2015秋高中数学 1.2函数的概念课件 (17)_图文

2.3

幂函数

请大家看如下问题.并将每个问题中的 y 表示成 x 的函数.

1. 2. 3. 4. 5.

如果张红购买了每千克 1 元的水果 x 千克,那么她需要支付 y= x __ 元; 2 x 如果正方形的边长为 x,那么正方形的面积 y= ___ ; 3 x 如果立方体的边长为 x,那么立方体的体积 y= ___ ; 如果一个正方形场地的面积为 x,那么这个正方形场地的边长 y=______ ; 如果某人以 x m3/s 的速度向蓄水池注入了体积为 1m3 的水, 那么他注水的时间 y= x -1 ___

思考: 1.以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型,你能发现几个解析 式结构上的共同特征吗? 2.根据我们学习的函数的概念,你能否判断它们能否构成函数?是 我们学习过得哪类函数 ?如果不是,你能否根据该函数的特征给 它起个恰当的名字?

幂函数的定义(形式定义): 一般地,形如 y ? x (? ? R) 的函数称为幂函数,其中 ? 是常数.
?

y ? x, y ? x , y ? x , y ? x , y ? x , y ? x
2 3

1 2

?1

?2

.

请同学们用描点法在平面直角坐标系中画出上述函数的图象:

总结函数性质,填写表格:

y ? x3
定义域 值域 奇偶性 单调性 定点

y ? x2

y?x

y?x

1 2

y ? x?1

y ? x ?2

性质总结如下:

? ?0
在(0,+∞)有定义,图象过点(1,1) ; 在 [0,??) 上是增函数 在 (0,??) 上是减函数 图象过原点

? ?0

在第一象限内,当 x 从右边趋向于 0 时,图象在 y 轴右方无限地 逼近 y 轴,当 x 趋于 ? ? 时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴.

例 1 . 比较下列两个代数式值的大小:

(1) 2.3 , 2.4 ; (2)( 2 ) , ( 3)

3 4

3 4

?

3 2

?

3 2

; (3)(a ? 1) , a ; (4)(2 ? a ) , 2 .
1.5 1.5 2

?

2 3

?

2 3

分析:观察所给的两个代数式,都是幂的形式.又因为幂指数相同,而底数不同,所以 想到要利用幂函数的性质解决此类问题.
(1)解:考察幂函数 y ? x ,因为 y ? x 在(0,+∞)上单调递增,而且 2.3<2.4, 所以
3 4 3 4

2.3 ? 2.4 .
以 下
? 3 2

3 4

3 4


? 3 2






? 2 3







(2)( 2 )

? ( 3)

; (3)(a ? 1)1.5 ? a1.5 ; (4)(2 ? a 2 )

?2 .

?

2 3

例 2.讨论函数 y ? x 的定义域、奇偶性,作出它的图像,并根据图像说明函数的单调性。
解:要使 y ? x ? 3 x 2 有意义,x 可以取任意实数, 故函数定义域为 R. ∵f(-x)= (? x) ? x =f(x) , ∴函数 y ? x 是偶函数; 0 0 其图象如右图所示.
2 3 2 3

2 3

2 3

2 3

2 3

x y?x

1 1

2 1.59

3 2.08

4 2.52

… …

幂函数 y ? x 在[0,+ ? )上单调递增,在(-∞,0)上单调递减. 思考与讨论 幂函数 y ? x (? ? R) ,当 ? ? 1,3,5,?, (正奇数)时,函数有哪些性质? (演示画板)定义域为 R,值域为 R,是奇函数,在(-∞,+∞)上是增函数. 当 ? ? 2,4,6,?, (正偶数)时,这类幂函数的性质和特点,留做同学们课下讨论.
?

例 3.证明幂函数 f(x)= x 在[0,+∞)上是增函数.
(学生先思考或讨论,再回答,教师根据实际,可以提示引导.即,证明函数的单调性一般用定义 法,有时利用复合函数的单调性.)

证明:任取 x1,x2∈[0,+∞),且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= x1 - x 2 =

( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) x1 ? x 2

=

x1 ? x2 x1 ? x2

,

因为 x1-x2<0,x1+x2>0,所以

x1 ? x2 x1 ? x2

<0.

所以 f(x1)<f(x2),即 f(x)= x 在[0,+∞)上是增函数.

点评:证明函数的单调性要严格按步骤和格式书写,利用作商的方法比较大小,f(x1)与 f(x2)的 符号要一致.

课堂巩固:
1.下列函数中,是幂函数的是( A.y=-x
1 2

) C.y=

B.y=3x

2

1 x

D.y=2

x

2.下列结论正确的是( ) A.幂函数的图象一定过(0,0)和 (1,1) α B.当α <0 时,幂函数 y=x 是减函数 α C.当α >0 时,幂函数 y=x 是增函数 2 D.函数 y=x 既是二次函数,也是幂函数

3.函数 y=x 的图象大致是 (

3 5

)

4.幂函数 y ? x 的单调递增区间是________. 5. a ? 1.2 , b ? 0.9 , c ? 1.1 的大小关系是________. 6.幂函数 f(x)=ax 求 a 和 m.
m 2 ?8 m

3 4

1 2

?

1 2

1 2

(m∈Z)的图象与 x 轴和 y 轴均无交点,并且图象关于原点对称,

答案:1. C ; 2. D ; 3. D ;4. ?0,??? ;5. a>b>c;6. a=1,m=1,3,5,7

课堂小结:

1.幂函数的概念以及它和指数函数表达式的区别. 2.常见幂函数的图象和性质. 3. 幂函数的性质的应用.

课后作业:
1. 课本第 79 页习题 2.3 2. 下列函数中,是幂函数的是( A.y=2x B.y=2x3 ) C.y=

1 x

D.y=2x

3.下列结论正确的是( ) A.幂函数的图象一定过原点 C.当 α>0 时,幂函数 y=xα 是增函数 4.下列函数中,在(-∞,0)是增函数的是( A.y=x3 B.y=x2

B.当 α<0 时,幂函数 y=xα 是减函数 D.函数 y=x2 既是二次函数,也是幂函数 )
3 2

1 C.y= x
1 2

D.y=x

5.已知某幂函数的图象经过点(2, 2 ),则这个函数的解析式为.

答案:2.C 3.D 4.A 5.y=x


相关文档

2015秋高中数学 1.2函数的概念课件 (7)
2015秋高中数学 1.2函数的概念课件 (13)
2015秋高中数学 1.2函数的概念课件 (2)
2015秋高中数学 1.2函数的概念课件 (12)
2015秋高中数学 1.2函数的概念课件 (21)
2015秋高中数学 1.2函数的概念课件 (16)
2015秋高中数学 1.2函数的概念课件 (1)
2015秋高中数学 1.2函数的概念课件 (15)
2015秋高中数学 1.2函数的概念课件 (18)
2015秋高中数学 1.2函数的概念课件 (22)
电脑版