福建省莆田市2015年普通高中毕业班质量检查数学文试题_图文

2015



高中 业班教学质 检查试卷

数学
分钟. 注意事项

文科

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考试时间 120

1.答题前,考生先将自己的姓 、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框) 内作答,超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦 净 ,再选涂其他答案 标号 非选择题答案使用 O.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹 清楚. 4.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束 ,将本试卷和答题卡一并 交回. 参考公式 样本数据 x1,x2, …,xn 的标准差 锥体体积公式

s=

1 ? ( x1 ? x ) 2 + ( x2 ? x ) 2 + … + ( xn ? x ) 2 ? ? ? n
均数

V= Sh
其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式
S = 4πR 2 , V = 4 3 πR 3

1 3

其中 x 为样本 柱体体积公式

V=Sh
其中 S 为底面面积,h 为高 第 卷 选择题 共 60


其中 R 为球的半径

一、选择题 本大题共 12 小题 小题 5 共 60 符合题目要求的 把答案填涂在答题卡相应 置 1 已知 sin α =

小题给出的四个选项中

只有一项是

1 π ( <α <π) 2 2
B

则 cos α 等于

A

?

3 2

3 2
a, b ∈ R
i 虚数单

C

?

1 2

D

1 2
M 则“ a = 1 且 b = ?1 ”

2

已知复数 z = a + bi

在复 面 对应的点

是“点 M 在第四象限”的
·1 ·

A 充 而 必要条件 C 充 必要条件 3 抛物线 y 2 = 4 x 的准线方程是 B x= 1

B 必要而 充 条件 D 既 充 也 必要条件

A x= 2

C

y=

2

D

y=

1

4

根据如 样本数据

x y
^

6 2
^

8 3
^

10 5

12 6

得到的线性回 方程

y = 0 .7 x + a

则 a 的值

A 2 B 2 2 5 阅读右图所示的程序框图 A 3 4

C 2 3 D 2 6 行相应的程序 输出的 k 的值等于 5 6

? x + y ≤ 1, ? 6 若实数 x, y 满足 等式组 ? x ? y ≤ 1, 则 2 x + y 的最大值是 ? x ≥ 0, ?
A 1 B 0 7 已知函数 f(x) 奇函数 A C 8 A ∞ 1 ∪ 0 1 1 0 ∪ 0 1 已知 a = (3,?2), b = (1,0), 若向 C 1 D 2 2 x≥0 时 f(x)=x x 则 等式 f(x >0 的解集 B D ∞ 1 1 ∪ 1 +∞ 0 ∪ 1 +∞

λa + b

a ? 2b 垂直 则实数 λ 的值
C

?

1 6

B

1 6

?

1 7

D

1 7


9 请在“垂直于 一 的两 命题 则其中真命题的个数 A 1 B 2
2 2

行” 和 处中填入“直线”或“ 面” 使之组成四个 C 3 D 4 则双曲线的渐 线方程 D (

10 已知双曲线 A

x y ? = 1 的一个焦点在圆 x 2 + y 2 ? 4 x ? 5 = 0 20 m
B
'

)

1 y=± x 2

y = ±2 x

C

y=±

5 x 2

y=±

2 5 x 5
1 0

11 函数 f ( x ) 的导函数 f ( x ) 的图象是如图所示的一条直线 该直线 则 f ( ?1)

x 轴的交点坐标

f (2) 的大小关系是

·2 ·

A C 12 中

f (?1) < f (2) f (?1) = f (2)
如图

B

f (?1) > f (2)

D 无法确定

?ABC 所在 面 的点 Pn (n ∈ N* ) 均满足 PAn // BC
1 首项的 项数列 B 8 则 x5 等于 C 16 D

uuur uuur uuur Pn A = xn +1 Pn B ? 2 xn PnC



{x n } 是

A 4

32


二、填空题:本大题共 4 小题 13



非选择题
小题 4

共 90
把答案填写在答题卡的相应 置

共 16

若集合 A = {0,1, 2,3} , B = {1, 2, 4} , 则集合 A I B =

14 某校对 100 参 “妈祖杯”知识竞赛的选手成绩进行统计 得到样本频率 直方图(如图) 则在这 100 学生中 成绩 于 80 的人数 15 函数 y = x 4 的一条 线 直线 x ? 4 y ? 2 = 0 垂直 则该

线方程 _______ 16 定义

[ x ] ( x ∈ R ) 表示
给出 列结论

超过 x 的最大整数 例如

[1.5] = 1

[ ?0.5] = ?1

函数 y = [sin x ] 是周期 函数 y = [sin x ] 是奇函数

2π 的周期函数

函数 y = [sin x ] 的值域是 {? 1,0,1} 函数 y = [sin x ] ? cos x 在零点

其中 确的是_____________ 填 所有 确结论的编号 、解答题 本大题共 6 小题 共 74 解答应写出文 说明、证明过程或演算 在答题卡相应 置 17 本小题满 12 已知等差数列{an}的首项 1 公差 d≠0 且 a1 a2 a4 成等 数列 求数列{an}的通项公式 前 n 项和 Sn 设 bn = 18



把答案填

1 Sn
12

n ∈ N*

求使 等式 b1 + b2 + L + bn >

9 成立的最小 整数 n 5

本小题满

·3 ·

已知函数 f ( x ) =

1 3 sin ωx cos ωx ? cos 2 ωx + (ω > 0) 2
数据如

化简

利用“五点法”画其在某一周期内

的图象时 列表并填入的部

x
f ( x)
0

2 π 3
1 0

5 π 3
1 0

请直接写出 处应填的值 并求函数 f ( x ) 的单调递增区间

?ABC 的内角 A, B, C 所对的边 别

a, b, c 已知 a + c = 4 f ( ) B = , b = 3, 求 ?ABC 2 3

π

π

的面 19 本小题满 12 聪明花开——莆仙话挑战赛 栏目共有五个项目 别 “和一斗”、“斗麻利”、“文士生”、“讲头 知尾”、“ 夫” 聪明花开 栏目组 了解观众对项目的看法 设计了“你最喜欢的项目是哪一个 ” 的调查问卷 人只能选一个项目 对现场观众进行随机抽样调查 得到如 数据 单 人 合一斗 115 斗麻利 230 文士生 115 讲头知尾 345 夫 460

I 在所有参 该问卷调查的人中 用 层抽样的方法抽取 n 人座谈 其中恰有 4 人最喜欢“斗麻利” 求 n 的值及所抽取的人中最喜欢“合一斗”的人数 II 在 I 中抽取的最喜欢“合一斗”和“斗麻利”的人中 任选 2 人参 栏目组互动 求恰有 1 人最 喜欢“合一斗”的概率 20 本小题满 12 已知四边形 ABCD 行四边形 BD ⊥ AD BD=AD AB=2 四边 形 ABEF 方形 且 面 ABEF ⊥ 面 ABCD ( )求证 BD ⊥ 面 ADF ( )若 M CD 中点 证明在线段 EF 在点 N 使得 MN∥ 面 ADF 且 MN// 面 BDF 并求出 时 棱锥 N—ADF 的体 21 本小题满 12

如图 O

坐标原点 椭圆 E 顶点

x2 y2 + =1 a2 b2 1 2

a>b>0

的左、右焦



别是 F1、F2

P 离心率 e=

直线 PF2 交椭圆 E 于另一点 Q

△PQF1 的周长 8 I 求椭圆 E 的方程 II 若点 R 满足 2 PO=PQ + PR III 若 M、N 椭圆 E

uuu r uuu r uuu r

求△PQR 的面 角

异于点 P 的两动点 试探究 是否 在点 M、N 使得△PMN
·4 ·

形?若 在 求出 M、N 两点的坐标 若 22 本小题满 14

在 请说明理

已知函数 f ( x ) = ln x ? ax 若a =1

a∈R

求函数 f ( x ) 的单调区间 数m 总 在实数 a 使函数 f ( x ) 在区间 (m, +∞ ) 使 单调

求证 对任意给定的 试探究 是否

在实数 x1 , x2 ( x2 > x1 > 0)

x ∈ [ x1 , x2 ] 时 函数 f ( x) 的值域
在 说明理

[kx1 ? 1, kx2 ? 1](k ∈ R ) ?若 在 试确定实数 k 的取值范围 若

2015



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数学

文科

试题参考答案及评分标准

一、选择题 本题考查基础知识和基本 算 本大题共 12 小题 小题 5 满 60 1 A 2 A 3 B 4 C 5 C 6 D 7 D 8 C 9 B 10 A 11 B 12 C 二、填空题 本题考查基础知识和基本 算 本大题共 4 小题 小题 4 满 16
·5 ·

13

{1 2} 14 25 15 4x+y+3=0 16 、本大题共 6 小题 共 74 解答应写出文 说明、证明过程或演算 骤 17 本小题 要考查等差、等 数列、数列求和等基础知识 考查 算求解能力 考查化 思想 满 12 解 因 a1 a2 a4 成等 数列 所 a1a4=a22 …………………………………1 …………………………………………2 即 a1(a1+3d)=(a1+d)2 解得 d=1 或 d=0 舍去 所 an=1+(n 1)1=n ………………………………………………………………………4

转化

Sn =

n(1 + n) 2

………………………………………………………………………………6 知 bn =

2 1 1 = 2( ? ) …………………………………………7 n(n + 1) n n +1 1 1 1 1 1 1 2n 所 b1 + b2 + L + bn = 2(1 ? ) + 2( ? ) + L + 2( ? ) = 2(1 ? )= …………9 2 2 3 n n +1 n +1 n +1 2n 9 解 > 解得 n>9 …………………………………………………………………………11 n +1 5
所 18 使 等式成立的最小 整数 10 ……………………………………………………12 本小题 要考查 角函数的图象 性质、两角和 差的 角函数、解 角形等基础知识 算求解能力 考查化 转化思想 满 12 处应填入 考查



π
6

…………………1

f ( x) =

3 1 + cos 2ω x 1 sin 2ω x ? + ……………3 2 2 2
………………4

=


3 1 π sin 2ω x ? cos 2ω x = sin(2ω x ? ) 2 2 6
T= 2(

2 kπ ?


π

5π 2π ? ) = 2π 3 3
≤ x?



π

2

6

≤ 2 kπ +

π
2

2π = 2π 2ω k ∈Z

f ( x) = sin( x ? ) 6 π 2π 得 2 kπ ? ≤ x ≤ 2 kπ + 3 3

ω=

1 2

π

…………5

函数 f ( x ) 的单调递增区间

π 2π ? ? (k ∈ Z) 2 kπ ? , 2 k π + ? 3 3 ? ? ? π
…………8
2

……………7

因 解法一

a + c = 4 f ( ) = 4 sin = 2 3 2 3
2 2 2

π

余弦定理得 b = a + c ? 2ac cos B = ( a + c ) ? 2ac ? 2ac cos

π
3

= (a + c) 2 ? 3ac

2 2 得 ( 3) = (2 3) ? 3ac

ac = 3

…………10



?ABC 的面

S=

1 1 3 3 3 ac sin B = × 3 × = 2 2 2 4
·6 ·

………12

解法二 所

弦定理得

a c b = = =2 sin A sin C sin B
而 A+C =π ? B =

a = 2 sin A

c = 2sin C

2π 3

………8



a + c = 2sin A + 2 sin C = 2 sin(

2π 3 1 ? C ) + 2 sin C = 2( cos C + sin C ) + 2 sin C 3 2 2
………10

= 3 cos C + 3sin C = 2 3 cos(C ? ) = 2 3 3
即 cos(C ?

π

π

3

) =1 因

0<C <π

? S=

π

3

<C?

π
3

<

2π 3



C=

π
3

因 19 识 解

?ABC

等边 角形 其面

3 2 3 3 b = 4 4

……12 考查数据处理能力、 算求解能力、应用意

本小题 要考查 层抽样、古典概型等基础知识 考查必然 或然思想 满 12 I 已知得

n 4 = 解得 n=22 …………3 115 + 230 + 115 + 345 + 460 230 115 抽取的人中最喜欢“合一斗”有 × 4 = 2 (人) ……………5 230

II 从 I 中抽取的最喜欢“合一斗”和“斗麻利”的人中 最喜欢“合一斗”的有 2 人 记 A1、A2 最喜欢“斗麻利”的有 4 人 记 B1、B2、B3、B4 …………………6 从中随机抽取 2 人 所有的可能结果共有 15 种 它们是: (A1 A2)、 (A1 B1)、 (A1 B2)、 (A1 B3)、 (A1 B4)、(A2 B1)、(A2 B2)、(A2 B3)、(A2 B4)、 (B1 B2)、(B1 B3)、(B1 B4)、(B2 B3)、(B2 B4)、(B3 B4) …………9 其中 恰有 1 人最喜欢“合一斗”的可能结果共有 8 种 它们是 (A1 B1)、(A1 B2)、(A1 B3)、 B2)、(A2 B3)、(A2 B4) (A1 B4)、(A2 B1)、(A2 故所求的概率 P=

8 15

…………12

20 本小题 要考查空间直线 直线、直线 面、 面 面的 置关系、几何体的体 等基础 知识 考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、 算求解能力 考查数形结合思想、化 转化思想 满 12 ( )证 方形 ABEF 中 AF⊥AB 面 ABEF⊥ 面 ABCD 又 AF ? 面 ABEF 面 ABEF ∩ 面 ABCD=AB AF⊥ 面 ABCD 又 BD ? 面 ABCD AF⊥BD ……………3 又 BD ⊥ AD AF ∩ AD=A AF、AD ? 面 ADF BD ⊥ 面 ADF ……………5 ( )解 N 线段 EF 中点时 MN∥ 面 ADF 且 MN// 面 BDF ……………6 证明如 方形 ABEF 中 NF //

1 BA 2

行四边形形 ABCD 中 MD //

∴ 四边形 NFDM

1 BA ∴ NF // MD 2 行四边形 ∴ MN//DF ……………7
·7 ·

又 DF ? 面 ADF MN ? 面 ADF MN// 面 ADF 理可证 MN// 面 BDF ……………9 过 D 作 DH ⊥ AB 于 H 面 ABEF⊥ 面 ABCD 又 DH ? ABCD=AB DH⊥ 面 ABEF 在 Rt?ABD 中 AB=2 BD=AD DH=1 ……………10 所

面 ABCD

面 ABEF ∩



VN ? ADF = VD ? ANF =

1 1 1 1 DH ? S ?ANF = × 1× × 1× 2 = 3 3 2 3

……………12

21 本小题 要考查 面向 、点到直线的距离、椭圆的定义 性质、直线 椭圆的 置关系等基 础知识 考查 算求解能力、推理论证能力 考查化 转化思想、数形结合思想、特殊 一般思 想、 类 整合思想 满 12 解法一 已知可得

c 1 = 4a=8 所 a 2 3

a=2 c=1 ·……………2



b2 = a2 ? c2
椭圆 E 的方程

解得 b =



x2 y 2 + = 1 ……………3 4 3


因 所

uuu r uuu r uuu r 2 PO = PQ + PR

uuu r uuur OR = QO
……………4

R O Q

点共线 且 R 在椭圆 E y= ? 3 (x

直线 PF2 的方程

1)

? x2 y 2 = 1, 8 ? + 得 5x2 8x=0 解得 x= 或 x=0 ……………5 3 ?4 5 ? ? y = ? 3( x ? 1),



P

0

3

Q

8 5

?

3 3 5

R

?

8 5

3 3 5

·……………6



S△PQR=S△POR+S△POQ=

1 1 16 8 3 |PO|·|xQ xR|= × 3 × = 2 2 5 5 8 5 ? 3 3 5 8 5 ?

……………7

在点 M N

其坐标

3 3 5

时 △PMN

等边 角形 …8

证明如 MN⊥x 轴时 易得△PMN 可能 等边 角形 MN⊥y 轴时 因 ?PMN 等边 角形 结合椭圆的对 性



可得 M N 的坐标

8 5
MN

?

3 3 5

8 5

?

3 3 5

符合题意 ……………9 y1 N x2 y2
·8 ·

坐标轴垂直时 设 M x1

MN 的中点

D x0

y0

? x12 y12 + = 1, ? ( x + x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 + y2 )( y1 ? y2 ) ? 4 3 得 1 + =0 ? 2 2 4 3 ? x2 + y2 = 1, ? 3 ? 4


3x y1 ? y2 3( x1 + x2 ) =? =? 0 x1 ? x2 4( y1 + y2 ) 4 y0
△PMN 等边 角形 所



kMN= ?

3 x0 4 y0

……………10



kMN·kPD =—1 即 ?

3 x0 y0 ? 3 ? = ?1 4 y0 x0

解得 y0= ?3 3

y0∈ [ ? 3, 3] 矛盾



在 M N 使△PMN 是等边 角形 ·……………11



在 M N 且其坐标

8 5

?

3 3 5

8 5

?

3 3 5

时 △PMN 是等边 角形 ……12

解法二 解法一 解法一 可得|QR|=2|QO|= 2 ( ) + ( ?
2

8 5

3 3 2 2 91 ) = ………6 5 5



直线 QR 的方程

y= ?

3 3 x 即 3 3 x+8y=0 8

所 点P

0

3

到直线 QR 的距离 d=

| 3 3 × 0 + 8× 3 | (3 3)2 + 82

=

8 3 91



S△PMN=

1 1 2 91 8 3 8 3 |QR|·d= × × = 2 2 5 5 91
其坐标

……………7

在点 M N

8 5

?

3 3 5

8 5

?

3 3 5

时 △PMN

等边 角形 …8

证明如 MN⊥x 轴时 易得△PMN 可能 等边 角形 1 MN 垂直于坐标轴时 解法一 ……………9 2 MN 坐标轴垂直时 设直线 MN 的方程 y=kx+m k≠0

M x1 y1

N

x2

y2

·9 ·

? x2 y 2 = 1, ? + 2 2 2 得 (3 + 4k ) x + 8kmx + 4m ? 12 = 0 3 ?4 ? y = kx + m, ?
MN 的中点坐标



?8km 4m2 ? 12 , x1 x2 = x1 + x2 = 3 + 4k 2 3 + 4k 2

D(

?4km 3m , ) 2 3 + 4 k 3 + 4k 2 3m ? 3 2 kMN·kPD =—1 即 3 + 4k ? k = ?1 ?4km 3 + 4k 2
*



△PMN

等边 角形 所

化简得 m = ? 3(3 + 4k 2 ) 又因
2

? = 64k 2 m2 ? 4(3 + 4k 2 )(4m 2 ? 12) = 48(4k 2 + 3 ? m 2 ) > 0
2

即 m < 3 + 4k



* 式矛盾 满足条件的 M N

在 ……………11



在M N

其坐标

8 5

?

3 3 5

8 5

?

3 3 5

时 △PMN 是等边 角形 ……12

22 本小题 要考查函数导数的几何意义、导数的 算及导数的应用 考查 算求解能力、抽象概 括能力、 推理论证能力 考查函数 方程思想、 数形结合思想、 化 转化思想、 类 整合思想 满 14 解

f ( x) = ln x ? x f ′( x) = 0
得 x =1 f(x)

f ′( x) =

1 1? x ?1 = x x

x>0

………… 1

f ′( x) 的变化情况如 表
(0 + 单调递增 1) 1 0 极大值 1 +∞ 单调递 1 +∞

x
f ′( x) f ( x)
所 函数 f(x)的增区间 0

1

区间

……………………………… 3

f ′( x) =
1

1 1 ? ax ?a = ( x > 0) x x f ′( x) > 0 恒成立
时函数 f ( x ) 在区间 0 +∞ 单调递增 合题意

a≤0时

舍去 …………………4 2

a >0时

f ′( x) = 0

得x=

1 a

f ( x)

f ′( x) 的变化情况如 表

·10·

x
f ′( x) f ( x)
所 函数 f ( x ) 的增区间

1 (0, ) a
+ 单调递增

1 a
0 极大值

1 ( , +∞) a

单调递

1 ( , +∞) ……………… 6 a 1 1 单调 须且只须 > m 即 0 < a < 要使函数 f ( x ) 在区间 (m, +∞ ) a m 1 所 对任意给定的 数 m 只须取实数 a ∈ (0, ) 就能使得函数 f ( x ) 在区间 (m, +∞ ) m
区间 调 …………………… 7 假设 在实数 x1 , x2 ( x2 > x1 > 0) 使

1 (0, ) a



x ∈ [ x1 , x2 ] 时 函数 f(x)的值域 [kx1 ? 1, kx2 ? 1]

?0 < x1 < x2 , 得k > 0 ? ?kx1 ? 1 < kx2 ? 1,
g ( x) = kx ? 1
1

……………………… 8

a≤0时

f ( x), g ( x) 均在区间 0 +∞
方程 f ( x ) = g ( x ) 的两个 等 根

单调递增 *

已知得 x1 , x2

h( x ) = f ( x ) ? g ( x )
要使 因

即 h( x ) = ln x ? ( a + k ) x + 1 在两个零点 ………………………9

* 成立 须且只须 h( x )

h′( x) =

1 ? a ? k ( x > 0) x
即 k ≤ ?a 时 即 k > ?a 时

a+k ≤0 a+k >0
要使 所 2

h( x) 在区间 0 +∞ h′( x) = 0
得x=

单调递增

*

成立

1 a+k

时 h( x ) 取到最大值

* 成立 须且只须 h(

1 1 ) = ln( ) > 0 得 k < 1? a a+k a+k a ≤ 0 时 要使 * 成立 须且只须 ? a < k < 1 ? a …………………… 10 1 a >0时 知 f ( x ) 在 x = 处取到最大值 a
结合图形可得

时要使命题成立 须且只须 h( x ) 有两个零点 x1 , x2
·11·

若 x1 < x2 < 若 x1 <

1 a

f ( x), g ( x) 均在区间 (0, x2 )
则取符合 kx ? 1 = f ( ) 的解

单调递增知

在 x1 , x2 符合题意

1 < x2 a

1 a

x2 即可

结合 1 得 ? a < k < 1 ? a 注意到 k > 0 综 所

…………………… 13

0 < a < 1 且 0 < k < 1? a
在 k ∈ ( ?a,1 ? a ) 符合题意 在 k ∈ (0,1 ? a ) 符合是题意 在 …… 14

a≤0时 0 < a < 1时

a ≥ 1 时 满足条件的实数 k

·12·

·13·

·14·

·15·

·16·

·17·


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