高中数学第四章数系的扩充与复数的引入41数系的扩充与复数的引入教案北师大选修1 2(数学教案)


4.1 数系的扩充与复数的引入 教学目标 (1)了解数的概念发展和数系扩充的过程,了解引进虚数单位 i 的必要性和作用,体 会数学发现和创造的过程,以及数学发生、发展的客观需求; (2)理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件. 教学重点,难点:复数的基本概念以及复数相等的充要条件. 教学过程 一.问题情境 1.情境: 1)数的概念的发展 从正整数扩充到整数,从整数扩充到有理数,从有理数扩充到实数,数的概念是不断发 展的,其发展的动力来自两个方面. ①解决实际问题的需要. 由于计数的需要产生了自然数; 为了刻画具有相反意义的量的需要产生了负数; 由于测 量等需要产生了分数;为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数(即无限不循环小 数). ②解方程的需要. 为了使方程 x ? 4 ? 0 有解, 就引进了负数, 数系扩充到了整数集; 为了使方程 3 x ? 2 ? 0 有解,就要引进分数,数系扩充到了有理数集;为了使方程 x 2 ? 2 有解,就要引进无理数, 数系扩充到了实数集. 引进无理数以后,我们已经能使方程 x 2 ? a (a ? 0) 永远有解.但是,这并没有彻底解 决问题,当 a ? 0 时,方程 x 2 ? a 在实数范围内无解.为了使方程 x 2 ? a (a ? 0) 有解,就 必须把实数概念进一步扩大,这就必须引进新的数.(可以以分解因式: x 4 2.问题:实数集应怎样扩充呢? 二.建构数学 1.为了使方程 x 2 ? a (a ? 0) 有解,使实数的开方运算总可以实施,实数集的扩充就 从引入平方等于 ?1 的“新数”开始. 1 ? 4 为例) 为此,我们引入一个新数 i ,叫做虚数单位.并作如下规定: ① i 2 ? ?1 ; ②实数可以与 i 进行四则运算,进行四则运算时,原有的加法、乘法运算律仍然成立. 在这种规定下,i 可以与实数 b 相乘,再同实数 a 相加得 i ? b ? a .由于满足乘法交换律 和加法交换律,上述结果可以写成 a ? bi ( a , b ? R )的形式. 2.复数概念及复数集 C 形如 a ? bi ( a , b ? R )的数叫做复数.全体复数构成的集合叫做复数集,一般用字母 C 来表示,即 C ? z z ? a ? bi , a, b ? R .显然有 N* 3.复数的有关概念 1) 复数的表示:通常用字母 z 表示,即 z ? a ? bi ( a , b ? R ),其中 a , b 分别叫做复数 的实部与虚部; 2)虚数和纯虚数 ①复数 z ? a ? bi ( a , b ? R ),当 b ? 0 时, z 就是实数 a . ②复数 z ? a ? bi ( a , b ? R ),当 b ? 0 时, z 叫做虚数. 特别的,当 a ? 0 , b ? 0 时, z ? bi 叫做纯虚数. 3)复数集的分类 分类要求不重复、 不遗漏, 同一级分类标准要统一. 根据上述原则, 复数集的分类如下: ? ? N Z Q R C. 4)两复数相等 如果两个复数 a ? bi 与 c ? di ( a, b, c, d ? R )的实部与虚部分别相等,我们就说这两 个复数相等.即 a ? bi ? c ? di ? ? ?a ? c ,(复数相等的充要条件), ?b ? d 2 特别地: a ? bi ? 0 ? ? ?a ? 0 (复数为 0 的充要条件). ?b ? 0 复数相等的充要条件,提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径.

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