数学 高考调研(衡水中学内部学案)3-1_图文

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第 1 课时 变 率 导 化与数

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1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、 光滑线切线的斜率等),掌握函数在一点处的导数的定义和导数 的几何意义,理解导函数的概念. 2.熟记基本导数公式(c,xm(m 为有理数),sinx,cosx,ex, ax,lnx,logax 的导数),掌握两个函数和、差、积、商的求导法 则,了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数.

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请注意!
本中数概,导算函的调、值最 章导的念求运、数单性极和 值重知,基是导算而练忆本数式 是点识其础求运,熟记基导公 和数求法又正进导运的础复中引 函的导则是确行数算基,习要 起重视.

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1.导数的概念 1 f(x)在 x=x0 处 导 就 ( ) 的数是 记作: 或 f′(x0), f?x0+Δx?-f?x0? . Δx f(x)在 x=x0 处的 瞬时变化率 ,

即 f′(x0)=l →0 m iΔx

(2)当把上式中的 x0 看做变量 x 时, f′(x)即为 f(x)的导函数 , f?x+Δx?-f?x? 简称导数,即 y′=f′(x)=lim . Δx→0 Δx
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2.导 的 何 义 数几意 函 f(x)在 x=x0 处 导 就 数 的数是

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曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))

处的切线的斜率 , 曲 即线
斜 k=f′(x0), 线 程 率 切方为 3.基 初 函 的 数 式 本等数导公

y=f(x)在 P(x0,f(x0))处 切 的 点 的线

y-y0=f′(x0)(x-x0) .

1 C′= 0 (C 为 数 ); ( ) 常 n i( s 3 ) 5 ( ) o g l) 7 ( x)′= cosx ; c 4 o ( ) s

2 ( )

xn)′= nxn-1 (n∈Q*); x)′= -sinx ;

ax)′= axlna ; e 6 ( ) 1 n l) 8 ( ax)′= xlna ;
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x

)′= ex ; 1 x)′= x .
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4.两个函数的四则运算的导数 若 u(x)、v(x)的导数都存在,则 1 ( ) 3 ( ) u± v)′= u′±v′ ; 2 u· ( ) v)′= u′v+uv′ ; u′v-uv′ u v2 )′= (v≠0);( cu)′= cu′(c 为常数). 4 ( ) v

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1.设 f(x)=x3-8x, f?2+Δx?-f?2? 则 liΔx→0 m =______. Δx f?x?-f?2? lixm2 =______. → x-2 f?2-k?-f?2? likm0 =______. → 2k
答案 4 4 -2
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解 析 m→ il m2 ilx→ m→0 ilk
Δx 0

f′(x)=3x2-8,f′( =4. 2 ) f?2+Δx?-f?2? =f′( =4. 2 ) Δx f?x?-f?2? f[2+?x-2?]-f?2? =xil 2→0 m =f′( =4. 2 ) - x-2 x-2 f?2-k?-f?2? f?2-k?-f?2? 1 = 2m →0 - -k il 2k -k

1 = - f′( = 2. 2 - ) 2

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2.计算: 1 ( ) 2 ( ) n i( s 3 ) x4-3x3+1)′=______. xe2x)′=______. x· x)′=______. c o s
e2x+2xe2x c o 2 s x

答案 4x3-9x2

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3.(1 22 0· ________.

广东)曲线 y=x3-x+3 在点( 3 1 ) ,

处切方为 的线程

答案 y=2x+1

解析 曲线方程为 y=x3-x+3,则 y′=3x2-1,又易知 点( 3 1 ) , 在线, 曲 上有 y′|x=1=2, 在 即点 3 1 ( ) , 处的切线方程的斜

率为 2,所以切线方程为 y-3=2(x-1),即 y=2x+1.

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4.曲线 y=x3 在点 P 处的切线的斜率为 3,则点 P 的坐标 为 A.(-1 1 ) , C.( 1 ) , 或(-1,-1) B.(-1,-1) D.(1,-1) ( )

答案 C

解析 y′=3x2, ∴3x2=3.∴x=± 1 . 当 x=1 时,y=1,当 x=-1 时,y=-1.

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5.若曲线 y=x4 的一条切线 l 与 线 直 则 l 的方程为________.
答案 4x-y-3=0

x+4y-8=0 垂 , 直

3 解析 设切点为(x0,y0),y′=4x3,∴4x0=4.

∴x0=1.∴y0=1. ∴l 的方程为 4x-y-3=0.

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1 例 1 (1)用导数的定义求函数 f(x)= 在 x=1 处的导数. x 1 2 用导数的定义求函数 f(x)= ( ) 的导数. x+2

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1 -1 1+Δx Δy f?1+Δx?-f?1? 【解析】 1 ( ) = = Δx Δx Δx 1- 1+Δx 1-?1+Δx? = = 1+ΔxΔx Δx 1+Δx?1+ 1+Δx? -Δx -1 = = , Δx? 1+Δx+1+Δx? 1+Δx+1+Δx ∴f′( =l →0 1 ) m i Δx Δy =l →0 m iΔx Δx -1 1 =-2. 1+Δx+1+Δx

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1 1 - Δy f?x+Δx?-f?x? x+2+Δx x+2 2 ( ) = = Δx Δx Δx ?x+2?-?x+2+Δx? -1 = = , Δx?x+2??x+2+Δx? ?x+2??x+2+Δx? ∴f′(x)=l →0 m i Δx ?-1? Δy 1 =l m i =- 2. Δx Δx→0 ?x+2??x+2+Δx? ?x+2?

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探究 1 1 利用导数定义求函数的导数时,先算函数的增 ( ) Δy f?x+Δx?-f?x? Δy 量 Δy,再算比值 = ,再求 y′=l → m i . Δx 0 Δx Δx Δx 2 导数定义中,x 在 x0 处增量是相对的,可以是 Δx, 可 ( ) 也 以是 2Δx 等,做题要将分子分母中增量统一为一种. 3 导数定义l → ( ) m i
Δx 0

f?x0+Δx?-f?x0? =f′(x0),也即 Δx

f?x?-f?x0? lim x→x0 x-x0 =f′(x0).

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思考题 1 1 已知 f(x)=l ( ) n 1 (
【解析】 m il →
【答案】 1

+x),求l → m i

x 0

f?x? . x

x 0

f?0+x?-f?0? f?x? =l → m i =f′( =1. 0 ) x 0 x x

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2 已知 f′(a)=3,则l → ( ) m i

h 0

f?a+3h?-f?a-h? =________. h

【解析】 原式=lh→0 m i

[f?a+3h?-f?a?]-[f?a-h?-f?a?] h

=3f′(a)+f′(a)=4f′(a)=12.
【答案】 12

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例 2 求下列函数的导数: 1 y=(3x3-4x) x+1); ( ) 2 ( 2 y=x2n x; ( ) i s 3 y=3xex-2x+e; ( ) lnx 4 y= 2 ( ) . x +1

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【析 解】

1 方一 ( 法 )

y=(3x3-4x) x+1) 2 (

=6x4+3x3-8x2-4x,∴y′=24x3+9x2-16x-4. 方二 法 y′=(3x3-4x)′· x+1)+(3x3-4x)(2x+1)′ 2 ( x+1)+(3x3-4x) 2 ·

=(9x2-4 2 ( )

=24x3+9x2-16x-4. 2 y′=(x2)′s x+x2n ( ) n i i s ( x)′=2xs x+x2c x. n i o s

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3 y′=(3xex)′-(2x)′+e′ ( ) =(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′ =3xn e 3 l · =( n 3 l
x

+3xex-2xn 2 l
x

+1 3 ( e ) ·

-2xn 2 l .

?lnx?′?x2+1?-lnx· 2+1?′ ?x 4 y′= ( ) ?x2+1?2 1 2 · +1?-lnx· x2+1-2x2l· x ?x 2x n x = = . ?x2+1?2 x?x2+1?2

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探究 2 1 熟记基本初等函数的导数公式及法则是导数运 ( ) 算的前提. 2 公式不仅要会正用,而且要求会逆用! ( )

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思考题 2 求下列各函数的导数: x+x5+s x n i 1 y= ( ) ; x2 2 y=(x+1 x+2 x+3); ( ) ( ) ( ) x 3 y=-s 2(1-2 ( ) n i c o s
2x

4).

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【解析】 1 y′= ( ) 2 y′=3x2+12x+1 ( ) 1 . 1 1 3 y′=(2n x)′=2n ( ) i s i s (

+3x2-2x-3n x+x-2c x. i s o s

1 x)′=2c x. o s

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例 3 求下列函数的导数: 1 y=e2xc ( ) o 3 s x;

2 y=ln x2+1. ( )

【解析】 1 y′=(e2x)′c ( ) o 3 s =2e2xc o 3 s =e2x2 (3 c o s x+e2x(-3 n 3 i s x-3 n 3 i s x). x)

x+e2xc o ( 3 s

x)′

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2 设 u= x2+1,v=x2+1, ( ) 1 1 2x x y′= 2 ·· 2 2 x +1=x2+1 x +1 1 1 2x x 2 或 y=2n x +1),y′=2·2 ( l = . x +1 x2+1

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探究 3

求复合函数的导数时,易搞不清如何复合而出错,

应先分析复合函数的结构,引入中间变量 u 将复合函数分解为 基本初等函数或较简单函数 y=f(u)和 u=φ(x),后 复 函 然用合数 的导则导有一函不一分完,要行 求法求,时个数能次解成需进 多步分解.

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思考题 3 求下列函数的导数: 1 f(x)=l x-1)2; ( ) n ( 2 f(x)=c ( ) o ( s π 3-2x); x).

3 f(x)=e-2xn ( ) 2 ( i s

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2?x-1? 2 【解析】 1 f′(x)= ( ) = . ?x-1?2 x-1 2 f′(x)=-s ( ) n ( i =2 n ( i s π 3-2x)(-2) π x-3). x+2e-2xc o 2 s x x

π n 2 ( i s 3-2x)=-2

3 f′(x)=e-2x(-2 ( ) n 2 i) s =-2e-2xn 2 i s =-2 2e n 2 ( i s
-2x

x+2e-2xc o 2 s π x-4).

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例4

1 3 4 已知曲线 y= x + . 3 3 处的切线方程; 的切线方程;

1 求曲线在点 P( ( ) 4 2 ) , 2 求曲线过点 P( ( ) 4 2 ) ,

3 求满足斜率为 1 的曲线的切线方程. ( )

【解析】 1 ∵y′=x2, ( ) ∴在点 P( 4 2 ) , 处的切线的斜率 k=y′|x=2=22=4. 处的切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-

∴曲线在点 P( 4 2 ) , y-4=0.

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1 4 3 2 设曲线 y=3x +3与过点 P4 ( ) 2 ( ) , 4 +3),则切线的斜率 k=
2 =x0.

1 的切线相切于点 A(x0,x3 3 0

1 3 4 2 ∴切线方程为 y-(3x0+3)=x0(x-x0), 即 2 3 4 2 y=x0· x0+ . x- 3 3 4 2 2 3 在切线上,∴4=2x0- x0+ , 3 3

∵点 P( 4 2 ) ,

3 即 x0-3x2+4=0,解得 x0=-1 或 x0=2. 0

故所求切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0.
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3 设切点为(x0,y0).故切线的斜率为 k=x2=1, ( ) 0 5 解得 x0=± 1,故切点为(1,3),(-1 1 ) , .

5 故所求切线方程为 y-3=x-1 和 y-1=x+1. 即 3x-3y+2=0 和 x-y+2=0.

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探究 4 1 在求曲线的切线方程时,注意两个“说法”: ( ) 求曲线在点 P 处的切线方程和求曲线过点 P 的 线 程 在 切 方 ,点 P 处的切线,一定是以点 P 为切点,过点 P 的 线 不 点 切,论 在不在曲线上,点 P 不一定是切点. P

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2 求过点 P 的曲线的切线方程的步骤为: ( ) 第一步,设出切点坐标 P′(x1,f(x1)); 第二步,写出过 P′(x1 ,f(x1))的切线方程为 y-f(x1)= f′(x1)(x-x1); 第三步,将点 P 的坐标(x0,y0)代入切线方程,求出 x1; 第四步,将 x1 的值代入方程 y-f(x1)=f′(x1)(x-x1)可得过 点 P(x0,y0)的切线方程.

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思考题 4 1 设函数 f(x)=g(x)+x2, 线 ( ) 曲 g( 1 )

y=g(x)在点(1, 处

处的切线方程为 y=2x+1,则曲线 y=f(x)在点(1,f( 1 )

切线的斜率为________.

【解析】 ∵曲线 y=g(x)在点(1,g( 1 ) =2x+1, ∴g′( =k=2.又 f′(x)=g′(x)+2x, 1 )

处切方为 的线程

y

∴f′( =g′( +2=4,故切线的斜率为 4. 1 ) 1 )
【答案】 4

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2 已知曲线 y=x3 在点(a,b)处的切线与直线 x+3y+1=0 ( ) 垂直,则 a 的值是________.

【解析】 由 y=x3 知 y′=3x2,∴切线斜率 k=y′|x=a= 3a2. 又切线与直线 ∴3a
2

? 1 1? x+3y+1=0?y=- x- ?垂直, 3 3? ?

? 1? ?- · 3?=-1,即 a2=1,a=± 1 . ? ?

【答案】 ± 1
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3 求过点(1,-1)的曲线 y=x3-2x 的 线 程 ( ) 切方.

【析 解】
2 3x0-2.

设 P(x0,y0)为 点 则 线 斜 为 切,切的率

f′(x0)=

故线程 切方为

y-y0=(3x2-2 x-x0). ( ) 0

2 即 y-(x3-2x0)=(3x0-2 x-x0). ( ) 0

又切过 知线点

(1, 1), 入 述 程 - 代上方, -x0).

2 得 1-(x3-2x0)=(3x0-2 - 1 ( ) 0

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1 解得 x0=1 或 x0=-2. 故所求的切线方程为 y+1=x-1 5 或 y+1=-4(x-1). 即 x-y-2=0 或 5x+4y-1=0.

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1.求 f(x)在 x=x0 处 导 的数 1 定法 ( 义: )

f′(x0), 两 方 : 有种法

f?x0+Δx?-f?x0? f′(x0)=lim . Δx→0 Δx f(x)在(a, 的 函 b)内 导 数 f′(x),

2 利 导 数 值即 求 ( 用 函 求 ,先 ) 再 f′(x0). 求

2. 复 函 的 数 , 选 中 变 , 复 函 分 求 合 数 导 时应 好 间 量将 合 数 解几基函,后外到层次导 为个本数然从层内依求.

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3.若 f(x)在 x=x0 处存在导数,则 f′(x)即为曲线 f(x)在点 x0 处的切线斜率. 4. 曲 的 线 程 , 不 切 , 先 切 , 关 求 线 切 方 时若 知 点应 设 点列 系式求切点.

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1. 知 数 已函 是 A.y=2x-2 C.y=x-1
答案 C

y=xlnx, 这 函 在 则个数点

x=1 处 切 方 的线程 ( )

B.y=2x+2 D.y=x+1

解析 y′=lnx+1,∴x=1 时,y′|x=1=1. ∵x=1 时,y=0,∴切线方程为 y=1(x-1)=x-1.

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2.一 器 的 动 程 有机人运方为

3 s=t + (t 是时间,s 是位移), t
2

则该机器人在时刻 t=2 时的瞬时速度为 19 A. 4 15 C. 4
答案 D

(

)

17 B. 4 13 D. 4

3 3 解析 ∵s(t)=t + ,∴s′(t)=2t- 2. t t
2

3 13 ∴机器人在时刻 t=2 时的瞬时速度为 s′( =4-4= 4 . 2 )
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x+1 3.设曲线 y= 在点( 2 3 ) , x-1 垂直,则 a 等于 A.2 1 C.-2
答案 B

处的切线与直线 ax+y+1=0 ( B.-2 1 D.2 )

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x-1-x-1 -2 解析 因为 y′= = , ?x-1?2 ?x-1?2 所以曲线在点( 2 3 ) , 1 处的切线斜率 k 切=y′|x=3=-2.

因为-a· 切=-1,所以 a=-2,故选 B. k

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4.f(x)与 g(x)是 义 定在

R上两可函, 的个导数若

f(x),g(x) ( )

满 f′(x)=g′(x), f(x)与 g(x)满 足 则 足 A.f(x)=g(x) B.f(x)=g(x)=0 C.f(x)-g(x)为 数 数 常函 D.f(x)+g(x)为 数 数 常函
答案 C

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π 5.设正弦函数 y=s x 在 x=0 和 x= 附近的平均变化率 n i 2 为 k1,k2,则 k1,k2 的大小关系为 A.k1>k2 C.k1=k2
答案 A

(

)

B.k1<k2 D.不确定

解析 ∵y=s x,∴y′=( n i n i s k1=c o 0 s

x)′=c x. o s

π =1,k2=c 2=0,∴k1>k2. o s
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6.(1 23 0 ·

衡水调研)直线 y=kx 是曲线 y=s x 的 条 线 n i 一切,

则符合条件的一个 k 的值为________.
答案 1

解析 因为 y=s x, 以 n i 所 所以 y=kx,k=1.

y′=c x,当 x=0 时,y′=1, o s

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7. 图 函 如 ,数

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y=f(x)的图像在点 P 处的切线方程是 y=-

x+8,则 f( +f′( =________. 5 ) 5 )

答案 2

解析 ∵x=5,∴f( =-5+8=3,又∵f′( =-1. 5 ) 5 ) ∴f( +f′( =3-1=2. 5 ) 5 )

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2014《高考调研》新课标总复习 数学(理科版) 衡水中学1-3
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