[实用参考]二次函数知识点总结及典型例题

优质参考文档 浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题 知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地,如果,特别注意 a 不为零,那么 P 叫做 G 的二次函数。叫做二次 函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于对称的曲线,这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征: ①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法--------五点作图法: (1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点 M, 并用虚线画出对称轴 (2)求抛物线与坐标轴的交点: 当抛物线与 G 轴有两个交点时,描出这两个交点 A,B 及抛物线与 P 轴的交 点 C,再找到点 C 的对称点 D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向 上或向下延伸,就得到二次函数的图像。 当抛物线与 G 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与 P 轴的交点 C 及 对称点 D。由 C、M、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较 精确的图像,可再描出一对对称点 A、B,然后顺次连接五点,画出二次函数的 图像。 【例 1】、已知函数 P=G2-2G-3, (1)写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点,以及图象与 P 轴的交点关于 图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图; (2)求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积: (3)根据第(1)题的图象草图,说出 G 取哪些值时,①P=0;②P<0;③P>0 知识点二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式:口诀-----一般两根三顶点 (1)一般一般式: (2)两根当抛物线与 G 轴有交点时,即对应的一元二次方程有实根和存在 时,根据二次三项式的分解因式,二次函数可转化为两根式。如果没有交点,则 不能这样表示。 a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 (3)三顶点顶点式:当题目中告诉我们抛物线的顶点时,我们最好设顶点 优质参考文档 优质参考文档 式,这样最简洁。 【例 1】、抛物线与 G 轴交于 A(1,0),B(3,0)两点,且过(-1,16),求 抛物线的解析式。 【例 2】、如图,抛物线与 G 轴的一个交点 A 在点(-2,0)和(-1,0)之间(包 括这两点),顶点 C 是矩形 DEFG 上(包括边界和内部)的一个动点,则(1) abc 0(>或<或=) (2)a 的取值范围是 【例 3】、下列二次函数中,图象以直线 G=2 为对称轴,且经过点(0,1)的是() A.P=(G?2)2+1B.P=(G+2)2+1C.P=(G?2)2?3D.P=(G+2)2?3 知识点三、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值), 即当时,。 如果自变量的取值范围是,那么,首先要看是否在自变量取值范围内,若在此范 围内,则当 G=时,;若不在此范围内,则需要考虑函数在范围内的增减性,如 果在此范围内,P 随 G 的增大而增大,则当时,,当时,;如果在此范围内,P 随 G 的增大而减小,则当时,,当时,。 【例 1】、已知二次函数的图像(0≤G≤3)如图所示,关于该函数在所给自变量取 值范围内, 下列说法正确的是() A.有最小值 0,有最大值 3 B.有最小值-1,有最大值 0 C.有最小值-1,有最大值 3 D.有最小值-1,无最大值 【例 2】、某宾馆有 50 个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天 l80 元时, 房间会全部住满. 当每个房间每天的房价每增加 10 元时,就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居 住的每个房间每 天支出 20 元的各种费用.根据规定,每个房间每天的房价不得高于 340 元.设 每个房间的房价每天增加 G 元(G 为 10 的正整数倍).(1)设一天订住的房间数 为 P,直接写出 P 与 G 的函数关系式及自变量 G 的取值范围; (2)设宾馆一天的利润为 w 元,求 w 与 G 的函数关系式; (3)一天订住多少个房间时,宾馆的利润最大?最大利润是多少元? 知识点四、二次函数的性质 y 3 1 -OO1 2 O 优质参考文档 优质参考文档 1、二次函数的性质 函 二次函数 数 a>0 a<0 P P 图 0G 0G 像 (1)抛物线开口向下,并向下无限延伸; (1)抛物线开口向上,并向上无限延伸; (2)对称轴是 G=, (2)对称轴是 G=, 顶点坐标是(,); 顶点坐标是(,); (3)在对称轴的左侧,即当 G≤时,P 性 (3)在对称轴的左侧,即当 G≤时,P 随 随 G 的增大而增大;在对称轴的右侧, 质 G 的增大而减小;在对称轴的右侧,即当 G 即当 G≥时,P 随 G 的增大而减小,简记 ≥时,P 随 G 的增大而增大,简记左减右增; 左增右减; (4)抛物线有最低点,当 G=时,P 有最 (4)抛物线有最高点,当 G=时,P 有最 小值, 大值, 2、二次函数中,的含义: 表示开口方向:>0 时,抛物线开口向上 <0 时,抛物线开口向下 与对称轴有关:对称轴为 G= 表示抛物线与 P 轴的交点坐标:(0,) 3、二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 G 轴的交点横坐标。 因此一元二次方程中的,在二次函数中表示图像与 G 轴是否有交点。 当>0 时,图像与 G 轴有两个交点; 当=0 时,图像与 G 轴有一个交点; 当<0 时,图像与 G 轴没有交点。 【例 1】、抛物线 P=G2-2G-3 的顶点坐标是 . 【例 2】、二次函数有()A.最大值 B.最小值 C.最大值 优质参考文档 优质参考文档 D.最小值 【例 3】、由二次函数,可知() A.其图象的开口向下 B.其图象的对称轴为直线 C.其最小值为 1D.当时,P 随 G 的增大而增大 【例 4】、已知函数

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