高中数学 3.1.1《方程的根与函数的零点》课件 新人教A版必修1_图文

方程的根与函数的零点

一.创设情境,初步探索

Y

1 m

(1, 40) M 3

(0,10)

A

40 m 3

10m

小唐在一栋楼的离地面高10米 高A处斜抛一个篮球(篮球运 动轨迹是一条抛物线段),已 知蓝球上升到最高点M时,球 40 离地面垂直距离为 米,离 3 这栋楼的水平距离为1米,你 能求出球落地点B离这座楼的 水平距离是多少米吗?

?
O

B

X

方程的根与函数的零点

一.创设情境,初步探索

解:如图建立直角坐标系,则A(0,10),M(1, 由于M是最高点,所以可设抛物线为

40 3

)

y A

M

y ? a ( x ? 1) 2 ?

将点A(0,10)代入,解得 a ? ?

40 3

10 40 即抛物线方程为 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 3 3

10 3

o

B

x

球落地时B点纵坐标y=0,代入上式,得正根x=3,即球落地点B离墙3米. 上述解法中,落地点就是抛物线与x轴的交点,点B的横坐标就是二次 方程 ? 10 ( x ? 1) 2 ? 40 ? 0

3

3

的一个根.

方程的根与函数的零点

创设情境,初步探索,设问激疑

问题1:求下列方程的根
(1)

x ? 2x ? 3 ? 0
2

(2) (3)

x ? 2x ?1 ? 0
2
3

x ? 2x ? 6 ? 0

(4)

ln x ? 3x ? 8 ? 0

方程的根与函数的零点

从特殊问题进行探究

y=0

方程 函数

x2-2x-3=0 y= x2-2x-3 .
y
2 1

x2-2x+1=0 y= x2-2x+1 .y
2

x2-2x+3=0 y= x2-2x+3
y

. .
-1 -2

函数图象
-1

.
. . 1 .
2

.

.
x
-1

0

1

2

3

x
-1

1

(简图)

0

-3 -4

3 2 1

.

5 4

.
1

.
2

.

.
x1=x2=1

0

3

x

方程的实数根 函数的图象 与x轴的交点

x1=-1,x2=3

无实数根

(-1,0)、(3,0)

(1,0)

无交点

方程的根与函数的零点

从特殊到一般

对于二次函数y=ax2+bx+c(a> 0)与一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0) ,其判别式?=b2-4ac. 判别式△ = △>0 △=0 △<0 b2-4ac

思考:当a<0时呢? 两个不相等 方程ax2 +bx+c=0
(a>0)的根

的实数根x1 、x2
y

有两个相等的 实数根x1 = x2
y

没有实数根
y

y=0
函数 y= ax2 +bx+c(a>0) 的简图
x1

0

x2 x 0 x1

x

0

x

函数的图象 与 x 轴的交点

(x1,0) , (x2,0)

(x1,0)

没有交点

方程的根与函数的零点

总结归纳,知识拓展

结论:一元二次方程的根是相应二次函数图象

与x轴交点的横坐标!
这种关系可以推广一般情形吗? 对于任意方程f(x)=0与对应函数y=f(x),上述 结论是否成立呢?

(1)

2 ?1 ? 0
x

(2) log2 x ?1 ? 0

y ? 2 ?1 y ? log2 x ? 1
x

方程的根与函数的零点

总结归纳,知识拓展

方程的根和相应的函数图象与x轴交点的横坐标相同
x0是方程f ?x? ? 0的实数根

函数y ? f ?x ? 的图象与x轴 有交点(x0 ,0)

方程的根与函数的零点

形成概念,梳理提升

函数零点的定义:

对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0成立的实数 x叫做函数y=f(x)的零点.
2.零点是点 1.任意函数 都有零点吗? 还是数?

问题1:此图象是否能 表示函数? 问题2:你能从中分析
-2 -1 2 3

函数有哪些零点吗?

方程的根与函数的零点

等价关系,梳理提升

1.

函数y=f(x)有零点

方程f(x)=0有实数根

函数y=f(x)的图象与x轴有交点

2.
x0是方程f ?x? ? 0的实数根

函数y ? f ?x ?的图象与 x轴有交点(x0 ,0)

x0是函数y ? f ?x?的零点

设问激疑,延伸拓展
例1:求函数
f ? x ? ? 4x2 ?12x ? 9

的零点个数。

问题2:一次函数、反比例函数、指数函数、 对数函数、幂函数有零点吗? 再次思考问题1:你能求出下列方程的实数根吗?

(3)

x ? 2x ? 6 ? 0
3

(4)

ln x ? 3x ? 8 ? 0

讨论探究,揭示定理
问题3:如图3,请观察,这是某地在12月份几天内 的一张气温变化模拟函数图(即一个连续函数图象),由 于图象中有一段被墨水污染了,现在有人想了解一下在4 日到8日之间可能有几个时刻的温度会达到0摄氏度,你能 帮助他吗?

讨论探究,揭示定理
引导:
(1) 在4日——8日(区间(4,8))之间温度会不 会达到0摄氏度呢?为什么? (2) 如果已知一个函数图象在区间[a,b]上是连 续的,那么,什么情况下,图象在区间(a,b)内 肯定会与x轴有交点呢? 如果已知一个函数图象在区间[a,b]上连续, 且f(a)·f(b)<0,那么这个函数图象在区间(a,b) 内肯定会跟x轴相交,也就是在区间(a,b)内肯 定会存在零点。

讨论探究,揭示定理 引导:
(3)我们已经知道,区间(4,8)内肯定会有零点,那 么会有几个零点呢?是否只有一个呢?(4,8)内的图 象会是什么样的呢?

方程的根与函数的零点

引导:
(4)若一个函数图象在[a,b]上连续,但 f(a)· f(b)>0,图象在区间(a,b)内与x轴有交点吗?为 什么?你能举个例子吗?
(5) 若一个函数图象在[a,b]上不连续,但 f(a)· f(b)<0,图象在区间(a,b)内与x轴有交点吗?为 什么?你能举个例子吗?

发现:零点存在性定理(勘根定理)
如果函数 y ? f ( x) 在(1)区间? a, b ? 上的(2)图象是连续不断的一条曲线,

并且有(3) f (a) ? f (b) ? 0 ,那么,函数 y ? f ( x) 在区间 ? a , b ? 内有零点,

即存在 c ? ? a, b ? ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根。
y
y

a

o (1) y

b

x

a
y

o

b

x

(2)

b

b
o b (4)

b b
x

a

o (3)

b

x

a

方程的根与函数的零点

试一试:
2 函数 f ( x) ? Inx ? 的零点所在的大致区间是( B ) x ? 1? A. ?1, 2 ? B. ? 2,3? C. ? 1, ? 和 ? 3,4 ? D. ? e, ?? ? ? e?
分 析 : 判 断 区 间 ? a, b ? 是 否 为

f ( x) 零 点 所 在 的 区 间 , 只 要 判 断

f (a) ? f (b) ? 0是否成立。
经代入计算得

f (2) ? In2 ? 1 ? 0 , f (3) ? In3 ? 2 ? 0
3

? f (2) ? f (3) ? 0 , ? f ( x) 在 ? 2,3? 内有零点。

?选 B

方程的根与函数的零点

初步应用,理论迁移

例2 求函数 y ? ( x ? 2) 2 ( x 2 ? 2 x ? 3) 的零点:
求函数零点的步骤: (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0; (3)写出零点

如何解下列方程(问题1)

(3)

x3 ? 2 x ? 6 ? 0

(4) ln x ? 3 x ? 8 ? 0

小结
函数的零点定义

代数法
图像法
函数零点方程根, 形数本是同根生。 函数零点端点判, 图象连续不能忘。

等价关系
零点的求法 函数零点存在性原理 数学思想方法
数 形 结 合 思 想

转 化 思 想

方 程 函 数 思 想

方程的根与函数的零点

课后作业

必做题:
1、教材P92
A.1 B.2

A组 2
的零点有( )个. C.3 D.4

2、函数 y ? log2 | x | ?1 选做探究题: 设函数

f ( x ) ? 2 ? ax ? 1
x

(1)利用计算机探求a=2和a=3时函数的零点个数; (2)当 a ? R 时,函数f(x)的零点是怎样分布的?

恳请批评指正! 谢谢!

E-mail:zznjzsl@126.com

练习:
y ? ax2 ? bx ? c中,ac<0,则其零 1.在二次函数 点的个数为( B )
A.1 B.2 C.3 D.不存在
y ? f ( x) ? 1

2.若 y ? f ( x) 不是常数函数且最小值为1,则 的零点个数( D ) A.0 B.1 C.0或1 D.不确定

3.已知函数f ( x)是定义域为R的奇函数,且 f ( x)
在(0, ??)上有一个零点,则 f ( x) 的零点个数为( A )

A.3

B.2

C.1

D.不确定


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