数学解斜三角形专练(答案版)


b c 已知 a ? c ? 2 b , 1 2009 全国卷Ⅰ理) ? A B C 中, ( 在 内角 A、 C 的对边长分别为 a 、 、 , B、
2 2

且 sin A co s C ? 3 co s A sin C , 求 b 解法一:在 ? ABC 中? s 3A, s c ? s 则由正弦定理及余弦定理 i o c i n Csn A o C
a? ? b c
2 2 2

有: a ?

2b a
2 2

b? ? c a 2 2 2 ? 3 ? 化简并整理得: 2 a ?c ) ?b .又由已知 c , ( 2c b
2 2 2
2

. a ?c ? 2 ? 4b ? b .解得 b 4 b 0舍 b ? 或? ( ) 解法二:由余弦定理得: a c? ? c s .又 a ?c ?2 ,b?0. ? b 2c A bo b
2 2 2 2 2

所以 b 2cs ? ?coA2



又 sACcA ,? ?s ?A i c ? ssC sc o C s no 3 s o i n i o s nC i 4 i A sc n c n A o C s
n cA n s ( ?) 4 s s C s B4 s s C i A ? o i ,即 i ? o i n C cA n

由正弦定理得 sin B ? 由①,②解得b?4.

b c

sin C ,故 b 4 c sA ? co



2(2009 浙江理) (本题满分 14 分)在 ? A B C 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且满 足 cos
A 2 ? 2 5 5

, AB ? AC ? 3 . (II)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.
2 5 5
1 ? A2 o o , cs ?cs
2

??? ???? ?

(I)求 ? A B C 的面积; 解 (1) 因为 c o s
A 2 ?

??? ? ? ? ? ? A 3 4 B C3 ?? , i A , 1 s n ? 又由 A?A ? 2 5 5

SA C c in 得 b co A?3 ?bc ? 5 ,? ? B ? b s A?2 c s , 2

(2)对于 b c ? 5 ,又 b ? c ? 6 ,? ?5 c ?1或 b ? 1, c ? 5 ,由余弦定理得 b ,
a b c 2cA 0 a ? 2 5 ??? o ? ,? b s 2 c
2 2 2

3(2009 浙江文) (本题满分 14 分)在 ? A B C 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且满 足 cos
A 2 ? 2 5 5

, AB ? AC ? 3 . (II)若 c ? 1 ,求 a 的值.
2

??? ???? ?

(I)求 ? A B C 的面积;

A cos 1 2 ( ? ?? ? 解(Ⅰ) cos2 2

A

25 3 2 ) ?? 1 5 5

又 A?(0 ?) , sin ? 1 cos ? ,而 AB ? . . A bc ,所 A ? A . AC AB cos AC ? ? 3 ,
2

4

3

5

5

以 bc ? 5,所以 ?ABC 的面积为:

1 1 4 bc A sin ? ? ? ? 5 2 2 2 5

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bc ? 5,而 c ? 1 ,所以 b ? 5
? ? bc ? cos 1? 2 ? ? ? ? 2 所以 a bc 2 A25 3 5
2 2

4 2009 北京理) 在 ? A B C 中, A , B , C 的对边分别为 a , b , c , B ? ( 角 (Ⅰ)求 s in C 的值; (Ⅱ)求 ? A B C 的面积. 解(Ⅰ)∵A、B、C 为△ABC 的内角,且 B ? ∴ C?
2 ? 3 ?A inA? , ,s 3 5

?
3

c , os A ?

4 5

,b ?

3 。

?
3

,cos A ?

4 5



∴ s C i ? ?? i ? n s n A ? cA sA o ?i ? s n
3 ? ? 2
3

2 ?

?

?

3

1

34 ?3

.

2

1 0

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 s A? ,s C? in in
5

3?4 3 1 0



又∵ B ? ∴a ?

?
3

,b ?

3 ,∴在△ABC 中,由正弦定理,得

b sin A sin B

?

6 5

.
16 34 ? 33 69 ?3 ? . 1 0 5 0

? b s ?? 3 n ?? ∴△ABC 的面积 S ai C 2 25

1

5.(2010·浙江文)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设 S 为△ABC 的面积, 满足 S ?
3 4 (a ? b ? c ) 。
2 2 2

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅰ)解:由题意可知
1 2

i A sn 的最大值。 (Ⅱ)求 sn ? i B

absinC=
4

3

,2abcosC.

所以 tanC= 3 . 因为 0<C< π ,

所以 C=

π 3

.

(Ⅱ)解:由已知 sinA+sinB=sinA+sin( π -C-A)=sinA+sin( 当△ABC 为正三角形时取等号, 所以 sinA+sinB 的最大值是 3 . 6(2009 安徽卷理)在 ? ABC 中, sin ( C ? A ) ? 1 , sinB= (I)求 sinA 的值; 解: (Ⅰ)由 C ? A ?
?
2
1 3

2 π 3

-A)=sinA+
2

3

A+

1 2

sinA= 3 sin(A+

π 6

)≤ 3 .

.

(II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积.
? ? ? ,∴ A ? ,且 C A ? B

?
4

?

B 2

,∴

?B 2 B B , s As ( ? ) i ?n n i ? (o ?n ) cs s i 4 2 2 2 2
1 1 ∴ s n A ( ? inB ? ,又 sin A? 0,∴ s i n A ? i ? 1 s ) 2 3
2

3 3
A

C

(Ⅱ)如图,由正弦定理得

AC sin B

?

BC sin A

B

∴ BC ?

AC sin A sin B

6? ? 1 3

3 3 ? 3 2 ,又

s ? ?s c ? s i ns CA i o c i i nB A on ( ) ns s B ? BA

?

3 2 2 6 1 6 ? ? ? ? 3 3 3 3 3 1 1 6

? CCn? 6 ? ? i 3? 3 ∴ SC A B sC ? ?2 ? 2 ? A B 2 2 3

7 (2009 江西卷文) 在△ A B C 中,A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,A ? (1)求 C ; (2)若 C B ? C A ? 1 ?
??? ??? ? ? 3 ,求 a , b , c .

?
6

(1 , ?

3 )c ? 2b .

解: (1)由 (1? 3)c ? 2b



b c

?

1 2

?

3 2

?

sin B sin C

? 5 ? 5 ? s ( ? ?) s i ? n C i n cs ?o oC cs s C i n 1 3 1 3 6 6 6 则有 = cot C? ? ? ? s C i n s C i n 2 2 2 2
得 cot C ?1 即 C ?
? ? ? ? ? ? ? ?

?
4

.
?
4

(2) 由 CC 1 3 推出 a c sC? ? 3 ;而 C ? bo 1 BA ? ? ?
2 2

,

即得

ab ? 1 ?

3,

? 2 a b ? 1 ? 3 ? ? 2 ? 则有 ? ( 1 ? 3 ) c ? 2 b ? a c ? ? s in C ? s in A ?

? a ? 2 ? ? 解得 ? b ? 1 ? ? c ? 2 ? ?

3

8(2009 江西卷理)△ A B C 中, A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,
ta n C ? s in A ? s in B cos A ? cos B

, sin ( B ? A ) ? co s C .

(1)求 A , C ; (2)若 S ? A B C ? 3 ?
3 ,求 a , c .

解:(1) 因为 ta C? n

s A s B in ? in

c sA c sB o ?o

,即

s A s B in ? in , ? c sC c sA c sB o o ?o s C in

所以 so C sA n i sn ? n ?so ? B C cso Cs , A Bi c i cc s o nC s i 即 sosAi?s i s C sB B n? C cc An C C o ? sc i o so s i n c n, 得 s ( ?) s ( ?) i CA i B . n ?n C 立).
C ? , 即 2 ?A B 得 C ?

所以 C A B C C A ? ( ? ) (不成 ? ? ? ,或 ? ? ? BC

?
3

,所以. B ? A ?
1

2? 3

in ) o 又因为 s (B?A ?c sC? ,则 B ? A ? 2

?
6

,或 B ? A ?

5? 6

(舍去)

得A?

?
4

,B ?

5? 12

(2) SB ? a i B cn ? s ?C A
2
c sin C a sin A

1

6 2 ? , a??3 c 3 8



?

, 即

a 2 2

?

c 3 2



得 a?2 2 c?2 3 , . 9(2009 天津卷文)在 ? ABC 中, BC ? (Ⅰ)求 AB 的值。 (Ⅱ)求 sin( 2 A ?
?
4 ) 的值。

5 , AC ? 3 , sin C ? 2 sin A

(1)解:在 ?ABC 中,根据正弦定理,
BC AB C ? sin ? BC 5 2 ? 2 sin A

AB sin C

?

BC sin A

,于是

(2)解:在 ?ABC 中,根据余弦定理,得 cos ? A

AB AC BC ? ?
2 2 2

2 ?AC AB

A ? A 于是 sin ? 1 cos =
2

5 5


4 3

从而 sin AA , 2 cos A 2 2 cos Asin ? ? cos A A ? ? sin ?
2 2

5

5

? ? ? 2 sin( ) sin 2? ? 2cos 2sin A A ? cos A ? 4 4 4 10
10(2009 四川卷文)在 ? A B C 中, A、 B 为锐角,角 A、 B 、 C 所对的边分别为 a、 b、 c , 且 s in A ?
5 5 , s in B ? 10 10

(I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ?
2 ? 1 ,求 a、 b、 c 的值。

解(I)∵ A 、 B 为锐角, sin A?

5 5

,s B? in

1 0 1 0

o ?? s s n ? ∴ c A 1i A
2

2 5 30 1 2 ,o ? ? B cB 1i s s n ? 5 1 0

2 3 5 1 51 2 0 0 cA ?A ? s ? ? ? o? o o s i s Bs s i ( )c c BA nn B ? ?. 5 1 51 2 0 0

∵ 0 AB? ? ? ? ∴ A? B ?
?
4

(II)由(I)知 C ?
a

3? 4

,∴ s i n C ?

2 2



b c 得 ? ? s A s B s C in in in

5 ? 1 b? 2 ,即 a? 2 ,c ? 5 a 0 c b b

又∵ ∴ ∴

a?b ? 2 ? 1 2 ? ? 2? b b 1



b ? 1

a ? 2, c ? 5

11(2009 全国卷Ⅱ理)设 ? A B C 的内角 A 、 B 、 C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,
cos( A ? C ) ? cos B ? 3 2

, b ? a c ,求 B
2

由 c s A C ?c sB? ,易想到先将 B ?? A C代入 c s A C ?c sB? o( ? ) o o( ? ) o ? ( ? )
2
o( ? ) c s A C 得 c s A C? o( ? )? 3 2 。

3

3 2

然后利用两角和与差的余弦公式展开得

sin A sin C ?

3 4

;又由 b ? a c ,利用正弦定理进行边角互化,得 s B s An , i n ?i s C n i
2 2

进而得 s i n B ?
B ? 2? 3

3 2

.故 B ?

?
3



2? 3

。大部分考生做到这里忽略了检验,事实上,当
1

o ? cs ? ) ? 时,由 c sB ? o(A C ? ,进而得 2

3 csAC csAC o ?) o ?) ( ? ( ? ? ?,矛盾,应舍去。 21 2

或 也可利用若 b ? a c 则 b?a b?c从而舍去 B ?
2

2? 3

。不过这种方法学生不易想到。

12(c)在△ABC 中,A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、 b、 c ,
3 5 1 0 1 0



c s2A ? o

,sin B ?



(Ⅰ)求 A+B 的值; (Ⅱ)若 a ? b ?
2 ?1,求 a、 b、 c

的值.
10 10

解: (Ⅰ)? A 、 B 为锐角, s i n B ? 又 c s2 ? ?2 in A o A 1 s ? ,
2

,?o B 1 sn b? cs ? ?i
2

31 0 1 0

3

5

? s in A ?

5 5

, c sA? 1 s A? o ? in
2

2 5 5



2 3 5 1 51 2 0 0 ? B so s s ? ? ? cA ?A ? i o? o s i n s ( )c c BA n B ? ? 5 1 51 2 0 0
? ? 0A ? ? B

?

? A? B ?

?
4

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 C ?
a

3? 4

,? s in C ?

2 2

.

由正弦定理

b c 得 ? ? s A s B s C in in in

5 ? 1 b? 2 ,即 a ? a 0 c

2b , c ?

5b

Q ? ? 2? , a b 1
?2 ? ? 2 1 ?b?1 b b ?,
? ? 2c ? 5 a ,

13 (2009 湖北卷文) 在锐角△ABC 中, b、 分别为角 A、 C 所对的边, a、 c B、 (Ⅰ)确定角 C 的大小: (Ⅱ)若 c= 7 ,且△ABC 的面积为
3 3 2



,求 a+b 的值。

a c 解(1)由 3 ?2 sin A及正弦定理得,

a c

?

2sin A 3

?

sin A sin C

Q inA?0? inC? s , s

3 2

Q? B 是锐角三角形,? C ? A C

?
3

(2)解法 1: Q c ? 7, C ?

?
3

. 由面积公式得

1 ?3 3 ai ? , a 6       bn s 即     b ?   ① 2 3 2

由余弦定理得
ab2 o ? aba 7   ? as 7 ? b  ② ? c b , 即 ??     3
2 2 2 2

?

由②变形得 ab ? 5 a b 5 ( ) 2, + 故 ? ? 解法 2:前同解法 1,联立①、②得
? ? ?b 7 ? ? =3 a b a? a b 1   ? ? ? a? a? ?b 6 ?b 6
2 2 2 2

2

1a 3 ? 解得 a ? 或 ? 4 a 9 消去 b 并整理得 a ?3 ?6 0
4 2 2 2

所以 ?

?a ? 2

?a ? 3 故 a ?b ? 5 或? ?b ? 3 ?b ? 2
??

14(2009 上海卷文) 已知Δ ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设向量 m ? ( a , b ) ,
? n ? ( s i B n ?? , s, p ? ( ) ? 2, a ? 2 ) . Ai n b

??
??
??

?

(1) 若 m // n ,求证:Δ ABC 为等腰三角形; 若 m ⊥ p ,边长 c = 2,角 C =
u v v

?
3

,求Δ ABC 的面积 .

证明: (1) Q m // n ,? a sin A ? b sin B , 即a ?
a 2R ? b? b 2R

,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, a ? b

? ? A B C 为等腰三角形

解 (2)由题意可知 m // p ? 0, 即 a ( b ? 2 ) ? b ( a ? 2 ) ? 0
? a ? b ? ab

u v

u v

由余弦定理可知, 4 ? a ? b ? a b ? ( a ? b ) ? 3 a b
2 2 2

即 (ab ) ? 3ab ? 4 ? 0
2

? a b ? 4 ( 舍 去 a b ? ? 1)

?S ?

1 2

a b sin C ?

1 2

? 4 ? sin

?
3

?

3 1 4

15(2007 福建)在 △ A B C 中, ta n A ? (Ⅰ)求角 C 的大小;

, ta n B ?

3 5



(Ⅱ)若 △ A B C 最大边的边长为 1 7 ,求最小边的边长. 解 (Ⅰ)? C ? π ? ( A ? B ) ,
1 ? ta n C ? ? ta n ( A ? B ) ? ? 4 1? 1 4 ? 3 5 ? 3 5 ? ? 1 .又? 0 ? C ? π ,? C ?
3 4 π.

(Ⅱ)? C ?

3 4

? ,? A B 边最大,即 A B ?
? ?

17 .

又∵tanA<tanB,A、B ? ? 0 ,
s in A 1 ? ? , ? ta n A ? 由? cos A 4 且A? ? s in 2 A ? c o s 2 A ? 1, ?
17 17
AB s in C

? ?

? ? 角 A 最小, B C 边为最小边. 2 ?

? π? ? 0, ? , ? 2?

得 s in A ?

.由

?

BC s in A

得:BC=AB·

sin A sin C

?

2 .

16. (2007 浙江)已知 △ A B C 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? (I)求边 A B 的长; (II)若 △ A B C 的面积为 s in C ,求角 C 的度数.
6 1

2 sin C .

解 (I)由题意及正弦定理,得 A B ? B C ? A C ? 两式相减,得 A B ? 1 . (II)由 △ A B C 的面积
1 2 BC ? AC ? sin C ?
2

2 ? 1, BC ? AC ?

2 AB ,

1 6

sin C , ,得 BC ? AC ?

1 3



由余弦定理,得 cosC=

AC

? BC

2

? AB

2

2 AC ? BC

=

( AC ? BC ) ? 2 AC ? BC ? AB
2

2

2 AC ? BC

?

1 2



所以 C ? 6 0 . 17(2007 全国Ⅰ)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, a ? 2 b sin A . (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? 3 3 , c ? 5 ,求 b. 18(2009 宜春)已知向量 m ? (sin A , sin B ) , n ? (cos B , cos A ) , m ? n ? sin 2 C ,且 A 、
B 、 C 分别为 ? ABC 的三边 a 、 b 、 c 所对的角。 (1) 求角 C 的大小;

?

(2) 若 sin A , sin C , sin B 成等差数列,且 CA ? ( AB ? AC ) ? 18 ,求 c 边的长。
? ? A n ? cos ? ? sin cos ? sin( ? B 解: (1) m sin B B A A )
ABC ? ,? BC ?, 0 ? ? ) C A sin ? B ? 对于 ?A ? C sin(,

?

?

? ? n?sin . m C
m ? 2 C 又??n sin ,
1 ? ?2 ? C C , ? . sin sin C , cos C ? 2 3

A , sin , sin 成等差比数列 B , 2 C sin sin 得 sin ? A ? (2)由 sin C B ,

c a b 由正弦定理得 2 ? ? .
? AB 18? ? CAAC CA , ? ( ?) , ?? CB 18
cos , ? ab 36 即 ab C 18 ? .

? ?? ab ? b 3 Ca ) ab ( 由余弦弦定理 c a b 2cos? ? ,
2 2 2 2

? ? c ? ? , ? ,? ?6 c 4 3 36 36 c c .
2 2 2

19(辽宁省沈阳二中 2008—2009 学年上学期高三期中考试)在△ABC 中,设 A、B、C 的对 边分别为 a、b、c 向量 m ? (cos A , sin A ), n ? ( 2 ? sin A , cos A ), 若 | m ? n | ? 2 , (1)求角 A 的大小; (2)若 b ? 4 2 , 且 c ?
2 a , 求 ? ABC 的面积.

? ( ? A n ? , sin cos ) ? sin 解(1) m ? 2 cos A A A

| ? ( ? A A (cos ? ? A ) m? 2 n | cos ) ? sin ? A A 4 sin( ? ) sin 4 ? 4
2 2

?

? ?n|?2 |m
? sin( ? A

?

又? A? 0 ? ?
? ? ? A 4 ? ? A

) ?0 , 4

?

? 3 ? ? ? , 4 4
?
4

?
4

?0 A? ,

(2)? ? 2a A? c ,
c sin C ? ? ? 2, a sin A

?
4

?? ? ? sin C又 1 0 , ? C
?C ?

?

?
2

1 2 ? ?4 2 ? ( ) 16 ? ABC 为等腰三角形, S ABC 2

20(2009 东北育才、天津耀华、大连育明、哈三中联考)在锐角 ? A B C 中,已知内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,向量
m ? ( 2 s in ( A ? C ), ? ? 2 B 3 ), n ? ? c o s 2 B , 2 c o s ? 1 ? ,且向量 m , n 共线。 2 ? ?

(1)求角 B 的大小; (Ⅱ)如果 b ? 1 ,求 ? A B C 的面积 S ? A B C 的最大值。
? ?

解: (1)由向量 m , n 共线有: 2 n ? ) 2o s( i AC cs ?
?

?

2

B ? ? ? 3o B 1 cs 2, ? 2 ?

即 tan 2B ? 3 , 又0 ? B ? 则2 B =
?
3
2 2

2分

?
2

,所以 0?2 ? , B ?
?
6
2 2 2

,即 B ?

4分

a c 2 oB c (Ⅱ)由余弦定理得 b? ? ?acs ,则
1a c ? ? ?3 ? ?3 c a ( c 2 ) , a

所以 ac ? 2 ? 3, 当且仅当a?c时等号成立
ci B 2 ) 所以 SAC? asn ? ( ? 3。 ?B 2 4 1 1

9分 10 分

21(广东省广州市 2009 年模拟)已知△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=2, cosB=
3 5



(1)若 b=4,求 sinA 的值; (2) 若△ABC 的面积 S△ ABC=4,求 b,c 的值. 解:(1) ∵cosB=
3 5

>0,且 0<B<π ,
4 5

∴sinB= 1 ? cos B ?
2

. ,

由正弦定理得

a sinA

?

b sinB

sinA ?

asinB b
1 2 4 5

2? ?

4

5 ? 2. 4 5

(2) ∵S△ ABC= ∴
1 2 ? 2? c?

acsinB=4,
? 4,
2

∴c=5.

由余弦定理得 b2=a2+c -2accosB,
? +?cs a B 252 ? c ?5 1 ∴ b a c 2 o ? +? 2 ?? 7 .
2 2 2 2

3

5

22(辽宁省抚顺市 2009 模拟)在 ? A B C 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边,且
( 2 a ? c ) co s B ? b co s C ? 0 .

(Ⅰ)求角 B 的值; (Ⅱ)若 a ? c ? 4 ,求 ? A B C 面积 S 的最大值. 解 (Ⅰ)由正弦定理得 (i ? )s s c ? 2 s ns c ? o 0 AC i no i BB ns , C
s sic ci ? ic s oo B n ? s s A C C B ?n 即 2o nBs 0

得 2 A B n? ? ? ? ? ,所以 s ( ? ) s A s c ?( C ,因为 A B C π i n o s B) 0 s i i BC i n ?n ,
s c ? A,因为 sin A? 0 , i o s ? n s i 得 2 ABn 0

所以 c o s B ? ? (Ⅱ) S ?
3 4

1 2

,又 B 为三角形的内角,所以 B ?
2π 3

2π 3
1 2 ? 3

1 2

ac sin B ,由 B ?

(4 )s 及 a ? c ? 4得 S ? a ?a in 2
2

?

(4a ? a ) ?
2

3 4

[4 ? (a ? 2) ] ,

又 0 ? a ? 4 ,所以当a?2时, S 取最大值 3

……3 分
1 4

23(新宾高中 2009 届高三年级第一次模拟考试)在△ABC 中,tanA= (1)求角 C 的大小; (2)若 AB 边的长为
17

,tanB=

3 5



,求 BC 边的长.



(Ⅰ)? π( ?) C ?? B A ,
1 ? 3

? nC??ta (A?B ?? 4 ta n )

5 ?? .又? C π ? C ? 3 π . 分) (6 0 ? ?, 1 13 4 1? ? 45

s in A 1 ? ? , π ? ? ta n A ? ? (Ⅱ)由 ? cos A 4 且 A ? ? 0, ? , 2 ? ? ? s in 2 A ? c o s 2 A ? 1, ?

得 s in A ?

17 17

.?

AB sin C

?

BC sin A

,? C?A ? B B

s A in (6 ? 2. 分) s C in
5 13 , cos B ? 3 5 ,

c 24 山东省试验中学 2009 年高三第三次诊断性考试) ? A B C 中, o s A ? ? ( 在

(1)求 sin C 的值 (2)设 B C ? 5 ,求 ? A B C 的面积 解(I)由 c sA?? o
3 1 2 ,s nA i ? ,得 1 3 1 3 4 5 1 6 6 5 5

由 cos B ? ,sin B ? ,得 又ABC ? ? ? ?
5

所以 sC n?? AB ss ? i ?( B i c ? AB n s A) s i no c i s o n
5? ? 4

(II)由正弦定理得 AC ?

BC ? sin B sin A

5 ? 13 12 3 13
1 11 3 68 36 53

所以 ? ABC 的面积 S ? ? ? C ? ? B As ? 5 C Cn i ?? ?
2 2

1

25(山东省潍坊市 2009 高三一模)△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,向量 m=(2sinB,2-cos2B), n ? ( 2 s in (
2

?
4

?

B 2

),1) ,m⊥n,

(1)求角 B 的大小;

(2)若 a ?

3 ,b=1,求 c 的值.
2

m ? ?? 4 nm , i n ??n ni B ) o ? ,………2 分 ? s 22 ? 解:(I) ? ?0 s s(? c B 0 4 2

? ?

2n 1c ( ?)? s B2 0 2n ?s B ?s B0 s b? s i [ o B c 2??? B2n ? ] o , s i i 12n ? i 2
2 2

?

1 ?B s i ? n 2

? 5 ?? ? , B 0 B ? ? ? 或? 6 6

(Ⅱ) ? ? 3 b 此 B a ?, ? 时?
2 2

?
6
2

方法一:由余弦定理得 方法二:由正弦定理得
a ? , s nB s nA i i b

b ?a ?c ?2 c sB ao
2

? ? c?2?0? ?2 c? c 3 , c 或 1

1 3 3 ? 2 ? ? ? , s nA ?i ? , 0?A ?? ? 或 ? ? ? , A , 1 s nA i 2 3 3 2

若 A , ?, 以 , 边 ? 因 为 所 =? 2 B 角 C c ; ?
3 6 2

?

?

?

2 2 ? ? 若 ? 则= ? ? A ? , C 角 ? ? ? , ?, c 1 ? 边b ? c ? 3 3 6 6 综 ?或 上2 c 1 c ?

26(天津和平区 2009 高三一模)在△ABC 中, A ? (Ⅰ)求 co s C ; (Ⅱ)设 B C ?
5 ,求 A B .

?
4

, cos B ?

10 10





cs (Ⅰ)? o B?

1 0 1 0

, B? ,?) (0

31 0 2 ? n ? 1 c s B? s B i ?o 1 0

?? ?A B ? ( ? ) C? ( ?) ? ? B , 4

?

? ?o ??o o ? sB c o ?( B c s Cc s )? scBn i s s i n 4 4 4
?? 2 1 0 2 31 0 ? ? ? 2 1 0 2 1 0

?

?

?

? 5

5

c s (Ⅱ)? o C ?

5 5

,C? ,?) (0

2 5 2 . ?i C 1 c s C? sn ? ? o 5

由已知条件 B ? 5 i A sn ? C ,sn ? i
4

?

2 , 2

根据正弦定理,得

AB sin C

?

BC sin A
2 5 5 2

,

?AB ?

BC? C sin sin A

5? ?

? 2 2.

2

27(福建省泉州一中 2009 年高三模拟)在 ? ABC 中 , AC ? 2 , BC ? 1, cos C ? (1)求边 AB 的长; (2)求 sin( 2 A ? C ) 的值。 解: (1)由余弦定理,得 AB ? ? ? ? C ? AC 2 BC BC AC cos
2 2 2

4 5

.

4 9 3 5 ?4? ?4? ? , ? AB ? 1 . 5 5 5

c ? ? ? ?s ? ? o s i n o (2)?C , s C 1c C 1() ?.
2

3

4 3 2 5

5

5
? AB sinC ,

由正弦定理,得
3 5 5 3 5

BC sin A


sin

1 A

?



解得 sin A ?

5 5

.

为锐角, ?? , A BC ? AC
5 25 2 2 ? A 1 sin ? 1 ( ) ? cos ? ? A ? . 5 5
52 5 4 sin 2 A A 2 2 ?sin A cos ? ? ? ?. 5 5 5 5 3 2 2 cos 1 2 2 ??sin 1 2 ( ) ? . A A ?? ? 5 5

4 3 4 3 2 sin(sin?2 C 2C A ? A cos ? ?1 ? 2 cos sin ? ? ) C A ? . 5 5 5 5

28(天津市河东区 2009 年高三一模)如图所示,在△ABC,已知 A B ? AC 边上的中线 B D ? 求: (1)BC 的长度; (2) s in A 的值。
5 ,

4 6 3

, cos B ?

6 6



29(2010·陕西文)在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长. 解 在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得 cos ?
A ?D ?A D C C
2 2 2

=

1 0?3 ? 9 0 6 16 2? 0?6 1

2A ? C DD

1 ?? , 2

? ? ADC=120°, ? ADB=60°

在△ABD 中,AD=10, ? B=45°, ? ADB=60°, 由正弦定理得
A B sin? D A B ? A D sin B

,

3 1 ? 0 A ?in? D Ds A B 1 s 0 in6 ? 0 2 ?5 6. ? AB= ? ? s B in s in4 ? 5 2 2

30 (2010· 安徽文)? A B C 的面积是 30, 内角 A , B , C 所对边长分别为 a , b , c ,c o s A ? (1)求 A B ? A C ;(2)若 c ? b ? 1 ,求 a 的值。
??? ? ????

12 13



12 解:由 cosA=13 ,得 sinA= 1 又2 bc sinA=30,∴bc=156.

1? (

12 13

)2

5 =13 .

??? ???? ? 12 (1) A B ? A C =bc cosA=156·13 =144.

(2)a2=b2+c2-2bc cosA=(c-b)2+2bc(1-cosA)=1+2·156·(1∴a=5

12 )=25, 13


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