(浙江专版)2017_2018学年高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.2奇偶性课件新人教A版必修1_图文

1.3.2 奇偶性 预习课本 P33~36,思考并完成以下问题 (1)偶函数与奇函数的定义分别是什么? (2)奇、偶函数的定义域有什么特点? (3)奇、偶函数的图象分别有什么特征? [新知初探] 函数奇偶性的概念 偶函数 条件 定 义 结论 图象特征 奇函数 对于函数 f(x)定义域内任意一个 x,都有 f(-x)= f(x) 函数 f(x)叫做偶函数 图象关于 y 轴 对称 f(-x)=-f(x) 函数 f(x)叫做奇函数 图象关于原点对称 [点睛] 奇偶函数的定义域关于原点对称,反之,若定 义域不关于原点对称,则这个函数一定不具有奇偶性. [小试身手] 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)偶函数的图象一定与 y 轴相交. (2)奇函数的图象一定通过原点. (3)函数 f(x)=x2,x∈[-1,2]是偶函数. ( × ) ( × ) ( × ) (4)若 f(x)是定义在 R 上的奇函数,则 f(-x)+f(x)=0. ( √ ) 2.函数 y=f(x),x∈[-1,a](a>-1)是奇函数,则 a 等于 A.-1 B. 0 C.1 ( ) D.无法确定 答案:C 3.下列函数是偶函数的是( A.y=x B.y=2x -3 2 ) 1 C.y= x D.y=x2,x∈[0,1] 答案:B 4.已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数,若 f(2)=4,则 f(-2)= ____________. 答案:4 判断函数的奇偶性 [例 1] 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=2-|x|; (2)f(x)= x2-1+ 1-x2; x (3)f(x)= ; x-1 ? ?x+1,x>0, (4)f(x)=? ? ?-x+1,x<0. [解] (1)∵函数 f(x)的定义域为 R,关于原点对称,又 f(-x) =2-|-x|=2-|x|=f(x), ∴f(x)为偶函数. (2)∵函数 f(x)的定义域为{-1,1}, 关于原点对称, 且 f(x)=0, 又∵f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x), ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)∵函数 f(x)的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称, ∴f(x)是非奇非偶函数. (4)f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.当 x>0 时,-x<0, f(-x)=1-(-x)=1+x=f(x); 当 x<0 时,-x>0, f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x). 综上可知, 对于 x∈(-∞, 0)∪(0, +∞), 都有 f(-x)=f(x), f(x)为偶函数. 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法: 根据函数奇偶性的定义进行判断.步骤如下: ①判断函数 f(x)的定义域是否关于原点对称.若不对称,则 函数 f(x)为非奇非偶函数,若对称,则进行下一步. ②验证.f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x). ③下结论.若 f(-x)=-f(x),则 f(x)为奇函数; 若 f(-x)=f(x),则 f(x)为偶函数; 若 f(-x)≠-f(x),且 f(-x)≠f(x),则 f(x)为非奇非偶函数. (2)图象法: ①若 f(x)图象关于原点对称,则 f(x)是奇函数. ②若 f(x)图象关于 y 轴对称,则 f(x)是偶函数. ③若 f(x)图象既关于原点对称,又关于 y 轴对称,则 f(x)既是 奇函数,又是偶函数. ④若 f(x)的图象既不关于原点对称,又不关于 y 轴对称,则 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (3)性质法: ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数; ②奇函数的和、差仍为奇函数; ③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数; ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数. [活学活用] 1.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x2(x2+2); (2)f(x)=|x+1|-|x-1|; 1-x2 (3)f(x)= x . 解:(1)∵x∈R,关于原点对称, 又∵f(-x)=(-x)2[(-x)2+2]=x2(x2+2)=f(x), ∴f(x)为偶函数. (2)∵x∈R,关于原点对称, 又∵f(-x)=|-x+1|-|-x-1| =|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|) =-f(x), ∴f(x)为奇函数. (3)f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称, 1-?-x?2 1-x2 又∵f(-x)= =- x =-f(x). -x ∴f(x)为奇函数. 利用函数的奇偶性求参数 [例 2] (1)若函数 f(x)=ax2+bx+3a+b 是偶函数,定义域 为[a-1,2a],则 a=________,b=________; (2)已知函数 f(x)=ax2+2x 是奇函数,则实数 a=________. [解析] (1)因为偶函数的定义域关于原点对称, 所以 a-1 1 =-2a,解得 a= . 3 1 2 又函数 f(x)= x +bx+b+1 为二次函数,结合偶函数图 3 象的特点,易得 b=0. (2)由奇函数定义有 f(-x)+f(x)=0,得 a(-x)2+2(-x)+ ax2+2x=2ax2=0,故 a=0. [答案] 1 (1) 3 0 (2)0 利用奇偶性求参数的常见类型 (1)定义域含参数:奇偶函数 f(x)的定义域为[a,b],根 据定义域关于原点对称,利用 a+b=0 求参数. (2)解析式含参数:根据 f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)列 式,比较系数利用待定系数法求解. [活学活用] ?x+1??x+a? 2.设函数 f(x)= 为奇函数,则 a=________. x 解析:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), ?-x+1??-x+a? ?x+1??x+a? 即 =- . x -x

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