必修5解三角形

1.已知在△ABC 中,AB=6,∠A=30°,∠B=120°,则△ABC 的面积 ( A.9 B.18 C.9 3 D.16

) .

2. 设 ?ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c , 若 a 是 b,c 的等差中项,

3 sin A ? 5 sin B ,则角 C ? ( )
(A) 60o (B) 120o (C) 135o (D) 150o

3.设 ?ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c ,若 a cos A ? b cos B ,则

?ABC 的形状为( )
(A)直角三角形 (C)等腰直角三角形 (B)等腰三角形 (D)等腰三角形或直角三角形

4. (本小题满分 12 分)设 ?ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且
1 a cos C ? c ? b . 2

(1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 3 ,求 ?ABC 的周长 l 的取值范围. 5. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A 为锐角,记角 A、 B、C 所对的边分别为 a、b、c ,设向量

m ? (cos A,sin A), n ? (cos A, ? sin A) ,且 m 与 n 的夹角为
(Ⅰ)计算 m ? n 的值并求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 7, c ? 3 ,求 ?ABC 的面积 S .

? . 3

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参考答案 1.C 【解析】 试题分析:∠A=30°,∠B=120°??C ? 30 ? BC ? 6 ? S ?

1 BC AB sin B ? 9 3 2

考点:解三角形 2.B 【解析】 试题分析:由 a 是 b, c 的等差中项得 2a ? b ? c ,由 3 sin A ? 5 sin B 得 3a ? 5b ,因此

5 7 ( b) 2 ? b 2 ? ( b) 2 a2 ? b2 ? c2 1 5 7 3 a ? b , c ? b , 所 以 cosC ? ? 3 ?? ,因此 5 3 3 2ab 2 2? b?b 3
C ?1 2 O 0 ,答案选 B.
考点:解三角形与等差数列的性质 3.D 【解析】 试题分析:由正弦定理可得 sin A cos A ? sin B cos B ,即 sin 2 A ? sin 2 B ,因为 A、B 为三 角形的内角,所以 2 A ? 2 B 或 2 A ? 2 B ? ? 即 A ? B 或 A ? B ? 考点:解三角形与倍角公式 4. (1) A ? 【解析】
1 试题分析: (1)利用正弦定理将条件中的边角满足的式子 a cos C ? c ? b 统一为角所满足的 2

?
2

,因此答案选 D.

2? ; (2)周长 l 的取值范围为 (6,3 ? 2 3] . 3

1 1 sin C ? sin B ,进一步三角恒等变形可得 sin C ? ? cos A sin C , 2 2 2? 1 从而可得 cos A ? ? ,即可知 A ? ; (2)利用正弦定理,可以建立周长 l 的目标函数关 3 2 a sin B b? ? 2 3 sin B, c ? 2 3 sin C 系 式 , 即 有 , 从 而 sin A
关系式 sin A cos C ?

l ? a ? b ? c ? 3 ? 2 3(sin B ? sin C)

? ? 3 ? 2 3(sin B ? sin( A ? B)) ,利用辅助角公式,可得 l ? 3 ? 2 3 sin( B ? ) ,从而利用 3 三角函数的性质可知 ?ABC 的周长 l 的取值范围. 1 1 试题解析: (1)由 a cos C ? c ? b 得 sin A cos C ? sin C ? sin B , 2 2 1 n As C s, i n∵ 又 ∵ siB ∴ n ? s iAn ?( C ? ) A s i n C?c o s A , cC o s s s ii C n? ? c o 2 siC n ? , 0

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∴ cos A ? ?

2? 1 , 又 ∵ A ? (0, ? ) , ∴ A ? ;( 2 ) 由 正 弦 定 理 得 : 3 2

b?

a sin B ? 2 3 sin B, c ? 2 3 sin C , sin A

l ? a ? b ? c ? 3 ? 2 3(sin B ? sin C) ? 3 ? 2 3(sin B ? sin(A ? B))
1 3 ? ? 3 ? 2 3 ( sin B ? cos B) ? 3 ? 2 3 sin(B ? ) 2 2 3
B?(
, ∵

A?

2? 3





?

0 ? ,B ? 3

?

) ? 3

? 2?

3



(

3

,

)

∴ sin( B ?

?
3

)?(

3 ,1] ,故 ?ABC 的周长 l 的取值范围为 (6,3 ? 2 3] . 2

考点:1.三角恒等变形;2.正弦定理;3.三角函数的性质.

? 5. (Ⅰ) m n ? cos 2 A , A ? (Ⅱ) 3
6
【解析】 试题分析: (Ⅰ)向量的数量积将两向量的坐标代入运算公式 m n ? m n cos ? 化简即可, 期间涉及到向量的坐标运算 x1 x2 ? y1 y2 , (Ⅱ)考察解三角形问题,首先由正弦定理

a c 1 ? 得到 C ,进而求得 B,代入三角形面积公式 S ? ac sin B sin A sin C 2
试题解析: (1)

m ? cos 2 A ? sin 2 A ? 1, n ? cos 2 A ? (? sin A) 2 ? 1,

? m ? n= m ? n ? cos

π 1 ? . 3 2

m ? n= cos2 A ? sin2 A ? cos 2 A ,
1 ? cos 2 A ? . 2

0? A?

π , 0 ? 2 A ? π, 2
6分
2 2 2 π , 及 a ? b ? c ? 2bc cos A , 6

? 2A ?

π π ,A? . 3 6

(2) (法一)

a ? 7, c ? 3 , A ?

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? 7 ? b2 ? 3 ? 3b , 即 b ? ?1 (舍去)或 b ? 4.
故S ?

1 bc sin A ? 3. 2

12 分

(法二)

a ? 7, c ? 3 , A ?
c sin A 3 . ? a 2 7

π a c ,及 ? , 6 sin A sin C

?sin C ?
a ? c,
?0 ? C ?

π 5 2 , cos C ? 1 ? sin A ? 2 2 7

π 1 3 2 sin B ? sin(π ? A ? C ) ? sin( ? C ) ? cos C ? sin C ? 6 2 2 7
?b ? a sin B ?4. sin A 1 bc sin A ? 3. 2
12 分

故S ?

考点:1.向量数量积运算;2.正弦定理

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