2015届高三数学理第一轮总复习周周练素材五

2015 届高三数学(理)第一轮总复习周周练素材: (五) 班级:__________ 姓名:__________ 学号:__________

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一、选择题 1.曲线 f(x)=xln x 在点 x=1 处的切线方程为( ) A.y=2x+2 B.y=2x-2 C.y=x-1 C.y=x+1 3 3 2.二项式(ax- )3 的展开式的第二项的系数为- ,则?a-2x2dx 的值为( ) 6 2 ? 7 A.3 B. 3 7 10 C.3 或 D.3 或- 3 3 3.设 f ′(x)是函数 f(x)的导函数,y=f ′(x)的图象如图,则 y=f(x)的图象有可能是 )

π 4.函数 y=x+2cos x- 3在区间[0, ]上的最大值是( ) 2 π π A. B. 6 3 3 3 C. D. 6 3 ex e2 5.设函数 f(x)满足 x2f′(x)+2xf(x)= ,f(2)= ,则 x>0 时,f(x)( ) x 8 A.有极大值,无极小值 B.有极小值,无极大值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值 二、填空题 1 6. 函 数 f(x) = ln(x + 2) + 的 递 增 区 间 是 x ________________________________________________________________________. 7.已知函数 f(x)=x3+3mx2+nx+m2 在 x=-1 时有极值 0, 则 m=______, n=______. 8.抛物线 y=x2 在 A(1,1)处的切线与 y 轴及该抛物线所围成的图形面积为________. 1 9.若函数 f(x)=- x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上是减函数,则实数 b 的取值范围是 2 ______________. 10.如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB∥DC,且 AD=DC=2,则梯形 ABCD 的面积的

最大值是__________.

三、解答题 11.已知曲线 f(x)=x3+bx2+cx 在点 A(-1,f(-1)),B(3,f(3))处的切线互相平行,且 函数 f(x)的一个极值点为 x=0. (1)求实数 b,c 的值; 1 (2)若函数 y=f(x)(x∈[- ,3])的图象与直线 y=m 恰有三个交点,求实数 m 的取值范 2 围. 12.已知 P(x,y)为函数 y=1+ln x 图象上一点,O 为坐标原点,记直线 OP 的斜率 k= f(x). 1 (1)若函数 f(x)在区间(m,m+ )(m>0)上存在极值,求实数 m 的取值范围; 3 t (2)当 x≥1 时,不等式 f(x)≥ 恒成立,求实数 t 的取值范围. x+1

参考答案 1.C 切点(1,0),f′(x)=ln x+1,所以切线的斜率 k=f′(1)=1,故切线方程是 y=x -1. 2.C 二项式(ax- 所以- 33 3 ) 的展开式的第二项为- a2x2, 6 2

3 2 3 a =- ,解得 a=± 1. 2 2 1 3?- 7 -1 2 1 3?1 2 1 故 ? x dx=3x ?-1 2= 或 ? -2x dx=3x -2=3. 3 ? ? ?
-2

?

3.C 由 y=f′(x)图象可知:f′(0)=0,f′(2)=0. 当 x<0 时,f′(x)>0,f(x)递增; 当 0<x<2 时,f′(x)<0,f(x)递减; 当 x>2 时,f′(x)>0,f(x)递增,且 f(0)为极大值,f(2)为极小值,故选 C. π 4.A y′=1-2sin x,由 y′>0,得 0<x< ; 6 π π 由 y′<0,得 <x< , 6 2 π π π 所以 ymax= +2cos - 3= . 6 6 6 ex 2 2 5.D x f′(x)+2xf(x)=[x · f(x)]′= , x x e 所以当 x>0 时,[x2· f(x)]′= >0, x 2 令函数 g(x)=x · f(x),所以 g(x)在 x>0 时递增. e2 e2 由 f(2)= ,得 g(2)= . 8 2 g?x? 又 f(x)= 2 , x g′?x?· x2-g?x?· ?2x? 所以 f′(x)= x4 x· g′?x?-2g?x? = x3 x e -2g?x? = ,x>0. x3 2 令 h(x)=ex-2g(x),则 h′(x)=ex(1- ), x 故当 x∈(0,2)时,h′(x)<0;当 x∈(2,+∞)时,h′(x)>0, 故 h(x)在(0,+∞)上的最小值为 h(2)=e2-2g(2)=0. ex-2g?x? 所以 f′(x)= ≥0,故 f(x)在(0,+∞)单调递增. x3 所以当 x∈(0,+∞)时,f(x)既无极大值也无极小值.选 D. 6.(-2,-1),(2,+∞) 函数 f(x)的定义域是(-2,0)∪(0,+∞), 2 1 1 x -x-2 又 f′(x)= - 2= , x+2 x x2?x+2? 令 f′(x)>0,解得-2<x<-1 或 x>2, 所以函数的递增区间是(-2,-1),(2,+∞). 7.2 9 f′(x)=3x2+6mx+n, 由题意,f′(-1)=3-6m+n=0 且 f(-1)=-1+3m-n+m2=0, 解得 m=1,n=3 或 m=2,n=9, 但 m=1,n=3 时,f′(x)=3x2+6x+3≥0 恒成立, 即 x=-1 不是 f(x)的极值点,故 m=2,n=9.

1 切线为 y=2x-1,由定积分的几何意义得所求图形的面积为 3 S=?1[x2-(2x-1)]dx 8.

?0

1 3 2 1 = ?3x -x +x?? ?0 1 b = . 9.(-∞,-1] f′(x)=-x+ ≤0(x>-1)恒成立,即 b≤x(x+2)恒成立, 3 x+2 又 x(x+2)=(x+1)2-1>-1,所以 b≤-1.

π 设∠BAD=θ(0<θ<π 且 θ≠ ). 2 由 AD=DC=2, 则 AB=2+2×2cos θ=2+4cos θ, 10.3 3 梯形高 h=2sin θ, ?2+4cos θ+2?· 2sin θ 因此梯形面积 S(θ)= 2

=4sin θ+4sin θ·cos θ. 又 S′(θ)=4cos θ+4cos2θ-4sin2θ =4(2cos2θ+cos θ-1) π =4(2cos θ-1)(cos θ+1)(0<θ<π 且 θ≠ ), 2 1 π 令 S′(θ)=0,得 cos θ= ,所以 θ= , 2 3 π 故可知,当∠BAD= 时,梯形面积最大,其最大面积为 3 3. 3 11.解析:(1)f′(x)=3x2+2bx+c,依题意有 {f′?-1?=f′?3? ′?0?=0 ,即{3-2b+c=27+6b+ =0 , 所以 b=-3,c=0. (2)由(1)知 f(x)=x3-3x2,f′(x)=3x2-6x, 由 f′(x)>0,得 x<0 或 x>2, 由 f′(x)<0,得 0<x<2, 1 所以函数 f(x)在区间[- ,0),(2,3]上递增,在区间(0,2)上递减, 2 1 7 且 f(- )=- ,f(0)=0,f(2)=-4,f(3)=0. 2 8 因为函数 f(x)的图象与直线 y=m 恰有三个交点, 7 所以- ≤m<0, 8 7 所以实数 m 的取值范围为[- ,0). 8 1+ln x 12.解析:(1)由题意 k=f(x)= ,x>0, x 1+ln x ln x 所以 f′(x)=( )′=- 2 , x x

当 0<x<1 时,f′(x)>0; 当 x>1 时,f′(x)<0. 所以 f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减. 故 f(x)在 x=1 处取得极大值. 1 因为函数 f(x)在区间(m,m+ )(其中 m>0)上存在极值, 3 1 ? 2 + >1 ,得 <m<1. 所以? 3 3 ? 2 即实数 m 的取值范围是( ,1). 3 ?x+1??1+ln x? t (2)由 f(x)≥ 得 t≤ , x x+1 ?x+1??1+ln x? x-ln x 令 g(x)= ,则 g′(x)= , x x2 1 x-1 令 h(x)=x-ln x,则 h′(x)=1- = . x x 因为 x≥1,所以 h′(x)≥0,故 h(x)在[1,+∞)上单调递增, 所以 h(x)≥h(1)=1>0,从而 g(x)≥g(1)=2, 所以实数 t 的取值范围是(-∞,2].


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