最新-高中数学《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》学案1 新人教A版必修4 精品


3.1.1两角和与差的正弦,余弦和正切公式 (导学案) 学习目标 1、知识目标:两角和与差的正弦,余弦和正切公式 2、能力目标:会用两角和与差的正弦,余弦和正切公式解决一些简 单的问题 学习过程 一、复习准备: 1.三角函数的定义:设α 是任意角,它的终 边与单位圆交于点P(x,y), 那么: ?y, ? x , tan? ? 2.诱导公式:奇变偶不变,符号看象限。 如: cos(2k? ? ? ) ? , cos(90o ? ? ) ? , y p o ? x 值,就可以求得 cos(? ? ? ) 的值。 若令 ? ? ? ? ? ,则有: 化简的:tan(? ? ? ) ? cos? ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 即一个任意角的余弦可以表示为两个角的差的余弦, 然后利用差角公 式,可求此任意角的余弦值。 C(? ?? ) 的作用: 2、和角的余弦公式推导: o 例如:求 cos15 , cos(? ? ? ) 的值, ( ( ( ( 同法可得:tan(? ? ? ) ? ) ( ) ) ( ) 公式, 简记为 公式, 简记为 ) ) 记忆口诀: 思考5:通过上面的一系列推导,我们不难发现,这六个和与差的三 角函数公式之间具有非常紧密的逻辑联系, 这种联系可以用框图的形 式表示出来,请根据下面框图中的提示,完善此框图。 , cos(?? ) ? 3.向量的数量积: sin(?? ) ? (坐标形式) ?? a? b? 二、问题设置: ?? ; (模长形式) a? b? ? ? 30o , ? ? ? ? ? ? 解: cos15o ? cos( ? 30o ) ? ? ? cos(? ? ? ) ? cos[? ? ]? 化简得: cos(? ? ? ) ? 分析: 15 = o C(? ?? ) C(? ?? ) ( o o o 公 四.知识巩固: 例题 1、利用和差角公式,计算下列各式的值: (1) sin 72 cos 42 ? cos 72 sin 42 o o o o o o o o 式,简记为 ? ) (3) tan15 (4) o , 我们在初中的时候,就已经知道 tan 45 ? 1 tan 30 ? (45 ? 30 )=? 由此,我们能否得出 tan15 ? tan ? ? ? 3 , 3 3 ? ? 大家可以猜想,是不是等于 tan 45 ? tan 30 ? 1呢? 3 三、知识探究: 1、差角的余弦公式推导: 如图所示,任意角α 的终边OP与单位 圆相交于点P, 根据三角函数的定义可知, 点 P的坐标是 (用α 表示) ,同样的,任 意角β 的终边OQ与单位圆相交于点Q, 根据三 角函数的定义,点Q的坐标是 (用β 表 示) , 故向量 OP ? ? 终边 y p o ? 终边 Q x 105 , 165 等是否也可用 思考1:15 是否可以看做其它角的差? 75 , 类似方法求余弦值? 思考2:观察余弦的和角公式与差角公式的特点,你能编一句口诀加 以记忆吗?(提示:从公式的结构特点,函数名称,以及符号的变化 等方面进行思考归纳) 记忆口诀: 3、和差角的正弦公式推导: 思考3:由诱导公式 cos(90 ? ? ) ? sin ? 可知,余弦与正弦之间可以 o o cos 70 ? sin 20 ? sin 70 (2) cos 20 ? 例题 2、证明: cos(90 ? ? ) ? ?sin? o

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