最新-高中数学《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》学案1 新人教A版必修4 精品

3.1.1两角和与差的正弦,余弦和正切公式 (导学案) 学习目标 1、知识目标:两角和与差的正弦,余弦和正切公式 2、能力目标:会用两角和与差的正弦,余弦和正切公式解决一些简 单的问题 学习过程 一、复习准备: 1.三角函数的定义:设α 是任意角,它的终 边与单位圆交于点P(x,y), 那么: ?y, ? x , tan? ? 2.诱导公式:奇变偶不变,符号看象限。 如: cos(2k? ? ? ) ? , cos(90o ? ? ) ? , y p o ? x 值,就可以求得 cos(? ? ? ) 的值。 若令 ? ? ? ? ? ,则有: 化简的:tan(? ? ? ) ? cos? ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 即一个任意角的余弦可以表示为两个角的差的余弦, 然后利用差角公 式,可求此任意角的余弦值。 C(? ?? ) 的作用: 2、和角的余弦公式推导: o 例如:求 cos15 , cos(? ? ? ) 的值, ( ( ( ( 同法可得:tan(? ? ? ) ? ) ( ) ) ( ) 公式, 简记为 公式, 简记为 ) ) 记忆口诀: 思考5:通过上面的一系列推导,我们不难发现,这六个和与差的三 角函数公式之间具有非常紧密的逻辑联系, 这种联系可以用框图的形 式表示出来,请根据下面框图中的提示,完善此框图。 , cos(?? ) ? 3.向量的数量积: sin(?? ) ? (坐标形式) ?? a? b? 二、问题设置: ?? ; (模长形式) a? b? ? ? 30o , ? ? ? ? ? ? 解: cos15o ? cos( ? 30o ) ? ? ? cos(? ? ? ) ? cos[? ? ]? 化简得: cos(? ? ? ) ? 分析: 15 = o C(? ?? ) C(? ?? ) ( o o o 公 四.知识巩固: 例题 1、利用和差角公式,计算下列各式的值: (1) sin 72 cos 42 ? cos 72 sin 42 o o o o o o o o 式,简记为 ? ) (3) tan15 (4) o , 我们在初中的时候,就已经知道 tan 45 ? 1 tan 30 ? (45 ? 30 )=? 由此,我们能否得出 tan15 ? tan ? ? ? 3 , 3 3 ? ? 大家可以猜想,是不是等于 tan 45 ? tan 30 ? 1呢? 3 三、知识探究: 1、差角的余弦公式推导: 如图所示,任意角α 的终边OP与单位 圆相交于点P, 根据三角函数的定义可知, 点 P的坐标是 (用α 表示) ,同样的,任 意角β 的终边OQ与单位圆相交于点Q, 根据三 角函数的定义,点Q的坐标是 (用β 表 示) , 故向量 OP ? ? 终边 y p o ? 终边 Q x 105 , 165 等是否也可用 思考1:15 是否可以看做其它角的差? 75 , 类似方法求余弦值? 思考2:观察余弦的和角公式与差角公式的特点,你能编一句口诀加 以记忆吗?(提示:从公式的结构特点,函数名称,以及符号的变化 等方面进行思考归纳) 记忆口诀: 3、和差角的正弦公式推导: 思考3:由诱导公式 cos(90 ? ? ) ? sin ? 可知,余弦与正弦之间可以 o o cos 70 ? sin 20 ? sin 70 (2) cos 20 ? 例题 2、证明: cos(90 ? ? ) ? ?sin? o 1 ? tan15o 1 ? tan15o ( ,?), 求 cos ( 例题 3、已知 cos ? ? ? ,? ? 2 五.课时小结: 3 5 ? ? 4 ? ?)的值。 相互转化,那么, sin(? ? ? ) 可以转化为 , ??? ? (填坐标) , OP, OQ 的夹角为 向量的数量积可知: ??? ? ???? ,OQ ? ??? ? , | OP |? ??? ? ???? , | OQ |? ,由 ??? ? ??? ? ①(模长形式) OP? OQ ? ? ??? ? ??? ? ②(坐标形式) OP? OQ ? 由①②可得 cos ?POQ ? ③ 又∵ ? ? ? ? 2k? ? ?POQ (思考:为什么有这个等式) ∴ cos(? ? ? ) ? cos(2k? ? ?POQ) ? ④ 由③④可得: cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ( C(? ?? ) ) 此公式给出了任意角α ,β 的正弦,余弦值与其差角 ? ? ? 的余弦值 之间的关系。称之为差角的余弦公式。简记为 C(? ?? ) 显然,有了公式 C(? ?? ) 以后,我们只要知道 的 即: sin(? ? ? ) ? 思考4:对此转化结果,若用余弦的差角公式展开化简,可以得到怎 样的结果? 答: ( 公式,简记为 ) 同样的,我们也可以对 sin(? ? ? ) 做类似的转化, 最终得出: ( 公式,简记为 ) 记忆口诀: 4、和差角的正切公式推导: 思考6:由正切函数与正弦,余弦函数的关系可知: 学习评价 自我评价: 通过本节课的学习,你认为自己完成学习目标的情况( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 自我检测: 1、 求值: (1) sin 72 cos18 ? cos 72 sin18 o o o o o o ) 。 o o (2) sin15 (4) o tan12o ? tan 33o 1 ? tan 33o tan12o 12 ? 2、已知 sin ? ? ? , α 是第三象限角,求 sin( ? ?) 的值 13 4 (3) sin 34 sin 26 ? cos34 cos 26 思考提高 化简: (1) cos ? - sin(? ? ? ) cos(

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