椭圆的第二定义(比值定义)的应用

椭圆的第二定义(比值定义)的应用
陈 文

教学目标:1 椭圆的比值定义,准线的定义 2、使学生理解椭圆的比值定义,并掌握基本应用方法 3、对学生进行对应统一的教育 教学重点:椭圆的比值定义的应用 教学难点:随圆的准线方程的应用 教学方法:学导式 教学过程: 一、复习 前节我们学习了随圆的第二定义(比值定义) : 若
MF d = e, (0 < e < 1, 为常数) 则 M 的轨迹是以 F 为焦点, 为准线的椭圆。 L

a2 注:①其中 F 为定点,F(C,0) 为 M 到定直线 L: x = ,d 的距离 c
②F 与 L 是对应的,即:左焦点对应左准线,右焦点对应右准线。 二、第二定义的应用

x2 y2 [例 1]已知 A(2, 3) , F是 + = 1 的右焦点,点 M 为椭圆的动点,求 16 12

MA + 2 MF 的最小值,并求出此时点 M 的坐标。
分析:此题主要在于 2 MF 的转化,由第二定义:

MF d

=e=

1 ,可得出 2

2 MF = d ,即为 M 到 L(右准线)的距离。再求最小值可较快的求出。
解:如图所示,过 M 作 MN ⊥ l 于 N,L 为右准线: x = 8 ,由第二定义,知:
MF d =e= 1 , 2

∴ 2 MF = d = MN

∵ MA + 2 MF = MA + MN ,
要使 MA + 2 MF 为最小值,即: MA + MF 为“最小” , 由图知: 当 A、M、N 共线,即: AM ⊥ l 时, MA + 2 MF 为最小;且最小值为 A 到 L 的距离=10,此时,可设 M ( x0 , 3 ) ,代入椭圆方程中,解得: x0 = 2 3 故:当 M (2 3 , 3 ) 时, MA + 2 MF 为的最小值为 10
[评注]: 1)以上解法是椭圆第二定义的巧用,将问题转化为点到直线的距 (

离去求,可使题目变得简单。 (2)一般地,遇到一个定点到定直线问题应想到椭圆的第二定义。
[例 2]:设 P( x0 , y 0 ) 为椭圆

x2 y2 + = 1, (a > b > 0) 的一点,离心率为 e,P 到 a2 b2

左焦点 F1 和右焦点 F2 的距离分别为 r1,r2 求证: r1 = a + ex0 , r2 = a ex0 证明如图,由第二定义:

PF1 a2 x0 + c

=e

a2 a2 即: r1 = PF1 = e x0 + = e( x0 + ) = ex0 + a c c
又 PF1 + PF2 = 2a ∴ r2 = 2a r1 = 2a (a + ex0 ) = a ex0 注:①上述结论 r1 = a + ex0 , r2 = a ex0 称为椭圆中的焦半径公式 ② PF1 = r1 = a + ex0由 a ≤ x0 ≤ a 得出

r1 ≤ a + ea = a + c且r1 ≥ a + e (a) = a c
即 a c ≤ PF1 ≤ a + c 当 PF1 = a c时,P 为( a, ) 0 当 PF1 = a + c时,P 为(a, 0)

x2 + y 2 = 1 的左焦点 F 作倾斜角为 300 的直线交椭圆于 A、B 9 两点,则弦 AB 的长为 2 [练习](1)过 分析:∵ AB是焦点弦

∴ AB = AF + BF = + ex A) + + ex B) = 2a + e(x (a (a

A

+ x B)

只需求 x A + x B = ? (用联立方程后,韦达定理的方法可解) (学生完成) ( 2) 1 F 、F 2为 x2 y2 + = 1 的左、 右焦点, 为椭圆上的一点, PF1 = 3 PF2 , P 若 64 48

则 P 到左准线的距离为

24

分析:由焦半径公式,设 p ( x0 , y 0) 得 a + ex0 = 3(a ex0) 即x0 = 8, 又左准线为: x = 16 则 P 到左准线距离为 8-(-16)=24
[例 3] 设椭圆的左焦点为 F,AB 过 F 的弦,试分析以 AB 为直径的圆与左

准线 L 的位置关系 解,设 M 为弦 AB 的中点, (即为“圆心” ) 作 AA1 ⊥ L于A1, BB1 ⊥ L于B1, MM 1 ⊥ L于M 1, 由椭圆的第二定义知:

AB = AF + BF = e( AA1 + BB1 )
∵0 < e <1

∴ AB < AA1 + BB1

又在直角梯形 ABB1 A1 中, MM 1 是中位线

∴ AA1 + BB1 = 2 MM 1
即: AB < 2 MM 1



AB 2

< MM 1



AB 2

为圆 M 的半径 r,MM 1 为圆心 M 到左准线的距离 d r < d

故以 AB 为直径的圆与左准线相离 四、小结 本节,重点是掌握第二定义的应用方法,特别是焦半径公式的运用(通常在

焦点弦中采用) 五、作业 1、 《课外作业》P92、10 2、 已知椭圆 x2 y2 + = 1, 能否在此椭圆位于 y 轴左侧的部分上找到一点 M, 4 3

使它到左准线的距离为它到两焦点 F1、F2 距离的等比中项?


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