二面角及其求法总结

二面角及其求法总结
一、二面角及其平面角的概念 二面角: 二面角的平面角: l β

α ι β

g

O A

B

α -ι -β
二、作二面角的常用方法 ①定义法 ②三垂线定理法 ③垂面法

α

β

ι

α β

β α

ι

α

ι

三、射影面积法 设θ 为所求二面角的大小, S 为二面角的一个面内的平面图形的面积, S'为该平面图形在 另一个面内的射影所组成的平面图形的面积,则

' cos q = S S

四、平面法向量法

练 习: (1)如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上任一点,则二面角 P-BC-A 的 平面角为: A.∠ABP B.∠ACP C.∠APC D.都不是

P
D'

C A
B

C' B'

A' D A

C
B

(2)在正方体 ABCD-A'B'C'D'中,求作二面角 B-B'C-A 的平面角. (3)在正四面体 ABCD 中,求作二面角 A-BC-D 的平面角.

A

A

B

D

B

D

C
1

C

经典例题: 如图,PA⊥平面 ABC,∠ACB=90°,PA=AC=1,BC= 2 .求(1)二面角 A-PC-B 的大小; (2) 求二面角 A-PB-C 的大小.

P

P

P

A
思路 1:

C B

A B

C

A B

C

思路 2:

思路 3:

思路 4:

2

练习:如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,M,N 分别是 A1B1,BC,C1D1,B1C1 的中点,求 二面角 M-EF-N 的大小. D1 E A1 D A F B B1 C M N

C1

五、二面角大小求法总结:1、通过求平面角;2、向量法;3、射影面积法. 六、课后巩固 1、四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PD⊥面 ABCD,PD=AD.求面 PAD 和面 PBC 所成二面 角的大小. P

D A

C B

2、 如图, 长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 底面 ABCD 为正方形, AA1=2AB=4, 点 E 在 CC1 上且 C1E=3EC。 (Ⅰ)证明:A1C⊥平面 BED; (Ⅱ)求二面角 A1-DE-B 的大小. D1 A1 B1 C1

E D A B C

3


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