题组20 双曲线的图象与性质

高考新课标 I 卷文科数学圈题
题组 20 双曲线的图象与性质
一、考法解法
(一)命题特点分析
高考中关于圆锥曲线的考查方式一般为:用客观题的形式考查圆锥曲线的基本 量(概念、性质),通过解答题考查求圆锥曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等.在知识 交汇点处命题是解析几何的显著特征,与平面向量、三角函数、不等式、数列、导数等知识 的结合考查综合分析问题和解决问题的能力.本部分高考命题会紧紧围绕数形结合思想、方 程思想、分类讨论思想、运动与变化的观点展开.

(二)解题方法荟萃
椭圆、双曲线与抛物线是高中数学的一个重要内容,它的基本特点是数形兼备,可与代 数、三角、几何知识相沟通,历来是高考的重点内容.纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的 考查,主要体现出以下几个特点:1.基本问题,主要考查以下内容:①椭圆、双曲线与抛 物线的定义、标准方程及 a、b、c、e、p 五个参数的求解,②几何性质的应用;2、求动点 轨迹方程或轨迹图形(高频) ,此类问题的解决需掌握四种基本方法:直译法、定义法、相 关点法、参数法.3.有关直线与它们的位置关系问题(高频) ,这类问题常涉及圆锥曲线的 性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等,分析这类问题时,往往要利用数形结合思想 和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理,多以解答题的形式出现.4.求与椭圆、 双曲线及抛物线有关的参数或参数范围问题(高频) ,这类问题综合性较大,运算技巧要求 较高;尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合,特别值得注意的是近年出现的 解析几何与平面向量结合的问题(高频) .

二、真题剖析
1、 (2015?新课标 I 卷文科)已知 F 是双曲线 C : x ?
2

y2 ? 1 的右焦点, P 是 C 的左支上一 8

点, A 0, 6 6 .当 ?APF 的周长最小时,该三角形的面积为________. 答案: 12 6 解析:根据题意画出示意图如图,结合双曲线的定义可知,当左焦点 F ? 、P、A 三点共线时, △APF 周长最小,此时 P ?2, 2 6 ,所以

?

?

?

?

1 1 S?APF ? S?AF ?F-S?PF ?F ? ? 6 ? 6 6 ? ? 6 ? 2 6 ? 3 ? 4 6 ? 12 6. 2 2

点评:本题是一道关于双曲线中三角形周长和面积的问题,利用双曲线的定义,找到△APF 周长最小时点 P 的坐标是解决本题的关键.本题还蕴涵了一个基本公理:两点之间线段最短.

2、 (2014?新课标 I 卷文科)已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0) 的离心率为 2,则 a ? ( a2 3
D. 1

)

A. 2 答案:D

B.

6 2

C.

5 2

a2 ? 3 ? 2 ,解得 a ? 1 ,选 D. 解析:由双曲线的离心率可得 a
点评:本题考查根据双曲线的离心率求实半轴长 a 的值,会利用离心率公式即可求解.属于

简单题. x2 y2 5 3、 (2013?新课标 I 卷文科)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 ,则 C 的渐 a b 2 近线方程为() 1 A.y=± x 4 1 C.y=± x 2 答案:C c 5 b 1 解析:由 e= = 知,a=2k,c= 5k(k∈R+),由 b2=c2-a2=k2 知 b=k.所以 = . a 2 a 2 1 即渐近线方程为 y=± x.故选 C. 2 点评:由离心率求渐近线方程是双曲线中的基本问题,已知离心率,就等于告知了 a,b,c 之 间的一个关系,再结合 c2=a2+b2,即可求出的渐近线的斜率. 4、 (2012?新课标卷 I 文科)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 1 B.y=± x 3 D.y=± x

y 2 ? 16 x 的准线交于 A 、 B 两点, | AB | = 4 3 ,则 C 的实轴长为(
A . 2 B . 2 2 C .4
答案:C

)

D .8

解析:由题设知抛物线的准线为: x ? 4 ,设等轴双曲线方程为: x2 ? y 2 ? a 2 ,将 x ? 4 代 入等轴双曲线方程解得 y = ? 16 ? a ,∵ | AB | = 4 3 ,∴ 2 16 ? a = 4 3 ,解得 a =2,
2 2

∴ C 的实轴长为 4,故选 C. 点评:本题是双曲线和抛物线的简单综合题,主要考查抛物线的准线、双曲线的几何性质 等,是简单题.

三、高考圈题
x2 y 2 ? 2 ? 1, (a ? 0, b ? 0) 2 F,F b 1、已知双曲线 a 的左,右焦点分别为 1 2 ,点 P 在双曲线的右支
上,且

| PF1 |? 4 | PF2 | ,则双曲线的离心率 e 的最大值为_______________.

圈题理由:利用双曲线的定义解决问题是高考对双曲线考查的一种常用方法.本题方法 1 正 是采用了这种方法.方法 2 利用不等式求最值,解法比较有新意.

5 答案: 3
解析: (方法 1)由定义知

| PF1 | ? | PF2 |? 2a ,又已知 | PF1 |? 4 | PF2 | ,

8 2 PF1 ? a PF2 ? a 3 , 3 ,在 ?PF1 F2 中,由余弦定理, 解得
64 2 4 2 a ? a ? 4c 2 17 9 9 9 cos ?F1 PF2 ? ? ? e2 8 2 8 8 2? a? a 3 3 得 ,要求 e 的最大值,即求 cos?F1PF2 的最
小值,当 cos?F1 PF2 ? ?1时,解得

e?

5 5 3 .即 e 的最大值为 3 .

?
(方法 2)

| PF 2a ? | PF2 | 2a 2a 1| ? ?1? ?1? | PF2 | | PF2 | | PF2 | c?a,
1? 2a 5 ? 4,? e ? c?a 3

| PF1 |? 4 | PF2 | ,等价于 双曲线上存在一点 P 使

x2 y2 2、设双曲线 - =1 的右顶点为 A,右焦点为 F,过点 F 作平行双曲线的一条渐近线的直 9 16 线与双曲线交于点 B,则△AFB 的面积为________. 圈题理由:双曲线问题中,求面积也是高考常考的一种题型. 32 答案: 15 4 解析:易知 c=5.设平行于一条渐近线的直线方程为 y= (x-5),即 4x-3y-20=0,联立直 3

64 1 64 32 线与双曲线方程,求得 yB=- ,则 S= ×(5-3)× = . 30 2 30 15

x2 y 2 3、已知点 F,A 分别为双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的左焦点,右顶点,点 B(0,b) a b
满足FB·AB=0,则双曲线的离心率为________. 圈题理由:解析几何和平面向量相结合命题是高考常见的一种出题方式,一般情况下,向量 只是起到工具性的作用,实质还是考查曲线的性质.

→ →

答案:

1? 5 2

解析:由题意可得:|FB|2+|AB|2=|AF|2?c2+b2+c2=(a+c)2,整理得 c2-a2-ac=0,两边 同除以 a2 得 e2-1-e=0? e ?

1? 5 2 .

四、分层训练
1、已知双曲线 C : 程为() A.

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方 a 2 b2

x2 y 2 ? ?1 20 5

B.

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 C. ? ?1 5 20 80 20

D.

x2 y 2 ? ?1 20 80

答案:A

x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 9 2、若实数 k 满足 0 ? k ? 9 ,则曲线 25 9 ? k 与曲线 25 ? k 的()
A.离心率相等 C.实半轴长相等 答案:A x2 y2 解析:∵0<k<9,∴9-k>0,25-k>0.对于双曲线 - =1, 25 9-k 其焦距为 2 25+9-k=2 34-k; 25-k+9=2 34-k.所以焦距相等. B.虚半轴长相等 D.焦距相等

x2 y2 对于双曲线 - =1,其焦距为 2 25-k 9 3、已知双曲线 C 的离心率为 2,焦点为 则

F1 、 F2 ,点 A 在 C 上,若 F1 A ? 2 F2 A ,

cos ?AF2 F1 ? ()
1 B. 3

1 A. 4
答案:A

2 C. 4

2 D. 3

解析:根据题意,|F1A|-|F2A|=2a,因为|F1A|=2|F2A|,所以|F2A|=2a,|F1A|=4a.又因为双

c 曲线的离心率 e= =2,所以 c=2a,|F1F2|=2c=4a,所以在△AF1F2 中,根据余弦定理可得 a |F1F2|2+|F2A|2-|F1A|2 16a2+4a2-16a2 1 cos∠AF2F1= = = . 2|F1F2|· |F2A| 2× 4a× 2a 4 4、设双曲线 C 经过点(2,2) ,且与 程为. x2 y2 答案: - =1 3 12 y =± 2x

y2 ? x 2 ? 1具有相同渐近线,则 C 的方程为;渐近线方 4

y2 22 解析:设双曲线 C 的方程为 -x2=λ,将(2,2)代入得 -22=-3=λ,∴双曲线 C 的方程 4 4 x2 y2 y2 为 - =1.令 -x2=0 得渐近线方程为 y=± 2x. 3 12 4 5、已知双曲线

x2 y 2 = 1 (a > 0, b > 0)的一条渐近线平行于直线 l : y = 2 x + 10 ,双曲 a 2 b2


线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为(

x2 y 2 =1 20 A. 5 3x 2 3 y 2 =1 C. 25 100
答案:A

x2 y 2 =1 5 B. 20 3x 2 3 y 2 =1 25 D. 100

b b 解析:由题意知,双曲线的渐近线为 y=± x,∴ =2.∵双曲线的左焦点(-c,0)在直线 l a a 上,∴0=-2c+10,∴c=5.又∵a2+b2=c2,∴a2=5,b2=20, x2 y2 ∴双曲线的方程为 - =1. 5 20

y x ? ?1 2 y ? 4 x 3 6、抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离是(
2

2



1 A. 2
答案:B

3 B. 2

C. 1

D. 3

解析:抛物线的焦点坐标是(1,0) ,渐近线方程是

x?

3 y ? 0, 3 根据点到直线的距离公式

可知:

d?

3 . 2
2

x y2 7、如图,F1,F2 分别是双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 (a,b>0)的左、右焦点,B 是虚轴的端点, a b
直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两点, 线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交与点 M,若|MF2|=|F1F2|,则 C 的离 心率是()

2 3 A. 3
答案:B

6 B. 2

C. 2

D.

3

b ? y ? x ? b, ? ? b c 解 析 : 由 题 意 知 直 线 F1B 的 方 程 为 : y ? x ? b , 联 立 方 程 组 ? 得点 x y c ? ? ?0 ? ?a b b ? y ? x ? b, ? ? ac bc c , ) ,联立方程组 ? Q( 得 c?a c?a ?x ? y ? 0 ? ?a b
点 P (?

a 2c c 2 ac bc , ) ,所以 PQ 的中点坐标为 ( 2 , ) ,所以 PQ 的垂直平分线方程为: c?a c?a b b

y?

c2 c a 2c a2 a2 ? ? ( x ? 2 ) ,令 y ? 0 ,得 x ? c(1 ? 2 ) ,所以 c(1 ? 2 ) ? 3c , b b b b b
6 .故选 B. 2

2 2 2 2 2 2 所以 a ? 2b ? 2c ? 2a ,即 3a ? 2c ,所以 e ?

x2 y2 8、如图,已知 F1,F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两焦点,以线段 F1F2 为边作正三角 a b → → 形 MF1F2,若边 MF1 与双曲线的交点 P 满足MP=3PF1,则双曲线的 离心率为_________________. 13+1 3

答案:

1 → → 解析:连结 PF2,设|F1F2|=2c,由MP=3PF1知|PF1|= |MF1|. 4 1 1 又△MF1F2 为正三角形,∴|PF1|= ×2c= c,∠PF1F2=60°, 4 2 由余弦定理可得: |PF2|= = 1 1 ?2c?2+? c?2-2·2c· ccos60° 2 2

1 13 4c2+ c2-c2= c. 4 2 13-1 c, 2

根据双曲线定义有 2a=|PF2|-|PF1|= 13+1 c 4 ∴离心率 e= = = . a 3 13-1

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 9、已知双曲线 a 的一条渐近线方程是 y ? 3x ,它的一个焦点与抛
物线 y ? 16 x 的焦点相同.则双曲线的方程为.
2

x2 y 2 ? ?1 答案: 4 12

?b 2 ? ? 3 ? ?a ? 4 ?a x2 y 2 ? ? ?1 2 2 2 ?a ? b ? 16 ?b ? 12 ,所以双曲线的方程为 4 12 解析:由 ? ,得 ? .
10、已知

F1 、 F2 为双曲线 C: x2 ? y 2 ? 1的左、右焦点,点 P 在 C 上,∠ F1 P F2 = 600 ,

1 ? PF 2 =. 则 PF

答案:4

PF1 ? PF2 ? 2 ? ? ? PF 2 ? PF 2 ? 2 PF ? PF ? 1 ? 8 2 1 2 ? 1 2 1 ? PF 2 =4. 解析:由题意得: ? ,得 PF
x2 y2 11、已知双曲线 C: 2 - 2=1(a>0,b>0)的左、右两个焦点分别为 F1、F2.过右焦点 F2 且与 a b x 轴垂直的直线 l 与双曲线 C 相交,其中一个交点为 M( 2,1). (1) 求双曲线 C 的方程; (2) 设双曲线 C 的虚轴的一个端点为 B(0,-b),求△F1BM 的面积.

解析:(1) 由条件可知 c= 2,|MF2|=1, 在 Rt△F1F2M 中,|MF1|= |MF2|2+|F1F2|2= 1+(2 2)2=3,

根据双曲线的定义得 2a=|MF1|-|MF2|=3-1=2,所以 a=1,从而 b=1, 所以双曲线方程为 x2-y2=1. (2) 由题意知 M( 2,1),F1(- 2,0),B(0,-1),直线 MF1 的方程是 2x-4y+2=0, 点 B 到直线 MF1 的距离 d= 6 1 3 2 = 2.又|MF1|=3,所以 S△F1BM= |MF1|·d= . 2 2 18


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