2014届高考数学(理)一轮复习专题集训:空间几何体的结构特征及三视图和直观图 1

空间几何体的结构特征及三视图和直观图
(时间:45 分钟 分值:100 分) 基础热身 1.[2013· 海口一模] 如图 K37-1,△A′B′C′是△ABC 的直观图,那么△ABC 是(

)

图 K37-1 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 2.[2013· 沈阳三模] 如图 K37-2,下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同 的是( )

图 K37-2 A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 3.[2013· 昆明三模] 已知一个几何体的三视图如图 K37-3 所示,

图 K37-3 则此几何体的组成为( ) A.上面为棱台,下面为棱柱 B.上面为圆台,下面为棱柱 C.上面为圆台,下面为圆柱 D.上面为棱台,下面为圆柱 4. [2013· 广东卷] 正五棱柱中, 不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它 的对角线,那么一个正五棱柱对角线的条数为( ) A.20 B.15 C.12 D.10

能力提升 5.[2013· 成都二模] 图 K37-4 为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是(

)

图 K37-4

图 K37-5 6. [2013· 石家庄二模] 如图 K37-6, △ABC 为正三角形, AA′∥BB′∥CC′, CC′⊥平面 ABC

3 且 3AA′= BB′=CC′=AB,则多面体 ABC-A′B′C′的正视图是( 2

)

图 K37-6

图 K37-7

7.[2013· 南宁一模] 若某几何体的三视图如图 K37-8 所示,则这个几何体的直观图可以 是( )

图 K37-8

图 K37-9 8.如图 K37-10,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为 3 和 4,过直角顶 点的侧棱长为 4,且垂直于底面,该三棱锥的正视图是( )

图 K37-10

图 K37-11 9.已知某一几何体的正视图与侧视图如图 K37-12 所示,则在图 K37-13 所示图形中, 可以是该几何体的俯视图的图形有( )

图 K37-12

图 K37-13

A.①②③⑤ B.②③④⑤ C.①②④⑤ D.①②③④ 10.[2013· 长沙一模] 用单位正方体块搭一个几何体,使它的正视图和俯视图如图 K37- 14 所示,则它的体积的最大值为________,最小值为________.

图 K37-14

图 K37-15

11. 有一块多边形的菜地, 它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图 K37 -15 所示), ∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这块菜地的面积为________. 12.[2013· 太原二模] 如图 K37-16 所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底 面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的,现用一个平面去截这个几何体,若这个平面 垂 直 于 圆 柱 底 面 所 在 平 面 , 那 么 所 截 得 的 图 形 可 能 是 图 K37 - 17 中 的 ________________________________________________________________________. (把可能的图的序号都填上)

图 K37-16

图 K37-17 13. 棱长为 a 的正四面体 ABCD 的四个顶点均在一个球面上, 则此球的半径 R=________. 14.(10 分)从一个底面半径和高均为 R 的圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底,下底面中 心为顶点的圆锥,得到如图 K37-18 所示的几何体,如果用一个与圆柱下底面距离等于 l 并 且平行于底面的平面去截它,求所得截面的面积.

图 K37-18

15.(13 分)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,轴截面的面积等于 392 cm2, 母线与轴的夹角为 45°,求这个圆台的高、母线长和底面半径.

难点突破 16.(12 分)在半径为 25 cm 的球内有一个截面,它的面积是 49π cm2,求球心到这个截面 的距离.

【基础热身】 1.B [解析] 由斜二测画法知 B 正确. 2.D [解析] 正方体的正视图、侧视图、俯视图都为正方形;圆锥的正视图、侧视图、 俯视图依次为:三角形、三角形、圆;三棱台的正视图、侧视图、俯视图依次为梯形、梯形、 三角形;正四棱锥的正视图、侧视图、俯视图依次三角形、三角形、正方形,三棱台的正视 图和侧视图虽然都是梯形,但它们不相同,故选 D. 3.C [解析] 结合图形分析知上面为圆台,下面为圆柱. 4.D [解析] 一个下底面 5 个点,每个下底面的点对于 5 个上底面的点,满足条件的对 角线有 2 条,所以共有 5×2=10 条. 【能力提升】 5.C [解析] 根据斜二测画法的规则,将直观图还原,可知选 C. 6.D [解析] 正视图是从正前方向后投影,由条件知 AA′∥BB′∥CC′,CC′⊥平面 ABC, 故其正投影是三条平行的线段,且都与 AB 的投影垂直,CC′应为虚线,其长度比为 AA′∶ BB′∶CC′= 1∶2∶3,其投影保持这个长度此不变,故选 D. 7.B [解析] 根据选项 A,B,C,D 中的直观图,画出其三视图,只有 B 符合. 8.B [解析] 三棱锥的正视图应为高为 4,底面边长为 3 的直角三角形. 9. D [解析] 因几何体的正视图和侧视图一样, 所以易判断出其俯视图可能为①②③④, 故选 D. 10.14 9 [解析] 由俯视图及正视图可得下图,由图示可得体积的最大值为 14,体积的 最小值为 9.

11.2+

2 2

[解析] 在直观图中,过点 A 作 AE⊥BC,垂足为 E, 则在 Rt△ABE 中,AB 2 . 2 2 +1. 2

=1,∠ABE=45°,∴BE=

而四边形 AECD 为矩形,AD=1, ∴EC=AD=1,∴BC=BE+EC= 由此可还原原图形如图. 在原图形中,A′D′=1,A′B′=2, B′C′= 面积为 1 1 2 2 S= (A′D′+B′C′)·A′B′ = ×?1+1+ ?×2=2+ . 2 2 ? 2 2? 12.①③ [解析] 截面为轴截面时可得①,不是轴截面时可得③.

2 +1, 且 A′D′∥B′C′,A′B′⊥B′C′,∴这块菜地的 2

6 a [解析] 如图所示,设正四面体 ABCD 内接于球 O,由 D 点向底面 ABC 作垂线, 4 垂足为 H,连接 AH,OA, 13.

2 3 6 3 a,DH= a2-? a? = a. 3 ?3 ? 3 2 2 6 3 6 在 Rt△AOH 中,? a? +? a-R? =R2,解得 R= a. 4 ?3 ? ?3 ? 14.解:几何体轴截面如图所示,被平行于下底面的平面所截的圆柱截面半径 O1C=R,

则可求得 AH=

设圆锥截面半径 O1D=x, ∵OA=AB=R, ∴△OAB 为等腰直角三角形. 又 CD∥OA,∴BC=CD=R-x, 又 BC=R-l,故 x=l, 截面面积为 S=π R2-π l2=π (R2-l2). 15.解: 圆台的轴截面如图.

设圆台的上、下底面半径分别为 x cm 和 3x cm,延长 AA1 交 OO1 的延长线于点 S. 在 Rt△SOA 中,∠ASO=45°,则∠SAO=45°. 所以 SO=AO=3x,同理 SO1=A1O1=x,所以 OO1=2x. 1 又 ×(6x+2x)×2x=392,解得 x=7, 2 所以圆台的高 OO1=14 cm, 母线长 l= 2OO1=14 2 cm, 底面半径分别为 7 cm 和 21 cm. 【难点突破】

16.解:设球半径为 R,截面圆的半径为 r,球心到截面的距离为 d,如图. ∵S=π r2=49π cm2, ∴r=7(cm). ∴d= R2-r2= 252-72=24(cm). ∴球心到这个截面的距离为 24 cm.


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