1.3.1三角函数的诱导公式(2)-修改版_图文

(第二课时)

一、复习回顾
1.关于2kπ+α、π+α、-α、π-α的四组诱导公式 公式一: 公式二:

sin(? ? 2k? ) ? sin ?

sin(? ? ? ) ? ? sin ?

cos(? ? 2k? ) ? cos ? (k ? Z ) cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? 2k? ) ? tan ? tan(? ? ? ) ? tan ?
公式三:
公式四:

sin(?? ) ? ? sin ? cos(?? ) ? cos ? tan(?? ) ? ? tan ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? ? tan ?

公式记忆技巧:函数名不变,符号看象限!

2.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角 三角函数,一般按下面步骤进行:

任意负角的 三角函数

用公式三或一

任意正角的 三角函数

用公式一

的三角函数

0 到 360 的角
o
o

用公式 二或四

锐角三 角函数

一句话概括:负化正,大化小,化到锐角就行了.

针对性练习 1.求下列各三角函数值

10? (1)sin( ? ) 3
2.求下列式子的值:

(2)cos 945
3 答案: (1) 2 2 (2)2

2? 3? 4? ( 1) cos ? cos ? cos ? cos ; 5 5 5 5 (2) tan 10 ? tan 170 ? sin1866 ? sin( ?606 ).
答案:(1) 0, (2)0

?

针对性练习 3.求证: tan( 2? ? ? )sin( ?2? ? ? )cos(6? ? ? ) ? tan ?

cos(? ? ? )sin(5? ? ? )

4.化简:

1 ? 2sin 290? cos 430? sin 250? ? cos 790?

问题:

?

2 ? ? 与它的余角( -? )的三角函数有什么关系? 2 关于直线y=x对称 y y?x P '( y, x) 公式五

-α的终边与α的终边有何关系?

sin(

?
2

-? )= cos ? -? )=sin?
-1

cos (

?
2

? ?? 2 ?
O

P (x,y)
1

x

公式五 sin(

?
2

-? )= cos ? -? )=sin?

cos (

?
2

你能利用这个公式推导出 ? 的三角函数 +? 与? 2 关系吗?

公式六 sin(

?
2

+? )= cos ? cos (

?
2

+? )=-sin?

公式五 sin(

公式六 sin(

?
2

-? )= cos ? -? )=sin?

?
2

+? )= cos ? +? )=-sin?

cos (

?
2

cos (

?
2

(1)α是任意角

(2)公式五,六可以概括为:

?

2 等于?的余弦(正弦)值,前面加一个把?当作是锐角时 原函数值的符号,即 "函数名改变,符号看象限"

? ?的正弦(余弦)函数值分别

(3).公式五和公式六实现了正弦函数和余弦函数的相互转 化.

牛刀

小试

1 ? 1 : sin( ? ? ) ? , cos( ? ? ) ? 6 3 3

?

1 ? 2 : cos( ? ? ) ? , sin( ? ? ) ? 4 3 4
挖掘角的相互关系,寻求诱导公式的应用

?

互余关系

3? 例3、证明: (1)sin( ? ? ) ? ? cos ? ; 2 3? (2)cos( -? ) ? -sin? 2 3? 3? +? )=-cos ? ,cos( +? )=sin? 变式 证明: sin(
2 2

11? sin(2? -? )cos(? +? )cos( +? )cos ( -? ) 2 2 例4.化简 9? cos (? -? )sin (3? -? )sin (-? -? )sin ( +? ) 2

?

课堂练习 1. P27 课后练习 1 ? 1 ? 2、已知 sin ( -? )= ,则 cos ( +? )=______ 2 3 2 6

2? 4? 3 2 3.已知 sin( ? ? ) ? ,求sin( ? ? ) ? cos (? ? )的值. 3 3 3 3 2? ? ? 解: sin( ? ? ) ? sin[? ? ( ? ? )] ? sin( ? ? ) 3 3 3 4? 4? 4? cos(? ? ) ? cos[? ( ? ? )] ? cos( ??) 3 3 3

?

      ? cos[? ? (
?

?
3

? ? )] ? ? cos(

?
3

??)

2? 4? 2 sin( ? ? ) ? cos (? ? ) 3 3 ? sin(

?
3

? ? ) ? cos (
2

?
3

??)

3 3 2 3?2 ? ? [1 ? ( ) ] ? 3 3 3

小结与作业

公式五 sin(

公式六 sin(

?
2

-? )= cos ? -? )=sin?
?

?
2

+? )= cos ? +? )=-sin?

cos (

?
2

cos (

?
2

(1)α是任意角

(2)公式五,六可以概括为:

2 等于?的余弦(正弦)值,前面加一个把?当作是锐角时 原函数值的符号,即 "函数名改变,符号看象限"

? ?的正弦(余弦)函数值分别

作业:课本P29 3(1) B组 1(1)(3) 2(2)

思考:
诱导公式一~六有没有好的记忆方法呢?

口诀:奇变偶不变,符号看象限
意义: ?
k ? ?? (k ? Z)的三角函数值 2 1)当k为偶数时,等于?的同名三角函数值,前面加上 一个把? 看作锐角时原三角函数值的符号; 2)当k为奇数时,等于?的异名三角函数值,前面加上 一个把? 看作锐角时原三角函数值的符号;

cos(180 ? ? ) ? sin(? ? 360 ) . 1. 化简: sin(?? ? 180 ) ? cos(?180 ? ? ) 解:sin(-? -180o)=sin[-(180o +? )] =-sin(180o +? ) =-(-sin? ) =sin? cos(-180o-?)=cos[-(180o +? )] =cos(180o +? ) =-cos? ? cos ? ? sin ? 故原式 ? ?1 sin ? ? (? cos ? )

2.完成下表:

?
sin ?

?

?
6

2? 3
3 2

3? 4
2 2 2 ? 2

7? 6
1 ? 2
3 ? 2 3 3

5? 3
3 ? 2

1 ? 2
3 2 3 ? 3

cos ?
tan ?

1 ? 2

1 2

? 3

?1

? 3

3? sin(? - ? ) cos(2? - ? ) tan( - ? ) 2 3、已知f (? ) ? ? tan( ? ? ) sin(-? - ? ) 2 (1)化简f (? ) 3? 1 (2)若? 是第三象限的角, 且 cos(? ? ) ? , 求f (? )的值 2 5 31? (3)若? ? , 求f (? )的值 3 (1) f (? ) ? ? cos ? 3? 1 (2) cos(? ? ) ? ? sin ? ? ,? 是第三象限的角,
2 5 2 2 ? cos ? ? ? 6 ,? f (? ) ? 6. 5 5

3? sin(? - ? ) cos(2? - ? ) tan( - ? ) 2 3、已知f (? ) ? ? tan( ? ? ) sin(-? - ? ) 2 (1)化简f (? ) 3? 1 (2)若? 是第三象限的角, 且 cos(? ? ) ? , 求f (? )的值 2 5 31? (3)若? ? , 求f (? )的值 3 31? 5? (3) ? ?6 ? 2? ? , 3 3 31? 5? ? 1 ? f () ? ? cos =-cos ? ? 3 3 3 2

一、复习回顾
2.推导2kπ-α的诱导公式

sin(2k? ? ? ) ? ? sin ? cos(2k? ? ? ) ? cos ? (k ? Z ) tan(2k? ? ? ) ? ? tan ?
tan(?150?)cos(?210?)cos(?420?) 3 练习:1、化简 2 cot(?600?)sin(?1050?)

诱导公式得记忆 (1)? ? ? ,-? ,2k? +?的公式为"函数名不变,符号看象限" ? 3? (2) ? ? , ? ?的公式为"函数名改变,符号看象限". 2 2


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