2019高中数学第一章解三角形单元测试(一)新人教A版必修5

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6.在△ABC 中, cos 2 ?

A b?c (a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边),则△ABC 的 ? 2 2c

第一章 解三角形
注意 事项: 1 .答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并 将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2 .选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目 的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3 .非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4 .考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个 选项中只有一个是符合题目要求的) 1.在 △ABC 中,若 C ? 90? , a ? 6 , B ? 30? ,则 c ? b 等于( A.1 B. ?1 C. 2 3 ) D. ?2 3 )
3 D. 2

形状为(

) B.等腰三角形或直角三角形 D.正三角形

A.直角三角形 C.等腰直角三角形

7.已知△ABC 中,A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 a ? c ? 6 ? 2 ,且 A=75°, 则 b 等于( A.2 ) B. 6 ? 2 C. 4 ? 2 3 D. 4 ? 2 3 )

7 2 2 a? 6, 8. 在△ABC 中, 已知 b -bc-2c =0, 则△ABC 的面积 S 为 ( cos A ? , 8

A.

15 2

B. 15

C.

8 15 5

D. 6 3 )

9.在△ABC 中,AB=7,AC=6,M 是 BC 的中点,AM=4,则 BC 等于( A. 21 10.若 B. 106 C. 69 )

D. 154

sin A cos B cos C ,则△ABC 是( ? ? a b c

A.等边三角形 C.等腰直角三角形

B.有一内角是 30°的直角三角形 D.有一内角是 30°的等腰三角形

2.在 △ABC 中, AB ? 3 , AC ? 2 , BC ? 10 ,则 BA · AC 等于(
3 A. ? 2 2 B. ? 3 2 C. 3

11.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a2 ? c2 ? b2 tan B ? 3ac , 则角 B 的值为( A.
? 6

?

?

) B.
? 3

3.在△ABC 中,已知 a ? 5 , b ? 15 ,A=30°,则 c 等于( A. 2 5 对 4.根据下列情况,判断三角形解的情况,其中正确的是( A.a=8,b=16,A=30°,有两解 B.b=18,c=20,B=60°,有一解 C.a=5,c=2,A=90°,无解 D.a=30,b=25,A=150°,有一解 ) B. 5 C. 2 5 或 5

) D.以上都不

C.

? 5? 或 6 6

D.

? 2? 或 3 3

12.△ABC 中, A ?

? ,BC=3,则△ABC 的周长为( 3



?? ? A. 4 3 sin ? B ? ? ? 3 3? ?
?? ? C. 6sin ? B ? ? ? 3 3? ?

?? ? B. 4 3 sin ? B ? ? ? 3 6? ?
?? ? D. 6sin ? B ? ? ? 3 6? ?

1 5. △ABC 的两边长分别为 2,3,其夹角的余弦值为 , 则其外接圆的半径为 ( 3



A.

9 2 2

B.

9 2 4

C.

9 2 8

D. 9 2

1

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横 线上) 13.在△ABC 中,
2a b c ? ? ? ________. sin A sin B sin C

4 18.(12 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边长分别是 a、b、c,且 cos A ? . 5

(1)求 sin 2

B?C ? cos 2 A 的值; 2

14.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a2 ? c2 ? b2 ? 3ac , 则角 B 的值为________. 15.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边.若 a=1, b ? 3 ,

(2)若 b=2,△ABC 的面积 S=3,求 a.

A+C=2B,则 sin C=________.
16.钝角三角形的三边为 a,a+1,a+2,其最大角不超过 120°,则 a 的取值范 围是________.

三、解答题(本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤) 17.(10 分)如图所示,我艇在 A 处发现一走私船在方位角 45°且距离为 12 海里的

B 处正以每小时 10 海里的速度向方位角 105°的方向逃窜,我艇立即以 14 海里/
小时的速度追击,求我艇追上走私船所需要的时间.

2

19.(12 分)如图所示,△ACD 是等边三角形,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB= 90°,BD 交 AC 于 E,AB=2. (1)求 cos∠CBE 的值; (2)求 AE.
3 20. (12 分)已知△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 a=2,cos B ? . 5

(1)若 b=4,求 sin A 的值; (2)若△ABC 的面积 S△ABC=4,求 b,c 的值.

3

21.(12 分)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b +c)sin B+(2c+b)sin C. (1)求 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状. 22.(12 分)已知△ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设向量 m = ? a, b ? ,

n ? ?sin B,sin A? , p = ? b ? 2, a ? 2? .
(1)若 m∥n,求证:△ABC 为等腰三角形; (2)若 m⊥p,边长 c=2,角 C ?
? ,求△ABC 的面积. 3

4

2018-2019 学年必修五第一章训练卷 解三 角形(一)答 案 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个 选项中只有一个是符合题目要求的) 1. 【答案】C 【解析】 故选 C. 2. 【答案】A 【解析】由余弦定理得 cos A ?

6. 【答案】A 【解析】由 cos2 ?
2 2 2

b2 ? c 2 ? a 2 A b?c b , ? ? cos? A ? ,又 cos? A ? 2 2c c 2bc
2 2 2 2

∴b +c -a =2b ? a +b =c ,故选 A. 7. 【答案】A 【解析】 sin A ? sin 75? ? sin ? 30? ? 45? ? ? 由 a=c 知,C=75°,B=30°. sin B ? 由正弦定理:
6? 2 , 4

b ? tan 30? , b ? a tan 30? ? 2 3 , c ? 2b ? 4 3 , c ? b ? 2 3 . a

1 . 2

b a ? ? sin B sin A

6? 2 6? 2 4

? 4 .∴b=4sin B=2.故选 A.

AB2 ? AC 2 ? BC 2 9 ? 4 ? 10 1 ? ? . 2 AB ? AC 12 4

8. 【答案】A 【解析】由 b -bc-2c =0 可得(b+c)(b-2c)=0. ∴b=2c,在△ABC 中,a =b +c -2bccos A, 即 6 ? 4c2 ? c2 ? 4c2 ?
7 .∴c=2,从而 b=4. 8
2
2 2 2 2 2

3 1 3 ∴ AB ? AC ? AB ? AC ? cos A ? 3 ? 2 ? ? .∴ BA ? AC ? ? AB ? AC ? ? .故选 A. 2 4 2
3. 【答案】C
3 【解析】∵a =b +c -2bccos A,∴ 5 ? 15 ? c ? 2 15 ? c ? . 2
2 2 2

2

化简得: c ? 3 5c ? 10 ? 0 ,即 c ? 2 5 c ? 5 ? 0 ,∴ c ? 2 5 或 c ? 5 .
2

?

??

?

1 1 15 ?7? ∴ S△ABC ? bc sin A ? ? 4 ? 2 ? 1 ? ? ? ? .故选 A. 2 2 2 ?8?
9. 【答案】B

故选 C. 4. 【答案】D 【解析】A 中,因 解;
20sin 60? 5 3 ? B 中, sin C ? ,且 c ? b ,∴ C ? B ,故有两解; 18 9

a b 16 ? sin 30? ,所以 sin B ? ? ? 1 ,∴ B ? 90? ,即只有一 sin A sin B 8

【解析】设 BC=a,则 BM ? MC ?
2 2 2

a . 2

在△ABM 中,AB =BM +AM -2BM·AM·cos∠AMB,
1 a 即 72 ? a2 ? 42 ? 2 ? ? 4 ? cos ?AMB 4 2



在△ACM 中,AC =AM +CM -2AM·CM·cos∠AMC
1 a 即 62 ? 42 ? a2 ? 2 ? 4 ? ? cos ?AMB 4 2

2

2

2

C 中,∵A=90°,a=5,c=2,∴ b ? a2 ? c2 ? 25 ? 4 ? 21 ,即有解, 故 A、B、C 都不正确.故选 D. 5. 【答案】C
1 【解析】设另一条边为 x,则 x2 ? 22 ? 32 ? 2 ? 2 ? 3 ? ,∴ x 2 ? 9 ,∴ x ? 3 . 3
2 2 9 2 3 3 9 2 1 设 cos? ? ,则 sin ? ? .∴ 2 R ? ,R ? .故选 C. ? ? 3 8 sin ? 2 2 4 3 3



1 ①+②得: 72 ? 62 ? 42 ? 42 ? a2 ,∴ a ? 106 .故选 B. 2

10. 【答案】C 【解析】∵
sin A cos B ,∴acos B=bsin A, ? a b

∴2Rsin Acos B=2Rsin Bsin A,2Rsin A≠0.
1

∴cos B=sin B,∴B=45°.同理 C=45°,故 A=90°.故 C 选项正确. 11. 【答案】D 【解析】∵ a2 ? c2 ? b2 tan B ? 3ac ,∴ 即 cos B ? tan B ? sin B ? 12. 【答案】D 【解析】 A ?
? BC AC AB ,BC=3,设周长为 x,由正弦定理知 ? ? ? 2R , 3 sin A sin B sin C BC AB ? BC ? AC , ? sin A sin A ? sin B ? sin C
x

16. 【答案】

3 ?a?3 2

?

?

a 2 ? c2 ? b2 3 ? tan B ? , 2ac 2

3 ? 2? .∵0<B<π ,∴角 B 的值为 或 .故选 D. 2 3 3

? ? ? a ? ? a ? 1? ? a ? 2 2 2 3 ? 【解析】由 ? a 2 ? ? a ? 1? ? ? a ? 2 ? ? 0 ,解得 ? a ? 3 . 2 ? 2 2 2 1 ? a ? ? a ? 1? ? ? a ? 2 ? ?? ? 2a ? a ? 1? 2 ?

三、解答题(本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤) 17. 【答案】2 小时. 【解析】设我艇追上走私船所需时间为 t 小时, 则 BC=10t,AC=14t,在△ABC 中, 由∠ABC=180°+45°-105°=120°, 根据余弦定理知:(14t) =(10t) +12 -2·12·10tcos 120°,∴ t ? 2 .
2 2 2

由合分比定理知
3

? 3 ? ? sin B ? sin ? A ? B ?? ? x , 即 ,∴ 2 3 ? ? 3 3 ? 2 ? ? sin B ? sin C 2 2
? ? ?? ? ?? ? ? 即 x ? 3 ? 2 3 ?sin B ? sin ? B ? ? ? ? 3 ? 2 3 ? sin B ? sin B cos ? cos B sin ? 3 ?? 3 3? ? ? ?

? ? ?3 ? 1 3 3 ? 3? 2 3? ? sin B ? 2 sin B ? 2 cos B ? ? ? 3? 2 3? ? 2 sin B ? 2 cos B ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 1 ?? ? ? 3 ? 6? B ? ? .故选 D. ? 2 sin B ? 2 cos B ? ? ? 3 ? 6sin ? 6? ? ? ?

答:我艇追上走私船所需的时间为 2 小时. 18. 【答案】 (1) 【解析】 (1)
sin 2 1 ? cos ? B ? C ? B?C 1 ? cos A 59 ? cos 2 A ? ? cos 2 A ? ? 2 cos 2 A ? 1 ? . 2 2 2 50

59 ; (2) a ? 13 . 50

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横 线上) 13. 【答案】0 14. 【答案】
? 6
a2 ? c2 ? b2 3ac 3 ? ? ? ,∴ B ? . 2ac 2ac 2 6

4 3 1 1 3 (2)∵ cos A ? ,∴ sin A ? .由 S△ABC ? bc sin A ,得 3 ? ? 2c ? ,解得 c=5. 5 2 2 5 5

由余弦定理 a =b +c -2bccos A,可得 a2 ? 4 ? 25 ? 2 ? 2 ? 5 ? 19. 【答案】 (1)
6? 2 ; (2) AE ? 6 ? 2 . 4

2

2

2

4 ? 13 ,∴ a ? 13 . 5

【解析】∵ a2 ? c2 ? b2 ? 3ac ,∴ cos B ? 15. 【答案】1

【解析】 (1)∵∠BCD=90°+60°=150°,CB=AC=CD, ∴∠CBE=15°.∴ cos ?CBE ? cos ? 45? ? 30? ? ? (2)在△ABE 中,AB=2,由正弦定理得
6? 2 . 4

【解析】在△ABC 中,A+B+C=π ,A+C=2B.∴ B ? 由正弦定理知, sin A ?

? . 3

a sin B 1 ? ? ? .又 a<b.∴ A ? , C ? .∴ sin C ? 1 . b 2 6 2

AE AB , ? sin ?ABE sin ?AEB

2

AE 2 2sin 30? 即 ,故 AE ? ? ? sin ? 45? ? 15? ? sin ? 90? ? 15? ? cos15?

2?

1 2

6? 2 4

? 6? 2.

【解析】 (1)证明 ∵m∥n,∴asin A=bsin B,即 a ?

a b , ? b? 2R 2R

其中 R 是△ABC 外接圆半径,∴a=b.∴△ABC 为等腰三角形. (2)解 由题意知 m·p=0, 即 a(b-2)+b(a-2)=0.∴a+b=ab. 由余弦定理可知,4=a +b -ab=(a+b) -3ab, 即(ab) -3ab-4=0.∴ab=4(舍去 ab=-1),
1 1 ? ∴ S△ABC ? ab sin C ? ? 4 ? sin ? 3 . 2 2 3
2 2 2 2

20. 【答案】 (1) sin A ? 【解析】 (1)∵ cos B ?

2 ; (2) b ? 17 , c ? 5 . 5

3 4 ? 0 ,且 0<B<π ,∴ sin B ? 1 ? cos2 B ? . 5 5
2? 4 5?2. 4 5

a sin B a b ? 由正弦定理得 , sin A ? ? b sin A sin B

1 1 4 (2)∵ S△ABC ? ac sin B ? 4 ,∴ ? 2 ? c ? ? 4 ,∴ c ? 5 . 2 2 5 3 由余弦定理得 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ? 22 ? 52 ? 2 ? 2 ? 5 ? ? 17 ,∴ b ? 17 . 5

21. 【答案】 (1) A ? 120? ; (2)△ABC 为等腰钝角三角形. 【解析】 (1)由已知,根据正弦定理得 2a =(2b+c)b+(2c+b)c, 即 a =b +c +bc.
1 2 2 2 由余弦定理得 a =b +c -2bccos A,故 cos A ? ? , A ? 120? . 2
2 2 2 2

(2)方法一 由(1)得 sin A=sin B+sin C+sin Bsin C, 又 A=120°,∴ sin 2 B ? sin 2 C ? sin B sin C ? ∵sin B+sin C=1,∴sin C=1-sin B. ∴ sin 2 B ? ?1 ? sin B ? ? sin B ?1 ? sin B ? ?
2

2

2

2

3 , 4

3 , 4

即 sin 2 B ? sin B ?

1 1 1 ? 0 .解得 sin B ? .故 sin C ? .∴B=C=30°. 4 2 2

所以,△ABC 是等腰的钝角三角形. 方法二 由(1)A=120°,∴B+C=60°,则 C=60°-B, ∴sin B+sin C=sin B+sin(60°-B)
? sin B ? 3 1 1 3 cos B ? sin B ? sin B ? cos B =sin(B+60°)=1, 2 2 2 2

∴B=30°,C=30°.∴△ABC 是等腰的钝角三角形. 22. 【答案】 (1)见解析; (2) S△ABC ? 3 .
3


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