2017-2018学年人教A版必修一 1.3.2 奇偶性 第1课时 函数奇偶性的概念 课件(34张)_图文

1.3.2 奇偶性 第1课时 函数奇偶性的概念 故宫殿堂建筑整齐对称,相映成趣, 给人以稳重、博大、 端庄的感觉!数学上有对称的函数图象吗?它们体现了 函数的什么性质?一起让我们来学习这个性质吧! 1.理解函数的奇偶性的含义.(难点) 2.掌握判断函数的奇偶性的方法.(重点、难点) 3.了解奇函数、偶函数的图象的对称性. 探究点1 偶函数的定义 已知函数f(x)=x2,求f(0),f(-1),f(1), f(-2), f(2),及f(-x) ,并画出它的图象. 解: f(0)=0,f(-1)=(-1)?=1,f(1)=1, f(-2)=(-2)?=4, f(2)=4 f(-1)=f(1),f(-2)=f(2) f(-x)=(-x)?=x? f(-x)=f(x) (-x,y) f(-x) y ( x,y) f(x) x -x o x 思考:函数图象上横坐标互为相反数的点的纵坐标 有什么关系? 函数图象关于y轴对称; 对定义域内任意的自变 量x都有 f (? x) ? f ( x) 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任 意一个x,都有f(-x)=f(x) ,那么函数f(x)就 叫做偶函数. 例如,下图: 对定义域内 任意的自变 量x都有 f (? x) ? f ( x) 思考:对于定义在R上的函数f(x),若f(-3)=f(3), 则函数f(x)一定是偶函数吗? 提示:不一定,仅有f(-3)=f(3)不足以确定函数的 奇偶性,不满足定义中的“任意”,故不一定是偶函 数. 探究点2 奇函数的定义 已知f(x)=x?, 求f(0),f(-1),f(1), f(-2),f(2)及f(-x),并画出它的图象. 解: f(0)=0,f(-1)=(-1)? =-1,f(1)=1, f(-2)=(-2)? =-8,f(2)=8. f(-1)= - f(1) -x f(-x) y f(x) f(-2)= - f(2) f(-x)=(-x)? =-x? f(-x)= - f(x) o x x 思考:奇函数中,函数图象上横坐标互为相反数的 点的纵坐标有什么关系? 提示:如图,f(-x)=-x3=-f(x),即横坐标互为相 反数的点的纵坐标互为相反数. y f(x) -x f(-x) o x x 一般地,如果对于函数 f(x) 的定义域内任意 一个x,都有 f(-x)=-f(x) ,那么函数 f(x)就叫做 奇函数. 即时训练: 根据图象判断下列函数哪个是偶函数,哪个 是奇函数? 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 【总结提升】奇函数与偶函数定义中的三性 (1)对称性:奇、偶函数的定义域关于原点对称; (2)整体性:奇偶性是函数的整体性质,是对定义域 内的每一个x都成立的; (3)可逆性:f(-x)=-f(x)?f(x)是奇函数,f(-x)= f(x)?f(x)是偶函数. 判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数f(x)=x2的图象关于y轴对称.( √ ) (2)若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0.( √ ) (3)如果一个函数的图象关于原点对称,则有 f(x)-f(-x)=0. ( × ) 提示:(1)正确.因为函数f(x)=x2是偶函数,故图象关于y轴对 称. (2)正确.因为f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),即 f(-0)=f(0)=-f(0),所以f(0)=0. (3)错误.因为函数的图象关于原点对称,则该函数是奇函数, 故f(-x)=-f(x),则有f(x)+f(-x)=0. 例.判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? x4 ; (3 ) f ( x ) ? x ? 1 ; x (2) f ( x) ? x5 ; x3 - x2 ( 4 ) f (x )= . x- 1 分析:只要按照函数奇偶性的定义,检验各个 函数是否符合即可. 解:(1)对于函数f(x)=x4,其定义域是 (??, ??) . 因为对定义域内的每一个x,都有 f (? x) ? (? x) ? x ? f ( x), 4 4 所以,函数f(x)=x4为偶函数。 (2)对于函数f(x)=x5,其定义域为 (??, ??) . 因为对定义域内的每一个x,都有 f (? x) ? (? x)5 ? ? x5 ? ? f ( x), 所以,函数f(x)=x5为奇函数. 1 ,其定义域是{x|x≠0}. x 因为对于定义域内的每一个x,都有 (3)对于函数 f ( x) ? x ? 1 1 f (? x) ? ? x ? ? ?( x ? ) ? ? f ( x), ?x x 所以,函数 f ( x) ? x ? 1 为奇函数. x (4)函数 f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点 对称,故函数 f(x)不具有奇偶性. 【变式练习】 (1)判断函数 f ( x) ? 1 x3 ? 5 x 的奇偶性. 3 1 3 (2)如图是函数 f ( x) ? x3 ? 5 x 图象的一部分,如何 画出函数在整个定义域上的图象? 1 3 解:(1)对于函数 f ( x) ? x ? 5 x ,其定义域 3 是 (??, ??) .由于对定义域内的任意x,都有 1 1 3 3 f (? x) ? (? x) ? 5(? x) ? ? x ? 5 x ? ? f ( x) 3 3 所以,函数f(x)是奇函数. (2)由于奇函数的图象关于 坐标原点对称,只要在函数 图象上找点作出这些点关于 坐标原点的对称点,描点即 可作出函数在整个定义域上 的图象.如图 【总结提升】 用函数奇偶性的定义判断函数奇偶性的一般步骤是: (1)先求函数的定义域,由于在函数奇偶性的定义中都是 x和-x对应出现,故具备奇偶性的函数的定义域区间一定关 于坐标原点对称,如果求

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