三角函数[1].板块一.三角函数基本概念.学生版1

板块一.三角函数的基本概念

典例分析
题型一:任意角与弧度制
【例1】 下列各对角中终边相同的角是(

) 。
? 22 ? 和 3 3 20? 122? 和 3 9

A C

? ? 和 ? ? 2k? (k ? Z) 2 2 7? 11? 和 ? 9 9

B D

【例2】 若角 ? 、 ? 的终边相同,则 ? ? ? 的终边在

.

A. x 轴的非负半轴上 C. x 轴的非正半轴上

B. y 轴的非负半轴上 D. y 轴的非正半轴上

【例3】 当角 ? 与 ? 的终边互为反向延长线,则 ? ? ? 的终边在

.

A. x 轴的非负半轴上 C. x 轴的非正半轴上

B. y 轴的非负半轴上 D. y 轴的非正半轴上

【例4】 时钟经过一小时,时针转过了(

) 。

A C

?
6

rad rad

B D

?

?
6

rad rad

?
12

?

?
12

【例5】 两个圆心角相同的扇形的面积之比为 1 : 2 ,则两个扇形周长的比为(



A C

1: 2

B D

1: 4 1: 8

1: 2

1

【例6】 下列命题中正确的命题是(



A 若两扇形面积的比是 1 : 4 ,则两扇形弧长的比是 1 : 2 B 若扇形的弧长一定,则面积存在最大值 C 若扇形的面积一定,则弧长存在最小 D 任意角的集合可以与实数集 R 之间建立一种一一对应关系
【例7】 一个半径为 R 的扇形,它的周长是 4R ,则这个扇形所含弓形的面积是(



A. C

1 (2 ? sin1cos1) ? R2 2 1 2 R 2

B D

1 sin1cos1 ? R2 2
(1 ? sin1cos1) ? R2

【例8】 下列说法正确的有几个(


90 的角是锐角。

(1)锐角是第一象限的角; (2)第一象限的角都是锐角; (3)小于 90 的角是锐角; (4) 0 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

【例9】 已知角的顶点与坐标系原点重合,始边落在 x 轴的正半轴上,则角 855 是第



)象限角。 B 第二象限角 D 第四象限角 ) B.锐角必是第一象限的角 D.第二象限的角必大于第一象限的角 .

A 第一象限角 C 第三象限角

【例10】 下面四个命题中正确的是(

A.第一象限的角必是锐角 C.终边相同的角必相等

【例11】 已知角 ? 的终边经过点 P(?3, 3) ,则与 ? 终边相同的角的集合是
2π ? ? k ? Z? A. ? x x ? 2kπ ? , 3 ? ? 5π ? ? k ? Z? C. ? x x ? kπ ? , 6 ? ? 5π ? ? k ? Z? B. ? x x ? 2kπ ? , 6 ? ? 2π ? ? k ? Z? D. ? x x ? 2kπ ? , 3 ? ?

【例12】 若 ? 是第四象限角,则 180 ? ? 是(



A 第一象限角 C 第三象限角

B 第二象限角 D 第四象限角

【例13】 若 ? 与 ? 的终边互为反向延长线,则有(



2

A C

? ? ? ? 180
? ? ??

B D

? ? ? ? 180

? ? ? ? (2k ? 1) ? 180 , k ? Z

【例14】 与 1840 终边相同的最小正角为________,与 ?1840 终边相同的最小正角是

________。
【例15】 终边在坐标轴上的角的集合__. 【例16】 若 ? 和 ? 的终边关于 y 轴对称,则 ? 和 ? 的关系是__.

【例17】 ⑴若角 ? 和 ? 的终边关于 y 轴对称,则角 ? 和 ? 之间的关系为

. .

⑵若角 ? 与 ? 的终边关于 x 轴对称,则角 ? 和 ? 之间的关系为
【例18】 在 0
360 ,找出与下列各角终边相同的角,并判断它是哪个象限:

(1) ?120 ; (2) 950 12' 。
【例19】 写出终边在 x 轴上的角的集合(用 0 到 360 的角表示) 。 【例20】 若 ? ? ?216 , l ? 7? ,则 r ? _________(其中扇形的圆心角为 ? ,弧长为 l ,

半径为 r ) 。
【例21】 钟表经过 4 小时,时针与分针各转了____________(填度) 。

【例22】 如果角 ? 与角 ? ? 45 具有同一条终边,角 ? 与角 ? ? 45 具有同一条终边,那么

? 与 ? 的关系是什么?

【例23】 已知角 ? 是第二象限角,求

?
3

所在的象限。

3

kπ π kπ π ? ? ? ? ? , k ? Z? , P ? ? x x ? ? , k ? Z ? ,则 【例24】 已知集合 M ? ? x x ? 2 4 4 2 ? ? ? ?

.

A. M ? P

B. M ? P

C. M ? P

D. M

P??

【例25】 若 A ? {? | ? ? k ? 360 , k ? Z} ; B ? {? | ? ? k ?180 , k ? Z} ; C ? {? | ? ? k ? 90 , k ? Z} ,

则下列关系中正确的是( A C
A?B?C


A? B C

B D

A

B?C

A 刎B

C

【例26】 圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长,则其圆心角的弧度数为_________。

【例27】 用弧度制表示:①终边在 x 轴上的角的集合②终边在 y 轴上的角的集合③终边

在坐标轴上的角的集合。

【例28】 已知扇形周长为 10cm ,面积为 6cm 2 ,求扇形中心角的弧度数。

【例29】 视力正常的人,能读远处文字的视角不小于 5 ' ,试求: (1)距人 10 m 远处所能

阅读文字的大小如何?(2)要看清长,宽均为 5m 的大字标语,人距离标语的 最远距离是多少米?

【例30】 已知扇形的面积为 S ,当扇形的圆心角为多少弧度时,扇形的周长最小?并求

出此最小值。
5? 化成角度制。 12

【例31】 (1)把 112 30' 化成弧度制;

(2)把 ?

【例32】 求值: (1) sin

?
3

tan

?
3

? tan

?
6

cos

?
6

? tan

?
4

cos

?
2

(2) a sin

?
3

? b cos

?
4

? c tan 0 。

【例33】 已知扇形 AOB 的面积是 1cm2 ,它的周长是 4cm ,则弦 AB 的长等于多少 cm ?

4

【例34】 将下列各角表示为 ? ? k ? 360 k ? Z , 0 ? ? ? 360 的形式,并判断角在第几象

?

?

限。 (1) 560 24' ; (2) ?560 24' 。

【例35】 写出与下列各角终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式 ?720 ? ? ? 720

的元素 ? 写出来。 (1) ?210 (2) 1342 51' 。

【例36】 写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合(不包括边界) 。

图(1)

图(2)

【例37】 ⑴在 0? 与 360? 范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限

角: ① ?120? ;② 640? ;③ ?950?12? . ⑵分别写出与下列各角终边相同的角的集合 S , 写出 S 中满足不等式 ?360? ≤ ? ≤ 720? 的元素 ? :
① 80 ? ;② ?51? ;③ 367?34? . 【例38】 ⑴把 67?30 ' 化成弧度; 3 ⑵把 π rad 化成度. 5

9 【例39】 ⑴把 157?30? 化成弧度;⑵把 π rad 化成度. 5
【例40】 将下列各角化为 2kπ ? ? (0 ≤ ? ? 2π , k ? Z) 的形式,并判断其所在象限.

19 π; 3 (2)-315° ;
(1)

5

(3)-1485° . 【例41】 把下列各角写成 k ? 360? ? ? (0 ≤ ? ? 360?) 的形式,并指出它们所在的象限或终

边位置. ⑴ ? 135 ? ;⑵ 1110 ? ;⑶ ? 540 ? .
【例42】 写出终边在 y 轴上的角的集合.

【例43】 将第一象限角,第二象限角,第三象限角,第四象限角分别用弧度制的形式表

示.

【例44】 有人喜欢把表播快 5 分钟,那么在拨快 5 分钟的过程中,分针和时针分别转过

的弧度数是多少?

【例45】 已知 ? 是第二象限的角,若同时满足条件 ? ? 2 ≤ 4 ,求 ? 的取值区间.

【例46】 若 ? 是第二象限角,则:

⑴ ⑵

?
2

是第几象限角? 不在第几象限?

?
3

【例47】 ⑴已知扇形的周长为 10cm ,面积为 4cm 2 ,求扇形的圆心角和弧度数.

⑵已知扇形的周长为 40cm ,当它的半径和圆心角取什么值时,才能使扇形的 面积最大?最大面积是多少?

【例48】 若 1 段圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数是多

少? 题型二:任意角的三角函数
【例49】 已知角 ? 的终边经过点 P (2 , ? 3) ,求角 ? 的正弦、余弦和正切值。

6

【例50】 (1)已知角 ? ? ?

7? ,求 2 sin ? ? cos ? 的值; 3

(2)已知角 ? 的终边经过点 P(4a , ? 3a)(a ? 0) ,求 2 sin ? ? cos ? 的值。

【例51】 求函数 y ?

sin x cos x tan x ? ? 的值域。 | sin x | | cos x | | tan x |

【例52】 已知 cos ? ? ?

8 ,求 sin ? 和 tan? 的值。 17

【例53】 已知 sin ? ? 2 cos ? ,求

sin ? ? 4cos ? 及 sin 2 ? ? 2sin ? cos ? 的值。 5sin ? ? 2cos ?

【例54】 已知方程 2x2 ? ( 3 ? 1) x ? m ? 0 的两根分别是 sin ? , cos ? ,求

sin ? cos ? ? 1 1 ? tan ? 1? tan ?

的值。

【例55】 设角 ? 是第一象限角,且 | sin

?
2

|? ? sin

?
2

,则

?
2



) 。

A 第一象限角 C 第三象限角

B 第二象限角 D 第四象限角

【例56】 若三角形的两内角 ? , ? 满足 sin ? cos ? ? 0 ,则此三角形必为(

) 。

A

锐角三角形

B 钝角三角形 D 以上三种情况都可能

C 直角三角形

【例57】 若 ? 是第二象限角, P( x, 5) 为其终边上一点,且 cos ? ?

2 x ,则 sin ? 的值为 4 10 4

( A


10 4

B

6 4

C

2 4

D

?

7

【例58】 若 ? 是第三象限角,则下列各式中不成立的是(



A C

sin ? ? cos ? ? 0 cos ? ? tan ? ? 0

B D

tan ? ? sin ? ? 0 tan ? sin ? ? 0

? n? ? ? ? ? ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? 【例59】 设 f (n) ? tan ? 4? ? 2

? f (2005) 的值为(



A 0

B ?1

C 1

D



【例60】 已知角 ? 的终边经过 (2a ? 3 , 4 ? a) ,且 cos ? ? 0 , sin ? ? 0 ,则 ? 的取值范围

是___________。

【例61】 sin 390 ? _________; cos(?315 ) ? _________; tan

8? ? _________。 3

【例62】 确定下列各式的符号。

(1) sin100 cos 240 ;

(2) sin 5 ? tan 5 。

【例63】 已知角 ? 的终边上一点 P 的坐标是 ( x , ? 2)( x ? 0) ,且 cos ? ?

x ,求 sin ? 和 tan ? 3

的值。

?1? 【例64】 已知 ? ? ?2?

sin 2?

? 1 ,则 ? 为第几象限角?

3 【例65】 已知 cos ? ? ? , ? 是第二象限角,那么 tan? 的值等于( 5

) 。

A

4 3

B

?

4 3

C

3 4

D

?

3 4

【例66】 已知 sin ? ? cos ? ?

1? 3 ,且 0 ? ? ? ? ,则 tan? 的值为( 2

) 。

8

A

?

3 3

B

? 3

C

3 3

D

3

【例67】 已知 tan ? ? 2 ,求

sin ? ? cos ? 的值( 2sin ? ? 3cos ?


?3

A

2

B

3

C

1

D

1 【例68】 已知 ? 是三角形的内角, sin ? ? cos? ? ,则 sin ? ? cos ? 的值为( 5



A

?

1 5

B

?

7 5

C

7 5

D

1 5
1 ? sin ? 1 ? sin ? ? 。 1 ? sin ? 1 ? sin ?

【例69】 已知 ? 是第三象限角,化简

【例70】 已知 ? 是第二象限角,化简

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? 为( 1 ? sin ? 1 ? sin ?

) D
? tan?

A

?2 tan ?

B

2 tan ?

C

tan?

【例71】 化简 1 ? sin 2 440 ? ___________;

1 ? sin6 x ? cos6 x ? ___________。 1 ? sin 4 x ? cos4 x

【例72】 已知 sin ? ? 2sin ? , tan ? ? 3tan ? ,则 cos2 ? ? _________。

【例73】 已知: sin ? ?

1 且 tan ? ? 0 ,试求 cos? , tan? 的值。 5

【例74】 已知 tan ? ? 2 ,求下列各式的值:

sin 2 ? ? 2sin ? ? cos ? ? cos2 ? 4sin ? ? cos ? ; (2) ; 3sin ? ? 5cos ? 4cos2 ? ? 3sin 2 ? 3 1 (3) sin 2 ? ? cos2 ? ; (4) sin ? ? cos ? 。 4 2

(1)

【例75】 设 cos ? ? 0 且 tan ? ? 0 ,确定 ? 是第几象限角.

9

【例76】 若角 ? 满足条件 sin 2? ? 0 , cos ? ? sin ? ? 0 ,则 ? 在第几象限?

【例77】 ⑴已知角 ? 的终边经过点 P(?2, 5) ,求 ? 的六个函数值.

⑵求下列各角的六个三角函数值:① 0 ;②

π . 2

【例78】 ⑴已知 sin ? ?

12 ,并且 ? 是第二象限角,求 cos ? , tan ? , cot ? . 13

4 ⑵已知 cos ? ? ? ,求 sin ? , tan ? . 5

⑶化简: 1 ? 2sin 40 cos 40

【例79】 已知角 ? 的终边经过点 P (m ? n, 2 mn )(m ? n ? 0) ,问 ? 是第几象限的角,

并求出 ? 的六个三角函数值.
i n ?? 【例80】 已知角 ? 的终边上的一点 P 的坐标为 (? 3 , y)( y ? 0) , 且s 2 y, 求 cos? 4

和 tan? 值.
【例81】 已知 sin ? ? cos ? ?

1 ,求下列各式的值. 5

⑴ sin ? cos ? ; ⑵ sin 3 ? ? cos3 ? ; ⑶ sin 4 ? ? cos4 ? .
1 【例82】 已知 tan ? ? ? ,计算: 3



sin ? ? 2cos ? 1 ;⑵ ;⑶ sin ? cos ? . 5cos ? ? sin ? 2sin ? cos? ? cos2 ?
1

【例83】 求函数 y ?

log2 sin x ? 1 的定义域
1 sin x

【例84】 求函数 y ? 16 ? x ?
2

的定义域.

? 3π ? 【例85】 求函数 y ? cos 2 ? ? x ? ? 2a sin(? x) ? 2 的最小值. ? 2 ?

10

【例86】 若 f (sin x) ? 3 ? cos 2 x ,则 f (cos x) ? (

) D. 3 ? sin 2 x

A. 3 ? cos 2 x

B. 3 ? sin 2 x

C. 3 ? cos 2 x

【例87】 设 f ( x) ? cos

?x
12

,求f (1) ? f (2) ? f (3) ? ... ? f (1212 ) 的值.

【例88】 已知 ? 为锐角,用三角函数的定义证明 1 ? sin ? ? cos? ≤ 2 .

【例89】 化简

tan ? ? tan ? ? sin ? 1 ? sec ? ? tan ? ? sin ? 1 ? csc ?

【例90】 求证:

tan2 ? ? cot2 ? ? sec 2 ? ? csc 2 ? . 2 2 sin ? ? cos ?

【例91】 根据定义证明 (sin ? ? tan ? )(cos ? ? cot ? ) ? (1 ? sin ? )(1 ? cos ? ) .

【例92】 求证:

1 ? 2sin x cos x 1 ? tan x . ? cos2 x ? sin 2 x 1 ? tan x

π x ? ? ) ,其中 a,b,?,??都是非零实 【例93】 已知函数 f ( x) ? a sin(π x ? ? ) ? b cos(
数,且满足 f (2005) ? ?1 ,求 f (2006) 的值.

【例94】 已知 tan? 是方程 x 2 ? 2 x sec ? ? 1 ? 0 的两个根中较小的根,求 ? 的值.

【例95】 已知 sin ? 是方程 5 x ? 7 x ? 6 ? 0 的根,求
2

1 3? 19? sin 2 [(2k ? )? ? ? ] ? cos 2 (? ? ) ? cot 2 ( ? ? )( k ? Z ) 的值 2 2 2

11


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