北京市房山区周口店中学2015届高三上学期期中考试数学(文)试题

北京市房山区周口店中学 2015 届高三上学期期中考试数学 (文)试题 一、选择题 本题共 8 小题,每个小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 .. 一个选项 是符合题意。 .... 1.设集合 M ? ?1, 2, 3, 4, 5? ,集合 N ? ?2, 4,6? ,集合 T ? ?4, 5, 6? ,则 ( M ( A. ) . T) N是 ?2, 4, 5, 6? B. ) ?4, 5, 6? C. ?1, 2, 3, 4, 5, 6? D. ?2, 4, 6? 2.复数 i ?( 1? i 1 i A. ? 2 2 B. 1 i ? 2 2 C. ? 1 i ? 2 2 D. ? 1 i ? 2 2 ) 3.设数列 {an } 是等比数列,则“ a1 ? a2 ? a3 ”是“数列 {an } 为递增数列”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.执行如图所示的程序框图,若输入的 x 的值为 2 , 则输出的 x 的值为( A. 3 C. 127 ) B. 126 D. 128 5. 若向量 a =(1,2)与向量 b =(-1, x)平行,则 x 等于( (A)-2 (B)2 (C)- ? ? ) (D) 1 2 1 2 6.某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入客运,据市场分析,每辆 客车营运的总利润 y 万元与营运年数 x (x∈N*)的关系式为 y=-x2+12x-25, 则为使其营运 年平均利润最大,每辆客车营运年数为( A.2 B.4 C .5 ) D.6 7. 函数 y ? 2sin(? x ? ? ) 在一个周期内的图 象如图所示,则此函数的解析式可能是( ) (A) (B) (C) (D) y ? 2sin(2 x ? ) 4 y ? 2sin(2 x ? ) 4 3? y ? 2sin( x ? ) 8 x 7? y ? 2sin( ? ) 2 16 ? ? 8.已知函数 f ( x) ? ? x ( x ? R) ,区间 M ? [a , b] (a ? b) , 1? x ) x ? M ? ,则使 M ? N 成立的实数对 (a , 集合 N ? y y ? f ( x ), b) 有( A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D.无数个 ? 第 II 卷(共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分 9.函数 f ( x ) ? x ? 1 (x ? 1) 的最小值为 x ?1 . 10.在△ ABC 中,如果 a ? 3 , b ? 2 , c ? 1 ,那么 A 的值是______________ ? x ? 1, ? 11.二元一次不等式组 ? y ? 0 , 所表示的平面区域的面积为 ?x ? y ? 2 ? 0 , ? 12.等差数列 {an } 的公差 d=3,且 a3 = 6 ,则 a10 等于______________ 13.如图,某三棱锥的三视图都是直角边为 2 的等腰直角三角形, 则该三棱锥的体积是 , 14.右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列,从第三行起,每一行数成 * a a 等比数列, 而且每一行的公比都相等, 记第 i 行第 j 列的数为 ij( i ? j, i, j ? N ) , 则 53 等于 , amn ? ____(m ? 3) . 1 4 1 1 , 2 4 3 3 3 , , 4 8 16 ? 三、解答题(本大题共 6 小题共 80 分,解答应写出文字说明演算步骤或证明过 程。 ) 15. (本题共 13 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,锐角 ? 和钝角 ? 的终边分别与单位圆交 于 A , B 两点. y B A O x (Ⅰ)若点 A 的横坐标是 (Ⅱ) 若∣AB∣= 3 12 ,点 B 的纵坐标是 ,求 sin(? ? ? ) 的值; 5 13 3 , 求 OA ? OB 的值. 2 16.( 本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,PD ? 底面 ABCD ,底面 ABCD 是正方形, AC 与 BD 交于点 O , E 为 PB 的中点. (Ⅰ)求证: EO ∥平面 PAD ; (Ⅱ)求证: AC ? PB . E P D O C 17. (本小题满分 13 分) A B 北京市各级各类中小学每年都要进行 “学生体质健康测试” ,测试总成绩满分为 100 分, 规定测试成绩在 [85 , 100] 之间为体质优秀;在 [75 , 85) 之间为体质良好;在 [60 , 75) 之间 为体质合格;在 [0 , 60) 之间为体质不合格. 现从某校高三年级的 300 名学生中随机抽取 30 名学生体质健康测试成绩,其茎叶图如 下: 9 8 7 6 5 1 0 0 4 6 3 1 5 5 5 1 6 8 6 2 6 2 7 3 9 3 3 4 4 5 6 6 7 7 9 (Ⅰ)试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数; (Ⅱ)根据以上 30 名学生体质健康测试成绩,现采用分层抽样的方法,从体质为优秀 和良好的学生中抽取 5 名学生,再从这 5 名学生中选出 3 人. (ⅰ)求在选出的 3 名学生中至少有 1 名体质为优秀的概率; (ⅱ)求选出的 3 名学生中体质为优秀的人数不少于体质为良好的人数的概率 18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x (I)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (II)求 f ( x) 的单调区间; (III)若函数 f ( x) 没有零点,求 a 的取值范围. 19. (本小题满分 14 分) 已知椭

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