广东省珠海市2015-2016学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案

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珠海市 2015~2016 学年度第二学期期末学生学业质量监测 高一数学试题
试卷分为 150 分,考试用时 120 分钟. 考试内容:必修三、必修四.

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上.)

a=2

1.把二进制数101 (2) 化为十进制数为 ( )

b=3

A. 2

B.3

C.4

D.5

a=b

2.右边程序的输出结果为 ( )

b=a

A. 3,2

B. 3,3

C.2,2

D.2,3

print a,b

3.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度,统计了运动员

在 8 场比赛中的得分,用茎叶图表示如图,则该组数据的标准差为(



A 17 2

B 15 2

C 19 4

D 17 4

1884788 201

4.在一段时间内,某种商品的价格 x(元)和销售量 y(件)之间的一组数据如下表:如果 y

与 x 呈线性相关且解得回归直线的斜率为 b? ? 0.9 ,则 a? 的值为( )

价格 x(元) 4

6

8

10

12

销售量 (y 件) 3

5

8

9

10

A . 0.2 B. ? 0.7

C. ? 0.2

D. 0.7

5.下列四个命题中可能成立的一个是( )

A. sin? ? 1 且 cos? ? 1

2

2

C. tan? ? 1且cos? ? ?1

B. sin? ? 0且cos? ? ?1 D.? 是第二象限时, tan? ? ? sin ?
cos?

6.袋中装有白球 3 个,黑球 4 个,从中任取 3 个,下列事件是对立事件的为( )

A.恰好一个白球和全是白球

B.至少有一个白球和全是黑球

C.至少有一个白球和至少有 2 个白球 D.至少有一个白球和至少有一个黑球

7.函数 f (x) ? Asin(?x ? ?) (其中

A ? 0,? ? 0,| ? |? ? )的图象如图所示,则? 的值为( ) 2

A. ? 6

B. ? ? 6

C. ? 3

D. ? ? 3

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8.已知 sin(? ? ? ) ? 3 ,则 sin(3? ?? ) 值为( )

4

2

4

A. ? 3

B、 3

C. ? 1

D. 1

2

2

2

2

9.在平行四边形 ABCD 中,点 F 为线段 CD 上靠近点 D 的一个三等分点.若 AC ? a ,

BD ? b ,则 AF ? ( )

A. 1 a ? 1 b 42

B. 2 a ? 1 b 33

C. 1 a ? 1 b 24

D. 1 a ? 2 b 33

?

?

??

??

10.已知| a |? 3,| b |? 2 ,| a? b |? 19 ,则 a 在 b 上的投影为( )

A? 3

B3

C 2 D? 2

2

2

3

3

11 要得到函数 y ? sin 2x 的图象,可由函数 y ? cos(2x ? ? ) ( ) 4

A. 向左平移 ? 个长度单位 8

B. 向右平移 ? 个长度单位 8

C. 向左平移 ? 个长度单位 4

D. 向右平移 ? 个长度单位 4

12.若关于 x 的方程: x2 ? 4x sin? ? a tan? ? 0 ( ? ? ? ? ? )有两个相等的实数根.则

4

2

实数 a 的取值范围为( )

A. ( 2,2)

B. (2 2,4) C. (0, 2)

二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)

D. (?2,2)

13.向量 a ? (2,3),b ? (4,?1? y),且 a // b .则 y ?________

14.已知扇形的弧长是 6 cm,面积是 18cm2,则扇形的中心角的弧度数是__

_

15.从编号为 0,1,2,?,89 的 90 件产品中,采用系统抽样的方法抽取容量是 9 的样本.若编

号为 36 的产品在样本中,则该样本中产品的最大编号为________
16.已知 tan x ? 2 ,则 cos x ? sin x =
3 cos x ? sin x

17.质地均匀的正方体骰子各面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6 ,每次抛掷这样两个相同的骰

子,规定向上的两个面的数字的和为这次抛掷的点数,则每次抛掷时点数被 4 除余 2 的概率





18.设? 为锐角,若 sin(? ? ? ) ? 3 ,则 cos(2? ? ? ) 的值为_______。

65

12

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19.随机抽取高一年级 n 名学生,测得他们的身高分别是 a1 , a2, ?, an ,则如图所示的程序 框图输出的 s =_______.

20.设

? a

?

(sin x,sin

x)

? ,b

?

(? sin

x, m

?

1)

,若

? a

? ?b

?

m

在 (?

,

5?

)

有三个根,则

m



66

范围为___

__.

三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 10 分,共 50 分.解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤.)

21.为了迎接珠海作为全国文明城市的复查,爱卫会随机抽取了 60 位路人进行问卷调查,

调查项目是自己对珠海各方面卫生情况的满意度(假设被问卷的路人回答是客观的),以分

数表示问卷结果,并统计他们的问卷分数(分数都是整数且满分为 100 分),把其中不低于

50 分的分成五段[50,60), [60,70),… [90,100]后画出如下部分频率分布直方图,观察图

形信息,回答下列问题:

(1)求出问卷调查分数低于 50 分的被问卷人数

(2)估计全市市民满意度在 60 分及以上的百分比

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22.在区间[-1,1]上任取两个数 a, b ,在下列条件时,分别求不等式 x2 ? 2ax ? b2 ? 0 恒成 立时的概率;(1)当 a, b 均为整数时;(2)当 a, b 均为实数时.
23. 已 知 函 数 f (x) ? sin(?x ? ?) ? 3 cos(?x ? ?)(0 ? ? ? ? ,? ? 0) 为 偶 函 数 , 且 函 数 y ? f (x) 图像的两相邻对称轴间的距离为 ? .
3 (1)求 f (? ) 的值
4 (2)将函数 y ? f (x) 的图像向右平移 ? 个单位后,再将得到的图像上各点的横坐标伸长
6 到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g(x) 的图像,求 g(x) 的单调递减区间.
24.在平面直角坐标系中, O 为坐标原点, A(1,1), B(2,0) ,| OC |? 1, (1)求 OA 和 OB 夹角; (2)若 OC 与 OA 垂直,求点 C 的坐标; (3)求| OA ? OB ? OC | 的取值范围.
25.如图:点 P 在直径 AB ? 1的半圆上移动(点 P 不与 A, B 重合),过 P 作圆的切线 PT 且
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PT ? 1, ?PAB ? ? , (1)当? 为何值时,四边形 ABTP 面积最大?
(2)求| PA| ? | PB | ? | PC | 的取值范围?

参考答案 1-5:DBBCB

6-10:BCBBA 11-12:BC

13、7
17、 1 4

14、1

15、86

16、3

18、 31 2 50

19、 a1 ? a2 ? ? ? (?1)n?1 an n
20、 ( 1 ,1) 2
三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 10 分,共 50 分.解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤.)
21.解:(1)因为各组的频率和等于 1,

故低于 50 分的频率为 f1 ? 1? (0.015 ? 2 ? 0.03 ? 0.025 ? 0.005) ?10 ? 0.1 ,----2 故低于 50 分人数为 60? 0.1 ? 6 人---------------------5

(2)依题意,60 分及以上的分数所在的第三、四、五、六组(低于 50 分的为第一组)频 率和为 (0.015 ? 0.03 ? 0.025 ? 0.005) ?10 ? 0.75 ,---------------------8 所以,抽样满意度在 60 分及以上的百分比为 75%,
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于是,可以估计全市市民满意度在 60 分及以上的百分比为 75%---------------------10

22.解:因为不等式 x2 ? 2ax ? b2 ? 0 恒成立,

所以 ? ? (2a)2 ? 4b2 ? 0 ,即 a2 ? b2 -------------------------------------2

(1)如表(a,b)的所有可能结果共有 9 个,如下表:

b

a

-1

0

1

-1

(-1,-1) (0,-1) (1,-1)

0

(-1,0) (0,0) (1,0)

1

(-1,1) (0,1) (1,1)

--------------4

满足 a2 ? b2 共有 7 个,所以所求概率 p ? 7 。------------------------------5 9

(2)如图满足 a2 ? b2 所有(a,b)的取值组成阴影部分,

-------------------------8
所以所求概率 p ? S阴影 = 1 ---------------------------------------------10 S正方形 2
23.解:因为 f (x) ? sin(?x ? ?) ? 3 cos(?x ? ?)(0 ? ? ? ? ,? ? 0)

所以 f (x) ? 2[sin(?x ? ?) 1 ? cos(?x ? ?) 3 ]

2

2

f (x) ? 2sin[(?x ? ?) ? ? ] ? 2sin[(? ? ? ) ? ?x]

3

3

f (?x) ? 2sin[(??x ? ?) ? ? ] ? 2sin[(? ? ? ) ? ?x]

3

3

因为 f (x) 是偶函数,所以 2sin[(? ? ? ) ? ? ] = 2sin[(? ? ? ) ? ?x]

33

3

即 cos(? ? ? )sin ? ? ? cos(? ? ? )sin ?

33

33

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所以 cos(? ? ? ) ? 0 ,? ? k? ? 5? (k ? Z )

3

6

因为 0 ? ? ? ? ,所以? ? 5? . 6

f (x) ? 2sin[(?x ? ?) ? ? ] ? 2sin[(? ? ? ) ? ?x] ? 2sin[(5? ? ? ) ? ?x] ? 2cos?x

3

3

63

因为函数 y ? f (x) 图像的两相邻对称轴间的距离为 ? ,所以 2? ? 2 ? ? , ? ? 3 ,

3

?

3

f (x) ? 2cos3x

(1) f (? ) ? 2cos3? ? ? 2

4

4

( 2 ) 将 函 数 f (x) ? 2 cos3x 的 图 像 向 右 平 移 ? 个 单 位 得 到 函 数 6

y ? 2 cos3(x ? ? ) ? 2 cos(3x ? ? ) ? 2sin 3x ,将 y ? 2sni 3x 的图像上各点的横坐标伸长

6

2

到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g(x) ? 2sin 3 x , 4

当 2k? ? ? ? 3x ? 2k? ? 3? (k ? Z ) ,即 8k? ? 2? ? x ? 8k? ? 2? (k ? Z ) 时,

24

2

33

3

g(x) 单调递减.减区间为[8k? ? 2? , 8k? ? 2? ](k ? Z ) 3 33

24.解:(1) cos? ? OA ? OB ? 1? 2 ? 1? 0 ? 2 , --------------2 | OA || OB | 12 ? 12 22 ? 02 2
又因为? ?[0,? ) ,所以? ? ? -------------------------------------3 4

(2)设点 C(x, y) ,由 OA? OC ? x ? y ? 0 ,------------------------4

且 | OC |? x2 ? y 2 ? 1 -------------------------------------------5

解得: C( 2 ,? 2 ) 或 C(? 2 , 2 ) ------------------------------7

22

22

(3)| OA? OB ? OC |?| (3,1) ? OC |

当向量 OC 与向量 (3,1) 同向时,| OA ? OB ? OC | 有最大值 10 ? 1 -------------8

当向量 OC 与向量 (3,1) 反向时,| OA ? OB ? OC | 有最小值 10 ? 1 -------------9

所以| OA ? OB ? OC |?[ 10 ?1, 10 ?1] --------------10 25.解:(1) ∵AB 为直径,
∴∠APB=90°,AB=1,

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PA=cos ? ,PB=sin? . -------------------1

又 PT 切圆于 P 点,∠TPB=∠PAB=? ,

∴BC=sin? ·PB=sin2? -----------------------------------2

(2)∴S

四边形

=S +S ABTP

△PAB

△TPB

=12PA·PB+12PT·BC

=12sin? cos? +12sin2? ---------------------------3

=14sin2? +14(1-cos2? )=14(sin2? -cos2? )+14-

= 42sin(2? -π4 )+14.-----------------------------4

∵0<? <π2 ,-π4 <2? -π4 <34π ,

∴当 2? -π4 =π2 ,即? =38π 时,S 四边形 ABTP 最大.--------------5

(2)| PA| ? | PB | ? | PC |? cos? ? sin? ? sin? cos? 设 t ? cos? ? sin?

则 t 2 ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos? sin? ? 1? 2cos? sin?

所以 cos? sin ? ? t 2 ?1 2

所以| PA | ? | PB | ? | PC |? t 2 ?1 ? t ? t 2 ? t ? 1 ,

2

22

因为 t ? cos? ? sin? ? 2 sin(? ? ? )?(1, 2] , 4

并且 t ? ?1? (1, 2] ,

所以| PA | ? | PB | ? | PC |? t 2 ? t ? 1 在 t ?(1, 2 ] 时单调递增,

2

2

(| PA| ? | PB | ? | PC |) ? (1, 1 ? 2] , 2

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