北京市东城区2016届高三一模数学文试卷 Word版含解析

北京市东城区 2015-2016 学年度第二学期高三综合练习(一) 数学 (文科)
本试卷共 5 页,共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷 上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题
目要求的一项)

共 40 分)

一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题

2 (1)若集合 A ? { x ? R x ? 3 x} , B ? {x ?1 ? x ? 2} ,则 A ? B ?

(A) {x ?1 ? x ? 0} (C) {x 0 ? x ? 2} 【知识点】集合的运算 【试题解析】因为 所以, 故答案为:B 【答案】B

(B) {x ?1 ? x ? 3} (D) {x 0 ? x ? 3}



(2)已知直线 ax ? 3 y ? 1 ? 0 与直线 3x ? y +2=0 互相垂直,则 a ? (A) ?3 (C) 1 【知识点】两条直线的位置关系 【试题解析】因为直线 所以, 故答案为:C 【答案】C (3)已知 a ? log4 6 , b ? log4 0.2 , c ? log2 3 ,则三个数的大小关系是 (A) c ? a ? b (C) a ? b ? c 【知识点】对数与对数函数 【试题解析】因为 所以, 故答案为:A 【答案】A (B) a ? c ? b (D) b ? c ? a 与直线 (B) ?1 (D) 3

互相垂直,

? x ? 0, ? (4)若 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0, 则 u ? 2 x ? y 的最大值为 ? 2 x ? y ? 3 ? 0, ?
(A) 3 (C) 2 【知识点】线性规划 【试题解析】因为可行域如图, 在 AC 上任何一点取得最大值 3. (B) (D)

5 2 3 2

故答案为:A 【答案】A (5) 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 1 ? 5 ? 9 ?13 ?17 ? 21 ? ?? (?1)n?1 (4n ? 3) , 则 S11 ? (A) ?21 (C) 19 【知识点】数列的求和 【试题解析】因为 故答案为:D 【答案】D ( 6 ) 在 △ ABC 中 , 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a , b , c , 则 “ a ? b ” 是 “ a cos B ? b cos A ”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 (B) ?19 (D) 21

【知识点】充分条件与必要条件 【试题解析】因为

所以,是充分必要条件 故答案为:C 【答案】C

(7)右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著 《九章算术》中的“更相减损术”. 执 行该程序框图,若输入 a , b , i 的值分别为 6 , 8 , 0 ,则输 出 a 和 i 的值分别为 (A) 0 , 3 (C) 2 , 3 (B) 0 , 4 (D) 2 , 4

【知识点】算法和程序框图 【试题解析】因为

输出 故答案为:D 【答案】D



(8)函数 f ( x ) 的定义域为 ? ?1,1? ,图象如图 1 所示;函数 g ( x ) 的定义域为 ? ?1, 2? ,图象

g( x )) ? 0 如图 2 所示.若集合 A ? x f (
为 y 1

?

? , B ? ? x g ( f ( x)) ? 0? ,则 A ? B 中元素的个数
y 1

-1

O -1
图1

1

x

-1

O

1

2

x

图2

(A) 1 (C) 3 【知识点】函数图象函数及其表示 【试题解析】因为 即 所以, 故答案为:C 【答案】C 中元素的个数为 3 即

(B) 2 (D) 4



第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)若复数 (2 ? ai)2 ? a ? R? 是实数,则 a ? 【知识点】复数综合运算 【试题解析】因为 =

共 110 分)



为实数,

故答案为:0 【答案】0 (10)以抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为圆心且过坐标原点的圆的方程为 【知识点】抛物线 【试题解析】因为抛物线 所以,圆的方程为 故答案为: 【答案】 (11)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 是上底面 A1B1C1D1 内一动点,则三棱锥 P-ABC 的正(主)视图与侧(左)视图的面积的比值为 . 的焦点为 ,又过原点, .

【知识点】空间几何体的三视图与直观图 【试题解析】因为正(主)视图与侧(左)视图对应的两个三角形等底等高, 所以,面积相等,故面积的比值为 1 故答案为:1 【答案】1

?a( x ? 1)2 ? 1, x ? 0, (12)已知函数 f ( x) ? ? 2? x , x ? 0. ?
①若 f ( f (?1)) ? 0 ,则实数 a ? ; ②在①的条件下,若直线 y ? m 与 y ? f ( x) 的图象有且只有一个交点,则实数 m 的 取值范围是 .

【知识点】函数图象分段函数,抽象函数与复合函数 【试题解析】因为





由图可知 故答案为:① -1;② 【答案】① -1;② (13)如图,在矩形 OABC 中,点 E , F 分别在线段 AB , BC 上,且满足 AB ? 3 AE ,

BC ? 3CF



若 .

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? O ? B? O? ? E ( ,O ? RF ? ?, ) 则 C

F

B E

? +? ?

O

A

【知识点】平面向量基本定理 【试题解析】因为 .

故答案为: 【答案】

(14)每年的三月十二号是植树节,某学校组织高中 65 个学生及其父母以家庭为单位参加 “种一棵小树,绿一方净土”的义务植树活动.活动将 65 个家庭分成 A, B 两组, A 组负责种植 150 棵银杏树苗, B 组负责种植 160 棵紫薇树苗.根据往年的统计,每个 家庭种植一棵银杏树苗用时

3 2 h ,种植一棵紫薇树苗用时 h .假定 A, B 两组同时开 5 5
,此时活动持续

始种植,若使植树活动持续时间最短,则 A 组的家庭数为 的时间为

h.

【知识点】函数模型及其应用 【试题解析】因为由已知得 所以, 故答案为: 【答案】 ,得

三、解答题(共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) (15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 2 cos x .
2

? 6

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [0 ,

? ] 上的最大值和最小值. 2

【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合 【试题解析】(Ⅰ)

. 所以 的最小正周期 . . 取得最大值 ;

(Ⅱ)因为 于是当

时,所以 ,即 时,

当 【答案】见解析

,即

时,

取得最小值



(16) (本小题共 13 分) 已知公差为正数的等差数列 {an } 满足 a1 ? 1 , 2a1 , a3 ? 1, a4 ? 1 成等比数列. (Ⅰ) 求 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 若 a2 , a5 分别是等比数列 ?bn ? 的第 1 项和第 2 项,求使数列 {

1 } 的前 n 项和 bn

Tn ?

99 的最大正整数 n . 200

【知识点】公式法,分组求和等比数列等差数列 【试题解析】(Ⅰ)设数列 由已知可得 整理得 所以 的通项公式为 , ,解得 , 的公差为 ,即 (舍去)或 . ,所以等比数列 的公比 . . , ,

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知

于是

是以

为首项,以

为公比的等比数列.

所以





,得

,即 .



则满足不等式的最大正整数 【答案】见解析

(17) (本小题共 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是菱形,点 O 是 对角线 AC 与 BD 的交点, AB ? 2 , ?BAD ? 60? , M 是 PD 的中点. (Ⅰ)求证: OM ∥平面 PAB ; (Ⅱ)平面 PBD ? 平面 PAC ; (Ⅲ)当三棱锥 C ? PBD 的体积等于

3 时,求 PA 的长. 2

【知识点】立体几何综合 【试题解析】证明: (Ⅰ)因为在△ 中, , 分别是 中点, 所以 ∥ 又 平面 , 平面 , 所以 ∥平面 . (Ⅱ)因为底面 是菱形, 所以 . 因为 平面 , 平面 , 所以 .又 , 所以 平面 . 又 平面 , 所以平面 平面 . (Ⅲ)因为底面 所以 又 . ,三棱锥 的高为 , 是菱形,且 ,







所以



解得



甲组

乙组

9

8
4

0
1 2

8
2 1

【答案】见解析 (18) (本小题共 13 分)

x
1

6
1

8

“爱心包裹” 是中国扶贫基金会依托中国邮政发起的一项 全民公益活动,社会各界爱心人士只需通过中国邮政网点捐 购统一的爱心包裹,就可以一对一地将自己的关爱送给需要

0

帮助的人.某高校青年志愿者协会响应号召,组织大一学生作为志愿者,开展一次爱心包 裹劝募活动.将派出的志愿者分成甲、乙两个小组,分别在两个不同的场地进行劝募,每 个小组各 6 人.爱心人士每捐购一个爱心包裹,志愿者就将送出一个钥匙扣作为纪念.以 下茎叶图记录了这两个小组成员某天劝募包裹时送出钥匙扣的个数,且图中甲组的一个数 据模糊不清,用 x 表示.已知甲组送出钥匙扣的平均数比乙组的平均数少 1 个.

(Ⅰ) 求图中 x 的值; (Ⅱ) “爱心包裹”分为价值 100 元的学习包,和价值 200 元的“学习+生活”包,在乙组劝 募的爱心包裹中 100 元和 200 元的比例为 3 :1 ,若乙组送出的钥匙扣的个数即为爱心 包裹的个数,求乙组全体成员劝募的爱心包裹的价值总额; (Ⅲ)在甲组中任选 2 位志愿者,求他们送出的钥匙扣个数都多于乙组的平均数的概率. 【知识点】概率综合 【试题解析】(Ⅰ)由茎叶图可知乙组送出钥匙扣的平均数为 则甲组的送出钥匙扣的平均数为 由 (Ⅱ) 乙组送出钥匙扣的个数为 . ,解得 . ,按照 的比例,价值 .

,即劝募的总包裹数为

元的包裹有 个,价值 元的包裹有 个, 故所求爱心包裹的总价值 元. (Ⅲ)乙组送出钥匙扣的平均数为 个.甲组送出钥匙扣的个数分别 . 若 从 甲 组 中 任 取 两 个 数 字 , 所 有 的 基 本 事 件 为 : , ,共 其中符合条件的基本事件有 故所求概率为 【答案】见解析 . 个基本事件. ,

,共 个基本事件,

(19) (本小题共 13 分) 已知 F1 (?1 , 0) 和 F2 (1 , 0) 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点,且点 a 2 b2

3 P (1 , ) 在椭圆 C 上. 2 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ)直线 l : y ? kx ? m (m ? 0) 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,且与 x 轴和 y 轴分别交于 点 M , N ,当 △OMN 面积取最小值时,求此时直线 l 的方程. 【知识点】椭圆 【试题解析】(Ⅰ)依题意, ,又 ,故 .

所以



故所求椭圆

的方程为



(Ⅱ)由







由直线 与椭圆

仅有一个公共点知, ,整理得 .

由条件可得







所以







代入①得



因为 等号成立,

,所以

,当且仅当

, 即



有最小值 因为

. ,所以 ,又 ,解得 .

故 所求直线方程为 【答案】见解析





(20) (本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x , a ? R .
2

(Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值;

(Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [1, ??) 上的最小值;
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,若 h( x) ? x2 ? f ( x) ,求证:当 1 ? x ? e 时,恒有 x ?
2

4 ? h( x ) 成 4 ? h( x )

立. 【知识点】导数的综合运用 【试题解析】(Ⅰ)由 得 因为函数 所以 ,即 . 在 ,解得 处取得极值, . ,定义域为 ,

经检验,满足题意,所以 (Ⅱ)由(Ⅰ)得

. ,定义域为 .



时,有



在区间

上单调递增,最小值为





,由



,且



当 单调递增, 所以

时,



单调递减, 当

时,



在区间

上单调递增,最小值为





时,



当 单调递增, 所以函数

时,



单调递减, 当

时,





取得最小值



综上当 当

时, 时,

在区间 在区间 得

上的最小值为 ; 上的最小值为 . .

(Ⅲ)由 当 时,





欲证

,只需证



即证 设

,即 ,









时,

,所以

在区间

上单调递增.

所以当

时,

,即







所以当 【答案】见解析

时,

恒成立.


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