2015年杭州市第二次高考科目教学质量检测高三数学检测试卷(理科)

2015 年杭州市第二次高考科目教学质量检测

高三数学检测试卷(理科)
考生须知: 1. 本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2. 答题前,在答题卷密封线内填写学校、班级和姓名. 3. 所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效. 4. 考试结束,只需上交答题卷.

选择题部分(共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.下列函数中,既是偶函数又在 (0, ??) 上单调递增的是( A. y ? )
x

x

B. y ? cos x

C. y ? 3 )

D. y ? ln x

2.命题“存在 x0 ? R, 2 x0 ? 0 ”的否定 是( .. A.不存在 x0 ? R, 2 x0 ? 0 C.对任意 x ? R, 2 x ? 0 3.设等比数列 ?a n ? 的各项均为正数,若 A. 24 2 C. 8 2 B. 8 D. 16

B.存在 x0 ? R, 2 x0 ? 0 D.对任意 x ? R, 2 x ? 0

a1 a2 2 2 a3 a4 4 4 ? ? ? , ? ? ? ,则 a1a5 ? ( 2 2 a1 a2 4 4 a3 a4
y

)

1 O -1 π
(第 4 题图) y y

2π 3π x

4.设函数 y ? sin ax ? b( a ? 0) 的图象如图所示,则函数 是( y ? log a ( x ? b) 的图象可能 ..
y y

)

1 O -1 1 2 3 x

1 O -1 1 2 3 x O -1

1 1 2 3 x

1 O -1 1 2 3 x

A.

B.

C.

D.

高三数理试·第 1 页(共 4 页)

5.设平行于 y 轴的直线分别与函数 y1 ? log 2 x 及 y2 ? log 2 x ? 2 的图象 y 交于 B , C 两点,点 A(m, n) 位于函数 y2 的图象上.若△ ABC 为正 三角形,则 m ? 2n ? ( A. 8 3 B. 12 ) C. 12 3 D. 15 O A

C

B
x (第 5 题图)

6. 已知 ABC - A 1 B 1 C 1 是所有棱长均相等的直三棱柱, M 是 B 1 C 1 的 中点,则下列命题正确是( )

A. 在棱 AB 上存在点 N,使 MN 与平面 ABC 所成的角为 45° B. 在棱 AA1 上存在点 N,使 MN 与平面 BCC1B1 所成的角为 45° C. 在棱 AC 上存在点 N,使 MN 与 AB1 平行 D. 在棱 BC 上存在点 N,使 MN 与 AB1 垂直 7.设 P 是双曲线 C :
??? ??? ???

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 右支上的任意一点,已知 A(a, b) 和 B(a, ?b) .若 a 2 b2
) D.

OP ? ? OA? ? OB (O 为坐标原点),则 ? 2 ? ? 2 的最小值为(
A.

1 ab 4

B.

1 4

C.

1 ab 2

1 2
)

8.设 f 0 ( x) ? x ? 10 , f n ( x) ? f n ?1 ( x) ? 1 ( n ? N*),则函数 y ? f10 ( x) 的零点个数为( A. 19 B. 20 C. 21 D. 22

非选择题部分(共 110 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,第 9 至 12 题每小题 6 分,第 13 至 15 题每题 4 分,共 36 分. 9 . 设 集 合 ( x, y ) ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 10 所 表 示 的 区 域 为 A,过原点 O 的直线 l 将 A 分成两部分. 当这两部分面积 4 相等时,直线 l 的方程为 最大时, 直线 l 的方程为 内的线段长为 . ;当这两部分面积之差 , 此时直线 l 落在区域 A
1 2 2 正视图 4 2 侧视图

?

?

10.若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体中最长的 1 棱长等于 ,体积等于 .
俯视图
(第 10 题图)

高三数理试·第 2 页(共 4 页)

11.设直线 l : y ? kx ? 1 经过抛物线 x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦点 F,则 p= 是抛物线及其准线上的点,若 MQ ? 2 QF ,则 MF = 12.设非负实数 x, y 满足 ?
??? ???

;已知 Q, M 分别 .

?3 x ? y ? 0 (m ? 0) ,则不等式所表示的区域的面积等于 ?x ? 3y ? m ? 0


(用 m 表示);若 z ? 2 x ? y 的最大值与最小值之和为 19,则实数 m=

13.在正四面体 ABCD 中,M 是 AB 的中点,N 是棱 CD 上的一个动点.若直线 MN 与 BD 所成 的角为α,则 cos α 的取值范围是
???
???


??? ???
??? ??? ???

14. 在△ABC 中, AB ? 3 , BC ? 5 , M 是 BC 的中点,AM ? ? MP ( ? ? R). 若 MP ?
???

AB

AB cos B

?

AC AC cos C
???

,则△ABC 的面积为



15 . 已 知 单 位 正 方 形 的 四 个 顶 点 A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1), D(0, 1), 从 A 点 向 边 CD 上 的 点

?3 P? , ?4

? 1 ? 发出一束光线,这束光线被正方形各边反射(入射角等于反射角),直到经过正方 ?


形某个顶点后射出,则这束光线在正方形内经过的路程长度为

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.(本题满分 15 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 c= 6,sin A - sin C = sin(A-B). (Ⅰ)若 b= 2 7 ,求△ABC 的面积; (Ⅱ)若 1≤a≤6,求 sin C 的取值范围.

17.(本题满分 15 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为等腰梯形,且满足 AB∥CD,AD=DC= ABCD. (Ⅰ)求证:平面 PBD⊥平面 PAD; (Ⅱ)若 PA=AB,求二面角 A-PD-C 的余弦值.

P

1 AB,PA⊥平面 2
D C

A
(第 17 题图) 高三数理试·第 3 页(共 4 页)

B

18.(本题满分 15 分)已知椭圆 C : 线 DF 的斜率为 3. (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率;

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F (?c, 0) ,点 D(0, b) ,直 a 2 b2

(Ⅱ)设过点 F 的直线交椭圆于 A,B 两点,过点作 P(?4c, 0) 与直线 AB 的倾斜角互补的 直线 l,交椭圆 C 于 M,N 两点,问: 是,说明理由.

FA ? FB PM ? PN

是否为定值,若是,求出此定值,若不

19 . ( 本 题 满 分 15 分 ) 数 列 ?an ? 与 ?bn ? 满 足 : ① a1 ? a ? 0, b1 ? b ? 0 ; ② 当 k ? 2 时 , 若 则 ak ? ak ?1 ,bk ? ak ?1 ? bk ?1 ? 0 ,

ak ?1 ? bk ?1 a ?b ; 若 ak ?1 ? bk ?1 ? 0 , 则 ak ? k ?1 k ?1 ,bk ? bk ?1 . 2 2

(Ⅰ)若 a ? ?1, b ? 1 ,求 a2 , b2 , a3 , b3 的值; (Ⅱ)设 S n ? (b1 ? a1 ) ? (b2 ? a2 ) ? ? ? (bn ? an ) ,求 S n (用 a , b 表示); (Ⅲ)若存在 n ? N*,对任意正整数 k,当 2 ? k ? n 时,恒有 bk ?1 ? bk ,求 n 的最大值(用 a , b 表示).

20.(本题满分 14 分)设 a ? 0, b ? 0 ,函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? a ? b. (Ⅰ)(ⅰ)求不等式 f ( x) ? f (1) 的解集; (ⅱ)若 f ( x) 在 [0, 1] 上的最大值为 b ? a ,求

b 的取值范围; a

(Ⅱ)当 x ? [0, m] 时,对任意的正实数 a, b ,不等式 f ( x) ? ( x ? 1) 2b ? a 恒成立,求实数 m 的最大值.

高三数理试·第 4 页(共 4 页)


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