安徽省阜阳市临泉县第一中学2016-2017学年高二1月学科竞赛数学(理)答案

2016-2017 临泉第一中学高二上学期学科竞赛 理科数学试题参考答案 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 D 5 A 6 A 7 A 8 B 9 C 10 B 11 C 12 C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. ?0, ? . 2 ? 1? ? ? 14. 4 . 13 15. 2 . 16. 10 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(本小题满分 10 分) ?3 x ? 2 y ? 12 ?x ? 2y ? 8 ? [解](1)由题意可列 ? ,其表示如图阴影部分区域: x ? 0 ? ? ?y ? 0 (2)设该企业每天可获得的利润为 z 万元,则 z ? 3x ? 4 y . 当直线 3 x ? 4 y ? z ? 0 过点 A(2,3) 时, z 取得最大值, 所以 zmax ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 18 . 即该企业每天可获得的最大利润 18 万元. 18.(本小题满分 12 分) [解]由 2 ax ? 1 ,得 ax ? 0 ,当 a ? 0 时, x ? 0 ;当 a ? 0 时, x 不存在;当 a ? 0 时, x ? 0 ; 由 x ? 2a ? ? 2a ? 1? x ,得 ? x ? 1?? x ? 2a ? ? 0 . 2 1 ? ? 2 1 ②当 a = 时, x ? 1 ,又 x ? 0 ,,所以原不等式组的解集为 ?1? ; 2 1 ③当 0 ? a ? 时, 2a ? x ? 1 ,又 x ? 0 ,,所以原不等式组的解集为 ? x 2a ? x ? 1? . 2 ④当 a ? 0 时,又不等式 ax ? 0 的解集为 ? ,所以原不等式组的解集为 ? ; ①当 a> 时, 1 ? x ? 2a ,又 x ? 0 ,所以原不等式组的解集为 x 1 ? x ? 2a ; 1 ⑤当 a ? 0 时, 2a ? x ? 1 ,又 x ? 0 ,,所以原不等式组的解集为 x 2a ? x ? 0 . . 19.(本小题满分 12 分) [解](1)由 m // n 得, ? 2c ? b ? cos A ? a cos B ? 0 , 由正弦定理可得, ? 2sin C ? sin B ? cos A ? sin A cos B ? 0 , ? ? 2sin C cos A ? sin ? A ? B ? ? 0 , 2sin C cos A ? sin C ? 0 , 1 cos A ? ,又 A ? ? 0, ? ? , 2 ?A? ? . 3 (2) ?ABC 的面积 S ? 1 3 bc sin A ? bc . 2 4 2 2 由已知及余弦定理,得 4 ? b ? c ? 2bc cos 又 b ? c ? 2bc , 故 bc ? 4 ,当且仅当 b ? c 时,等号成立. 因此 ?ABC 面积的最大值为 3 . 20.(本小题满分 12 分) [解](1)由 a1 ? 2 2 ? ? b 2 ? c 2 ? bc . 3 S1 ? 1 a1 ? 1 ,得 a1 ? 1 , ? 2 2 当 n ? 1 时, an ? S n ? S n ?1 ? 2an ? n ? 2a n ?1 ? ?n ? 1? ,即 an ? 2a n ?1 ?1 , 所以 a2 ? 3, a3 ? 7, 依题意, ? 3 ? t ? ? ?1 ? t ? ? ?7 ? t ? , 2 解得 t ? 1 . (2) 由(2)知 an ? 2a n ?1 ?1 , 所以 an ? 1 ? 2?a n ?1 ?1? ,又因为 a1 ? 1 ? 2 , 所以数列 ?an ? 1? 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列, 所以 an ? 1 ? 2 ? 2 所以 an ? 2 ? 1 . n n ?1 ? 2n , 2 a ?1 2 1 1 1 1 (3)由(2)知 bn ? ? n ? n ? n ? n ?1 , ? n ?1 an ?1 an an ?1 an an ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 n ? ?? ? 则 Tn ? 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 3 ?? ? n ? n ?1 ? 1 ? n ?1 . 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 21.(本小题满分 12 分) [解](1)证明:由题意可得 ?AED 为等边三角形,取 ED 的中点为 O , 则 AO ? 3 , OC ? 3 , ? AC 2 ? AO 2 ? OC 2 , ? AO ? OC , 又 AO ? ED , ED ? OC ? O , ? AO ? 面 ECD ,又 AO ? AED , 所以平面 AED ? 平面 BCDE . (2)如图建立空间直角坐标系, 则 EA ? (0,1, 3) , CA ? (? 3, 0, 3) , BC ? (0, 2, 0) , 设面 EAC 的法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ,面 BAC 的法向量为 n ? ( x2 , y 2 , z 2 ) , ??? ? ??? ? ??? ? ?? ? ??? ? ?? ? ? EA ? m ? 0 ? ? y 1 ? 3z1 ? 0 由 ? ??? ,即 ? ,取 z1 ? 1 ,则 x1 ? 1 , y1 ? ? 3 , ? ?? CA ? m ? 0 ? 3 x ? 3 z ? 0 ? ? ? ? 1 1 ? m ? 1,? 3 ,1 ; ??? ? ? ? ? ? 2 y2 ? 0 ? BC ? n ? 0 由 ? ??? ,即 ? ,取 z 2 ? 1 ,则 x2 ? 1 , y 2 ? 0 ,

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