(广东专用)2014高考数学第一轮复习用书 第2课 命题与简易逻辑 文

第2课
A.若“ a ? b ,则 a(m ? 1) ? b(m ? 1)
2 2

命题与简易逻辑
) B.若 a ? b ,则 a(m ? 1) ? b(m ? 1)
2 2

1.( 2012 湛 江 二 模 ) 命题“若 a ? b ,则 a(m2 ? 1) ? b(m2 ? 1) ”的逆否命题是( C.若 a(m2 ? 1) ? b(m2 ? 1) ,则 a ? b 【答案】C
3

D.若 a(m2 ? 1) ? b(m2 ? 1) ,则 a ? b )
3 3

2. (2012 湖北高考)命题“ ?x0 ??RQ , x0 ? Q ”的否定是( A. ?x0 ??RQ , x ? Q
3 0

B. ?x0 ??RQ , x0 ? Q D. ?x0 ??RQ , x0 ? Q )

C. ?x0 ??RQ , x0 ? Q
3

【答案】D 3. (2012 辽宁高考)已知命题 p : ?x1 , x2 ? R , ( f ( x1 ) ? f ( x2 ))( x2 ? x1 ) ? 0 ,则 ?p 是( A. ?x1 , x2 ? R , ( f ( x1 ) ? f ( x2 ))( x2 ? x1 ) ? 0 B. ?x1 , x2 ? R , ( f ( x1 ) ? f ( x2 ))( x2 ? x1 ) ? 0 C. ?x1 , x2 ? R , ( f ( x1 ) ? f ( x2 ))( x2 ? x1 ) ? 0 D. ?x1 , x2 ? R , ( f ( x1 ) ? f ( x2 ))( x2 ? x1 ) ? 0 【答案】C 【解析】全称命题的否定形式为将“ ? ”改为“ ? ” ,后面的加以否定. 4. (2012 江门一模)下列结论,不正确的是( ) ... A.若命题 p : ?x ? R , x ? 1 ,则命题 ?p : ?x ? R , x ? 1 . B.若 p 是假命题, q 是真命题,则命题 ?p 与命题 p ? q 均为真命题. C.方程 mx ? ny ? 1 ( m , n 是常数)表示双曲线的充要条件是 m ? n ? 0 .
2 2

D.若角 ? 的终边在直线 y ? x 上,且 ? 360 ? ? ? 360 ,则这样的角 ? 有 4 个.
0 0

【答案】A 【解析】命题 ?p : ?x ? R , x ? 1. 5. (2012 东莞二模)对于函数① f ( x) ?| x ? 2 | ,② f ( x) ? ( x ? 2) ,③ f ( x) ? cos( x ? 2) ,判断如下两
2

个命题的真假:命题甲: f ( x ? 2) 是偶函数;命题乙: f ( x) 在 (??, 2) 上是减函数,在 (2, ??) 上是增 函数;能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是( A.①② 【答案】C 【解析】对于①, f ( x ? 2) ? x ? 4 不是偶函数,故命题甲假, 对于③, f ( x) 在 (??, 2) 上不是减函数,故命题乙假. B.①③ C.② ) D.③

1

6. (2012 房山二模)有下列命题: ①在函数 y ? cos( x ? ②函数 y ?

?
4

) cos( x ?

?
4

) 的图象中,相邻两个对称中心的距离为 ? ;

x?3 的图象关于点 (?1,1) 对称; x ?1

③关于 x 的方程 ax 2 ? 2ax ? 1 ? 0 有且仅有一个实数根,则实数 a ? ?1 ; ④已知命题 p : ? x ? R ,都有 sin x ? 1 ,则 p 是: ? x ? R ,使得 sin x ? 1 .
?

其中真命题的序号是_______. 【答案】③ ④ 7 . 已 知 函 数 f ( x) 是 (??, ??) 上 的 增 函 数 , a, b ? R , 对 命 题 “ 若 a ? b ? 0 , 则

f ( a) ?

f ( b) ?

f?( a) ?

” f?( .b)

(1)写出否命题,判断其真假,并证明你的结论; (2)写出逆否命题,判断其真假,并证明你的结论. 【解析】 (1))否命题:已知函数 f ( x) 是 (??, ??) 上的增函数, a, b ? R ,对命题“若 a ? b ? 0 ,则

f ( a) ? f (b) ? f (? a) ? f (? b)”.
该命题是真命题,证明如下: ∵ a ? b ? 0 ,∴ a ? ?b, b ? ?a . 又∵ f ( x) 在 (??, ??) 上是增函数. ∴ f (a) ? f (?b), f (b) ? f (?a) , ∴ f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) , ∴否命题为真命题. (2) 逆 否 命 题 : 已 知 函 已 知 函 数 f ( x) 是 (??, ??) 上 的 增 函 数 , a, b ?

R, 若

f ( a) ?

f ( b) ?

f?( a) ?

, a f?( 则b) ? b ? 0 .

真命题,可证明原命题为真来证明它. ∵ a ? b ? 0 ,∴ a ? ?b, b ? ?a , ∵ f ( x) 在 (??, ??) 上是增函数. ∴ f (a) ? f (?b), f (b) ? f (?a) , ∴ f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) , 故原命题为真命题,所以逆否命题为真命题.

2

8.已知函数 f ( x) ? ax ? 2 x ? 1(a ? R) .
2

(1)若 f ( x) 的图象与 x 轴恰有一个公共点,求 a 的值; (2)若方程 f ( x) ? 0 至少有一正根,求 a 的范围.

1 , 0) ,满足题意. 2 当 a ? 0 时, ? ? 4 ? 4a ? 0 ,即 a ? 1 .∴ a ? 0 或 1 . (2)由(1)可知 a ? 0 .
【解析】 (1)当 a ? 0 时, f ( x) 图象与 x 轴恰有一个公共点 ( ? 当方程有实根时, ?

?a ? 0 ? a ? 1且 a ? 0 . ? ? ? 4 ? 4a ? 0

若 a ? 0 ,则由 x1 x2 ?

1 ?0, a

可知方程 f ( x) ? 0 有一正一负两根,此时满足题意.

2 ? ? x1 ? x2 ? ? a ? 0 ? 若 0 ? a ? 1,则 ? 时, ?x x ? 1 ? 0 ? 1 2 a ?
方程 f ( x) ? 0 有两负根,不满足题意. ∴ a 的范围是 a ? 0 .

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