] ,都有 f ( x)≤0 成立,则实数 a = 2 10. 已知 ?an ? 是首项为 a,公差为 1 的等差数列, bn ? 成立,则实数 a 的取值范围是 ▲ .

1 ? an .若对任意的 n ? N * ,都有 bn ? b8 an

11. 在平面直角坐标系中,若点 A, B 同时满足: ①点 A, B 都在函数 y ? f ( x) 图象上;②点 A, B 关于原点对称. 则称点对 ? A, B ? 是函数 y ? f ( x) 的一个“姐妹点对”, 当函数 g ( x) ? a ? x ? a , (a ? 0, a ? 1) 有“姐妹点对”时, a 的取值范围是
x



.

12. 已知某四面体的六条棱长分别为 5 , 3 , 2 , 2 , 2 , 2 ,则两条较长棱所在直 线所成 角的余弦值为 ▲ .

-1-

13. 设 m, k 为整数,方程 mx 2 ? 2kx ? 2 ? 0 在区间 (0,1) 内有两个不同的根, 则 m ? k 的最小值为 ▲ .

14. 在平面直角坐标系 xOy 中,过原点 O 的直线与函数 y ? log8 x 的图象交于 A、B 两点(A 在

B 的左侧) ,分别过 A、B 作 y 轴的平行线分别与函数 y ? log 2 x 的图象交于 C、D 两点,
若 BC//x 轴,则四边形 ABCD 的面积为 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说 ....... 明、证明过程或演算步骤.

15. (14 分)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c (1)求证:acosB+bcosA=c; (2)若 acosB﹣bcosA= c,试求 的值.

16. (14 分) 如图, 在四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 已知平面 AA1C1C⊥平面 ABCD, 且 AB=BC=CA= AD=CD=1. (1)求证:BD⊥AA1; (2)若 E 为棱 BC 上的一点,且 AE∥平面 DCC1D1,求线段 BE 的长度.



17. 如图,海岸线 MAN,

,现用长为 6 的拦网围成一养殖场,其中 B∈MA C∈NA, .

-2-

(1)若 BC=6,求养殖场面积最大值; (2)若 AB=2,AC=4,在折线 MBCN 内选点 D,使 BD+DC=6,求四边形养殖场 DBAC 的最大面积 (保留根号) .

18. (16 分) 如图, 在平面直角坐标系 xoy 中, 已知 F1, F2 分别是椭圆 E:

的左、右焦点,A,B 分别是椭圆 E 的左、右顶点,且



(1)求椭圆 E 的离心率; (2)已知点 D(1,0)为线段 OF2 的中点,M 为椭圆 E 上的动点(异于点 A、B) ,连接 MF1 并 延长交椭圆 E 于点 N,连接 MD、ND 并分别延长交椭圆 E 于点 P、Q,连接 PQ,设直线 MN、PQ 的斜率存在且分别为 k1、k2,试问是否存在常数 λ ,使得 k1+λ k2=0 恒成立?若存在,求出 λ 的值;若不存在,说明理由.

-3-

19(本题满分 16 分)定义在正实数集上的函数 f ( x) 满足下列条件: ①存在常数 a , 使得 f (a) ? 1 ; ②对任意实数 m , 当 x ? 0 时, 恒有 f ( x m ) ? mf ( x) . (0 ? a ? 1 ) (1)求证:对于任意正实数 x、y , f ( xy ) ? f ( x) ? f ( y ) ; (2)证明: f ( x) 在 (0,? ?) 上是单调减函数;
8 (3)若不等式 f ? log 2 a ? 4 ? x ? ? 2 ? ? f ? log a (4 ? x ) ? ≤3 恒成立,求实数 a 的取值范围.

20. 已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , a2 ? a ? 1? a ? 1? ,前 n 项和 S n 恒为正值, 且当 n ? 2 时,

1 1 1 . ? ? S n an an ?1

(1)求证:数列 {S n } 是等比数列. (2)设 an 与 an ? 2 的等差中项为 A ,比较 A 与 an ?1 的大小. (3)设 m 是给定的正整数, a ? 2 .现按如下方法构造项数为 2m 有穷数列 {bn } : 当 k ? m ? 1, m ? 2?? 2m 时, bk ? ak ? ak ?1 .
-4-

当 k ? 1, 2?? m 时, bk ? b2 m ? k ?1 . 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . ?1 ? n ? 2m, n ? N *? .

参考答案

2? ; 1. ?1, 2.

?5?

; 3.18 ; 4. 3 ; 5. 16; 6. 32; 7. a ? 1 ; 8. 1; 9. 1; 10 . 4 3
15 ; 5

? ?8, ?7 ?



11. (1, ??) ;

12.

13. 11 ; 14. 4 3 log 2 3 ; 3

15: 证明: (1)∵acosB+bcosA= (2)由(1)acosB+bcosA=c ∵acosB﹣bcosA= c ∴acosB= ,bcosA= =c

∴5cosAsinB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA ∴4sinBcosA=sinAcosB ∴ =4

16

证明: (1)取 AC 的中点 O,连接 DO,BO 由 AD=CD,AB=BC 可得 DO⊥AC,BO⊥AC, 故 B、O、D 三点共线 即 BD⊥AC, 又∵平面 AA1C1C⊥平面 ABCD,平面 AA1C1C∩平面 ABCD=AC,BD? 平面 ABCD ∴BD⊥平面 AA1C1C 又∵AA1? 平面 AA1C1C
-5-

∴BD⊥AA1; 解: (2)∵AB=BC=CA= ,AD=CD=1 故∠DCA=∠DAC=30°,△ABC 为等边三角形 ∵AE∥平面 DCC1D1, AE? 平面 ABCD,平面 ABCD∩平面 DCC1D1=CD 故 AE∥CD,故∠CAE=30° 根据等边三角形三线合一,可得 AE 为△ABC 中 BC 边上的中线 故 BE= BC=

17: (1)设 AB=x,AC=y,x>0,y>0. BC =x +y ﹣2xycos ∴xy≤12, S= xysin ≤3 ,当且仅当 x=y 时取到. =2 ,
2 2 2

≥2xy﹣2xy(﹣ ) ,

所以,△ABC 面积的最大值为 3 (2)∵AB=2,AC=4, BC=

由 DB+DC=6,知点 D 在以 B、C 为焦点的椭圆上, ∵S△ABC=2 为定值 只需故四边形养殖场 DBAC 的面积最大时, 仅需△DBC 面积最大, 需此时点 D 到 BC 的距离最大, 即 D 必为椭圆短轴顶点, S△BCD 面积的最大值为 , 因此,四边形 ACDB 面积的最大值为 2 +

18:解: (1)∵

,∴



∴a+c=5(a﹣c) ,化简得 2a=3c, 故椭圆 E 的离心率为 . (2)存在满足条件的常数 λ , . ,

∵点 D(1,0)为线段 OF2 的中点,∴c=2,从而 a=3, 左焦点 F1(﹣2,0) ,椭圆 E 的方程为 .

设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,P(x3,y3) ,Q(x4,y4) ,则直线 MD 的方程为



-6-

代入椭圆方程

,整理得,





,∴



从而

,故点

.同理,点



∵三点 M、F1、N 共线,∴ 从而

,从而 x1y2﹣x2y1=2(y1﹣y2) .

. 故 ,从而存在满足条件的常数 λ , .

19 解: (1)证明:令 x ? a m,y ? a n , 则 f a m ? n ? (m ? n) f (a ) ? mf (a ) ? nf (a ) ? f (a m ) ? f (a n ) , 所以 f ( xy ) ? f ( x) ? f ( y ) ,即证; (5 分) (2)证明:设 ?0 ? x1 ? x2 , 则必 ?s ? 0 ,满足

?

?

x1 ? as , x2
1 2

而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,

? xx ? ? f (a ) ? sf (a) ? s ? 0 ,
s

所以 f ( x) 在 (0,? ?) 上是单调减函数.(10 分) (3)令 t ? log a (4 ? x) ? 0 , 则 f ? t 2 ? 2 ? ? f ? 8t ? ≤3 ,
2 故 f t ? 2 ≤f ? a 3 ? ,即 a 3 ≤ 1 t ? 2 , 8t 8 t

?

?

? ?

-7-

所以 a 3 ≤ 1 ,又 0 ? a ? 1 ,故 0 ? a ? 2 . (15 分) 2 2 2

20解:⑴当 n ? 3 时,
2

1 1 1 1 1 ? ? ? ? , S n an an?1 S n ? S n?1 S n?1 ? S n

化简得 S n ? S n ?1 S n ?1 (n ? 3) , 又由 a1 ? 1 , a 2 ? a ? 1 得
2

1 1 1 ? ? , 解得 a3 ? a (a ? 1) , a a ? 1 a3
2

∴ S1 ? 1, S 2 ? a, S 3 ? a ,也满足 S n ? S n ?1 S n ?1 , 而 S n 恒为正值, ∴数列 ?S n ?是等比数列. ⑵ ?S n ?的首项为1,公比为 a , S n ? a ∴ an ? ?
n ?1

.当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? (a ? 1)a

n?2

,

1, n ?1 ? . n?2 ?(a ? 1)a , n ? 2

当 n ? 1 时, A ? an ?1 ? 此时 A ? a n ?1

a1 ? a3 a 2 ? 3a ? 3 1 3 3 3 ? a2 ? ? [(a ? ) 2 ? ] ? , 2 2 2 2 4 8

当 n ? 2 时, A ? a n ?1 ?

an ? an?2 (a ? 1)a n ? 2 ? (a ? 1)a n ? a n ?1 ? ? (a ? 1)a n ?1 2 2

?

(a ? 1)a n ? 2 (a 2 ? 2a ? 1) (a ? 1) 3 a n ? 2 . ? 2 2

∵ S n 恒为正值 ∴ a ? 0 且 a ? 1 , 若 0 ? a ? 1 ,则 A ? a n ?1 ? 0 , 综上可得,当 n ? 1 时, A ? a n ?1 ; 当 n ? 2 时,若 0 ? a ? 1 ,则 A ? a n ?1 , ⑶∵ a ? 2 ∴ an ? ? 若 a ? 1 ,则 A ? a n ?1 若 a ? 1 ,则 A ? a n ?1 ? 0 .

n ?1 ? 1, 2 k ?3 ,当 m ? 1 ? k ? 2m 时, bk ? a k ? a k ?1 ? 2 . n?2 2 , n ? 2 ?
-8-

若 n ? m, n ? N ? ,则由题设得 b1 ? b2 m , b2 ? b2 m ?1 , ? , bn ? b2 m ? n ?1

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? b2 m ? b2 m ?1 ? ? ? b2 m ? n ?1 ?
2 4 m ?3 ? 2 4 m ?5 ? ? ? 2 4 m ? 2 n ?1 ? 2 4 m ?3 (1 ? 4 ? n ) 2 4 m ?1 (1 ? 2 ?2 n ) ? 3 1 ? 4 ?1

若 m ? 1 ? n ? 2m, n ? N ? ,则 Tn ? Tm ? bm ?1 ? bm ? 2 ? ? ? bn

2 4 m ?1 (1 ? 2 ?2 m ) 2 m ?1 2 m ?1 2 4 m ?1 (1 ? 2 ?2 m ) 2 2 m ?1 (1 ? 4 n ? m ) 2 n ?3 ? ?2 ?2 ??? 2 ? ? 3 3 1? 4 24 m ?1 ? 22 n ?1 ? 22 m . ? , 3
综上得:

? 24 m ?1 (1 ? 2?2 n ) , 1? n ? m ? ? 3 Tn ? ? 4 m ?1 2 n ?1 2 m ?2 ?2 ?2 , m ? 1 ? n ? 2m ? 3 ?

-9-


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