2015届高三数学体艺午间小练及答案:解三角形与立体几何(12)

高三体艺午间小练:解三角形与立体几何(12)
cos C 3a ? c ? . cos B b

1.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c 且 (1)求 sin B ; (2)若 b ? 4 2, a ? c ,求 ?ABC 的面积.

2. 如图, 已知四边形 ABCD 和 BCEG 均为直角梯形, AD∥BC,CE∥BG, 且 ?B C D ? ? B C E 平面 ABCD⊥平面 BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2.

?

?
2



试卷第 1 页,总 2 页

(1)求证: EC⊥CD ; (2)求证:AG∥平面 BDE; (3)求:几何体 EG-ABCD 的体积.

试卷第 2 页,总 2 页

参考答案 1.(1) sin B ? 【解析】 试 题 分 析 : (1) 利 用 正 弦 定 理 得 到

2 2 ;(2) S?ABC ? 8 2 . 3

cos C 3 sin A ? sin C ? ,然后化简得到 cos B sin B

sin A ? 3s i n Ac o s B , 从 而 求 出 cos B ?

1 , 再 由 同 角三 角 函 数 的 基 本关 系 式可 求 出 3

sin B ?

a 2 ? c2 ? b2 1 2 2 ;(2)由余弦定理得 cos B ? ,结合 b ? 4 2, a ? c, cos B ? ,求 3 2ac 3

1 1 ac sin B ? c 2 sin B 得到三角形的面积. 2 2 a sin A c sin C , ? 试题解析:(1)在 ?ABC 中,由正弦定理可得 ? b sin B b sin B cos C 3 sin A ? sin C cos C 3a ? c ? ? 又因为 ,所以 cos B sin B cos B b
出 c 的值,利用三角形的面积计算公式 S ?ABC ? 即 sin B cos C ? cos B sin C ? 3 sin A cos B ∴ sin(B ? C ) ? 3 sin B cosC 又

B ? C ? ? ? A ,所以 sin( B ? C ) ? sin A

∴ sin A ? 3 sin A cos B ,又因为 sin A ? 0 ∴ cos B ?

1 ,又因为 0 ? B ? ? 3

? sin B ? 1 ? cos2 B ? 1 ?

1 2 2 ? 9 3

(2)由余弦定理得 cos B ? 又 a ? c ,故 ∴ S ?ABC

a 2 ? c2 ? b2 1 2 2 2 ,将 b ? 4 2, cos B ? 代入得 a ? c ? ac ? 32 3 3 2ac

4 2 c ? 32 ? c 2 ? 24 3 1 1 ? ac sin B ? c 2 sin B ? 8 2 . 2 2

考点:1.正弦定理;2.余弦定理;3.同角三角函数的基本关系式;4.三角形的面积计算公式. 2.(1)证明过程详见解析;(2)证明过程详见解析;(3)

7 3

3

【解析】 试题分析: (1)要证 EC ? CD ,只要证 EC ? 平面 ABCD ;而由题设平面 ABCD ? 平 面 BCEG 且 EC ? BC ,所以 EC ? 平面 ABCD ,结论得证; (2)过 G 作 GN⊥CE 交 BE 于 M,连 DM,由题设可证四边形 ADHG 为平行四边形,所 以有 AG / / DE 从而由直线与平面平行的判定定理,可证 AG∥平面 BDE; (3)欲求几何体 EG-ABCD 的体积,可先将该几何体分成一个四棱锥 E ? ABCD 和三棱锥

A ? BEG .
试题解析:

(1)证明:由平面 ABCD⊥平面 BCEG, 平面 ABCD∩平面 BCEG=BC,
CE ? BC , CE ? 平面 BCEG,

? EC⊥平面 ABCD,3 分
又 CD ? 平面 BCDA, 故 EC⊥CD4 分 (2) 证明: 在平面 BCDG 中, 过 G 作 GN⊥CE 交 BE 于 M, 连 DM, 则由已知知; MG=MN,

MN∥BC∥DA,且 MN ? AD ? BC

1 2

? MG∥AD,MG=AD, 故四边形 ADMG 为平行四边形, ? AG∥DM6 分
∵DM ? 平面 BDE,AG ? 平面 BDE, ? AG∥平面 BDE8 分

4

1 1 (3)解: VEG ? ABCD ? VD ? BCEG ? VG ? ABD ? SBCEG ? DC ? S?ABD ? BG 3 3
1 2 ?1 1 1 7 12 分 ? ? ? 2 ? 2 ? ? ?1? 2 ?1 ? 3 2 3 2 3

10 分

考点:1、直线与平面垂直、平行的判定与性质;2、空间几何体的体积.

5


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