2015届四川省成都市高三摸底(零诊)考试数学理试题(解析版)

四川省成都市 2015 届高三摸底(零诊)

数学(理)试题
【试卷综析】本试卷是高三摸底试卷,考查了高中全部内容.以基础知识和基本技能为 载体,以能力测试为主导,在注重考查学科核心知识的同时,突出考查考纲要求的基本 能力,重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识,兼顾 覆盖面.试题重点考查:数列、三角、概率、导数、圆锥曲线 、立体几何综合问题、程 序框图、平面向量、基本不等式、函数等;考查学生解决实际问题 的综合能力。是份 非常好的试卷. 第 I 卷(选择题,共 50 分) 一、选择题.本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知向量 a=(5,-3) ,b=(-6,4) ,则 a+b= (A) (1,1) (B) (-1,-1) (C) (1,-1) (D) (-1,1) 【知识点】向量的坐标运算 【答案解析】D 解析:解:由向量的坐标运算得 a+b=(5,-3)+(-6,4)=(-1,1) ,所以 选 D. 【思路点拨】 本题主要考查的是向量加法的坐标运算, 可直接结合向量加法的运算法则计算. 2.设全集 U={1,2,3,4},集合 S={l,3},T= {4},则( ?U S) (A){2,4} (B){4} 【知识点】集合的运算 (C) ? T 等于 (D){1,3,4}

【答案解析】A 解析:解:因为 ?U S={2,4},所以( ?U S)

T={2,4},选 A.

【思路点拨】本题主要考查的是集合的基本运算,可先结合补集的含义求 S 在 U 中的补集, 再结合并集的含义求 S 的补集与 T 的并集. 3.已知命题 p: ?x ∈R,2 x =5,则 ? p 为 (A) ?x ? R,2 x =5 (C) ?x0 ∈R,2
x0

(B) ?x ? R,2 x ? 5 =5 (D) ?x0 ∈R,2
x0

≠5

【知识点】全称命题及其否定 【答案解析】D 解析:解:结合全称命题的含义及其否定的格式:全称变特称,结论改否定, 即可得 ? p 为 ?x0 ∈R,2
x0

≠5,所以选 D.

【思路点拨】 全称命题与特称命题的否定有固定格式, 掌握其固定格式即可快速判断其否定. 4.计算 21og63 +log64 的结果是 (A)log62 (B)2 (C)log63 (D)3 【知识点】对数的运算

【答案解析】B 解析:解:21og63 +log64=1og69+log64=1og636=2,所以选 B. 【思路点拨】在进行对数运算时,结合对数的运算法则,一般先把对数化成同底的系数相同 的对数的和与差再进行运算,注意熟 记常用的对数的运算性质.

?x ? 0 ? 5.已知实数 x,y 满足 ? y ? 0 ,则 z=4x+y 的最大值为 ?x ? y ? 2 ?
(A)10 (B)8 (C)2 ( D)0 【知识点】简单的线性规划 【答案解析】B 解析:解:作出不等式组表示的平面区域为如图中的三角形 AOB 对应的区 域,平移直线 4x+y=0,经过点 B 时得最大值,将点 B 坐标(2,0)代入目标函数得最大值为 8,选 B.

【思路点拨】对于线性规划问题,通常先作出其可行域,再对目标函数进行平行移动找出使 其取得最大值的点,或者把各顶点坐标代入寻求最值点. 6.已知 a,b 是两条不同直线,a 是一个平面,则下列说法正确的是 (A)若 a∥b.b ? ? ,则 a// ? (B)若 a// ? ,b ? ? ,则 a∥b (C)若 a⊥ ? ,b⊥ ? ,则 a∥b (D)若 a⊥b,b⊥ ? ,则 a∥ ? 【知识点】线面平行的判定、线面垂直的性质 【答案解析】C 解析:解:A 选项中直线 a 还可能在平面α 内,所以错误,B 选项直线 a 与 b 可能平行还可能异面,所以错误,C 选项由直线与平面垂直的性质可知正确,因为正确的 选项只有一个,所以选 C 【思路点拨】 在判断直线与平面平行时要正确的理解直线与平面平行的判定定理, 应特别注 意定理中的“平面外一条直线与平面内的一条直线平行” ,在判断位置关系时能用定理判断 的可直接用定理判断,不能直接用定理判断的可考虑用反例排除. 7.PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可 A 肺颗粒物,一般情况 下 PM2.5 浓度越大,大气环境质量越差右边的茎叶图表示的是成都市区甲、乙两个监测站 某 10 日内每天的 PM2.5 浓度读数(单位: ? g/m3)则下列说法正确的是 (A)这 l0 日内甲、乙监测站读数的极差相等 (B)这 10 日内甲、乙监测站读数的中位数中,乙的较大 (C)这 10 日内乙监测站读数的众数与中位数相等 (D)这 10 日内甲、乙监测站读数的平均数相等 【知识点】茎叶图、中位数、众数、平均数 【答案解析】C 解析:解:因为甲、乙监测站读数的极差分别为 55,57, 所以 A 选项错误,10 日内甲、乙监测站读数的中位数分别为 74,68,所以 B 选项错误,10 日内乙监测站读数的众数与中位数都是 68,所以 C 正确,而正确的选项只有一个,因此选 C.

【思路点拨】结合所给的茎叶图正确读取数据是解题的关键,同时要理解中位数、众数、平 均数各自的含义及求法. 8.已知函数 f(x)= 3sin ? x ? cos ? x(? ? 0) 的图象与直线 y= -2 的两个相邻公共点之间 的距离等于π ,则 f(x)的单调递减区间是 (A) ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? ,k∈z 3 ? ? 4? ? ,k∈z 3 ? ?

(B) ? k? ?

? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

,k∈z

(C) ? 2k? ?

? ?

?
3

, 2 k? ?

(D) ? 2k? ?

? ?

?
12

, 2 k? ?

5? ? ,k∈z 12 ? ?

【 知 识 点 】 函 数 y=Asin( ω x+ φ ) 的 图 象 与 性 质 【 答 案 解 析 】 A 解 析 : 解 : 因 为

?? ? f ? x ? ? 2sin ? ? x ? ? ,则图象与直线 y= -2 的两个相邻公共点之间的距离等于一个周期, 6? ?
所 以

2?

?

? ? , 得 ω =2 , 由 2k? ?

?
2

? 2? x

?

? 6

? 2k ?

3

2

?

?

? , k? , Z得


k? ?

?
6

? x ? k? ?

2? ? 2? ? k ? ? , k ? ? ,k∈z ? k ? Z ? ,所以其单调递减区间是 ? ? 3 6 3 ? ? ?

A.[来源:学+科+网] 【思路点拨】注意该题中直线 y=-2 的特殊性:-2 正好为函数的最小值,所以其与函数的 两个相邻公共点之间的距离等于函数的最小正周期[来源:学,科,网] 9.已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(4-x)=f(x) ,且当 x∈ ? ?1,3? 时,f(x)

? x 2 , x ? (?1,1) ? =? 则 g(x)=f(x)-|1gx|的零点个数是 ? ?1 ? cos x, x ? ?1,3? ? 2
(A)7 (B)8 (C)9 【知识点】函数的图象、偶函数、函数的周期性 (D)10

【答案解析】D 解析:解:由函数 f(x)满足 f(4-x)=f(x) ,可知函数 f(x)

的图象关于直线 x=2 对称.先画出函数 f(x)当 x∈(-1,3]时的图象,再画出 x∈[0,10]图象.画出 y=|lgx|的图象.可得 g(x)在 x≥0 时零点的个数为 10, 故选 D

【思路点拨】由函数 f(x)满足 f(4-x)=f(x) ,可知函数 f(x)的图象关于直

线 x=2 对称,先画出函数 f(x)当 x∈ (-1,3]时的图象,再画出 x∈[0,10] 图象,可得 g(x)在 x≥0 时零点的个数.
10.如图,已知椭圆 Cl:

x2 2 x2 y 2 +y =1,双曲线 C2: 2 ? 2 =1(a>0,b>0) ,若以 C1 的长轴 11 a b

为直径的圆与 C2 的一条渐近线相交于 A,B 两点,且 C1 与该渐近线的两交 点将线段 AB 三等分,则 C2 的离心率为 (A)5 (C) 5 (B) 17

(D)

2 14 7

【知识点】椭圆、双曲线性质的应用 【答案解析】C 解析:解:因为 AB 方程为 y ? 一象限的交点横坐标 x ?

b x ,与椭圆方程联立得渐进线与椭圆在第 a

1 1 b2 ? 11 a 2

,因为且 C1 与该渐近线的两交点将线段 AB 三等分,由

椭圆的对称性知该点到原点的距离为

1 ? 2 11 ,又由弦长公式得该交点到原点的距离为 6

1?

b2 ? a2

b2 c2 a 2 ? b2 b2 1 ? 1 ? ? 5 ,得 ? ? 2 11 ,整理得 2 ? 4 ,得 e2 ? 2 ? a a a2 a2 1 b2 6 ? 11 a 2

1

e ? 5 ,所以选 C
【思路点拨】 一般求离心率问题就是通过已知条件得到关于 a, b, c 的关系式, 再求

c 即可, a

本题注意抓住 AB 长为圆的直径, 直线 AB 与椭圆在第一象限的交点到原点的距离等于直径 的

1 ,即可建立 a,b,c 关系. 6

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分答案填在答题卡上。 11.已知 a∈ ? 0,

4 ? ?? ? , cos ? ? ,则 sin(? ? ? ) ? 5 ? 2?



【知识点】诱导公式、同角三角函数基本关系式. 【答案解析】

3 3 ? ?? 2 解析:解:因为 ? ? ? 0, ? ,所以 sin ?? ? ? ? ? sin ? ? 1 ? cos ? ? . 5 5 ? 2?

【思路点拨】 在三角求值中有诱导公式特征的应先用诱导公式化简, 本题先化简再利用同角 三角函数中的余弦和正弦的平方关系计算,注意开方时要结合角所在的象限确定开方的符

号. 12.当 x>1 时,函数 y=x+ 【知识点】基本不等式 【答案解析】3 解析:解:因为 x>1,所以 x-1>0,则函数 y=x+

1 的最小值是____ x ?1

。[来源:Z&xx&k.Com]

1 1 =x-1+ +1≥ x ?1 x ?1

2

? x ? 1? ?

1 1 +1=3,当且仅当 x ? 1 ? 即 x=2 时等号成立,所以最小值为 3. x ?1 x ?1

【思路点拨】对于函数求最值问题,若具有基本不等式特征可考虑用基本不等式求最值,用 基本不等式求最值应注意得到最值的三个要素:一正,二定,三相等. 13.如图是一个几何体的本视图,则该几何体的表面积是 。

【知识点】由三视图求几何体的表面积. 【答案解析】26 ? 12 2 解析: 解: 由几何体的三视图可知该几何体为一个倒放的直三棱柱, 则其侧面积为 2 ? 2 ? 2 2 ? 6 ? 24 ? 12 2 ,又两个底面面积为 几何体的表 面积为 28 ? 12 2 【思路点拨】由三视图求几何体的表面积问题,可先结合三视图还原原几何体,再结合几何 体的特征计算. 14.运行如图所示的程序框图,则输出的运算结果是____ 【知识点】程序框图 【答案解析】 。

?

?

1 ×2×2×2=4,所以该 2

1 1 4 ? 1? , 解析:解:该程序框图为循环结构,第一次执行循环体得 S= 1? 2 2 5 1 1 1 1 i=2 , 第 二 次 执 行 循 环 体 得 S= ? 1 ? ? ? ? 1 ? , i=3 , 第 三 次 执 行 循 环 体 得 2 2 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 4 S= 1 ? ? ? ? 1 ? ,i=4,第四次执行循环体得 S= 1 ? ? ? ? 1 ? ? ,此时满足 3 3 4 4 4 4 5 5 5 4 判断框,跳出循环体,所以输出结果为 . 5
【思路点拨】对于循环结构的程序框图,可依次执行循环体,直到满足判断框,若需要循环

的次数较多时,可结合数列知识进行解答. 15.已知直线 y=k ? x ?

? ?

1? ? 与曲线 y ? x 恰有两个不同交点,记 k 的所有可能取值构成集 4?
x2 y 2 ? =l 上一动点,点 P1(x1,y1)与点 P 关于直线 y=x+l 对称, 16 9

合 A;P(x,y)是椭圆



y1 ? 1 的所有可能取值构成集合 B,若随机地从集合 A,B 中分别抽出一个元素 ?1 , ? 2 , 4


则 ?1 > ? 2 的概率是____

【知识点】几何概型、椭圆性质、直线与曲线位置关系的应用 【答案解析】

1? 3 ? 解析:解:若直线 y=k ? x ? ? 与曲线 y ? x 恰有两个不同交点,联立方 4? 4 ?

程得 k x ? ?
2 2

1 ? 1 ? ?1 2 ? k ? 1? x ? k 2 ? 0 ,由△=0 得 k=±1,结合图形知若过点 ? ? , 0 ? 的直线 ? 4 ? ?2 ? 16

与抛物线 y ? x 在 x 轴上方有 2 个不同交点,则有 0<k<1,所以 A={k│0<k<1};又点
2

P1(x1,y1)关于直线 y=x+l 对称点坐标为 ? y1 ? 1, x1 ? 1? ,则

y1 ? 1 x ? ? ? ?1,1? ,即 4 4

B=[-1,1],则总体为两个集合构成的矩形区域 ABCD,所求的事件为四边形 OBCD 对应 的区域,因为矩形区域 ABCD 的面积为 2,三角形 AOD 的面积为

1 ,所以所求的概率为 2

1 3 1? 2 ? . 2 4

【思路点拨】一般由曲线交点个数问题求参数范围,可结合图象分析;熟记点关于形如直线 y=±x+m 对称点的规律可减少运算量,若所求事件的概率问题与两个连续变量有关,可归 结为几何概型的面积问题解答. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分解答应写出立字说明、证明过程或推演步骤。 16. (本小题满分 12 分) 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2=3,S7=49,n ? N*。 (I)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 b2 ?

(an ? 1) ? 2n ?1 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. n

【知识点】等差数列与等比数列的通项公式与求和公式 【答案解析】 ( I ) an ? 2n ? 1 ; (Ⅱ) Tn ? 2
n ?1

( I )设公差为 d ,因为 ? 2 . 解析:解:

?a1 ? d ? 3 ?a1 ? 1 ? ,解得 ? ,所以 an ? a1 ? ? n ?1? d ? 2n ?1 ,即所求数列的通项公 ? 7?6 7a1 ? d ? 49 ?d ? 2 ? ? 2
式为 an ? 2n ?1, n ? N ;
*

(Ⅱ)由(I)得 bn

an ? 1? 2n ?1 ? ? ? 2n ,所以 n

Tn ?

b1 ?1 ? q n ? 1? q

?

2 ?1 ? 2n ? 1? 2

? 2n?1 ? 2, n ? N *

【思路点拨】在解答题中一般遇到等差数列与等比数列通常利用其通项公式与求和公式 列出首项与公差或公比的方程组,通过解方程组求出首项与公差或公比再进行解答. 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知向量 m=(a-b,c-a) ,n=(a+b, c)且 m·n=0。 (I)求角 B 的大小; (Ⅱ)求函数 f(A)=sin ? A ?

? ?

??

? 的值域。 6?

【知识点】向量的数量积的坐标运算,余弦定理、三角函数的值域 【答案解析】 (I)

? ?1 ? 2 2 2 ; (Ⅱ) ? ,1? 解析:解:由 m·n=0 得 a ? c ?b ? ac ,由余弦定 2 3 ? ?
a 2 ? c2 ? b2 1 ? ? ,又因为 B 为三角形内角,所以 B ? ; 2ac 2 3

理得 cos B ?

(Ⅱ)由(I)得 A ? ? ?

?

? 2? ? C ? ? 0, 3 ? 3
?1 ? ?2 ?

? ? ? 5? ? ? ,所以 A ? ? ? , 6 ?6 6 ?

? ? ?1 ? ? ? ? ,sin ? A ? ? ? ? ,1? , 6? ?2 ? ? ?

则所求函数的值域为 ? ,1? . 【思路点拨】在求角中注意余弦定理的变式应用,在三角函数给定区间求值域问题,通常先 由所给角的范围得辅角范围,再利用三角函数的单调性确定值域. 18. (本小题满分 12 分) 某地区为了解高二学生作业量和玩电脑游戏的情况, 对该地区内所有高二学生采用随机 抽样的方法,得到一个容量为 200 的样本统计数据如下表:

(I)已知该地区共有高二学生 42500 名,根据该样本估计总体,其中喜欢电脑游戏并认

为作业不多的人有多少名? (Ⅱ)在 A,B.C,D,E,F 六名学生中,但有 A,B 两名学生认为作业多如果从速六 名学生中随机抽取两名,求至少有一名学生认为作业多的概率。 【知识点】抽样方法、古典概型 【答案解析】 (I)7650 名; (Ⅱ) 解析:解: (I)425 00×

3 5

36 =7650(名); 200

(Ⅱ)从这六名学生随机抽去两名的基本事件有:{A,B},{A,C},{A,D},{A,E}, {A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E}, {D,F},{E,F}共 15 个,设事件 G 表示至少有一位学生认为作业多,符合要求的事 件有{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B, F}共 9 个,所以 P ? G ? ?

9 3 3 ? ,所以至少有一名学生认为作业多的概率为 . 15 5 5

【思路点拨】求概率问题应先确定其概率模型,若总体个数有限为古典概型,利用古典概型 计算公式计算,若总体个数无限为几何概型,利用几何概型计算公式计算. 19. (本小题满分 12 分) 如图,已知⊙O 的直径 AB=3,点 C 为⊙O 上异于 A,B 的一点,VC⊥ 平面 ABC,且 VC=2,点 M 为线段 VB 的中点。 (I)求证:BC⊥平面 VAC; (Ⅱ)若 AC=l,求二面角 M-VA-C 的余弦值。 【知识点】直线与平面垂直的判定、二面角的求法 【答案解析】 (I)略; (Ⅱ)

11 11

解析:解: (I)证明:因为 VC⊥平面 ABC, BC ? 平面ABC ,所以 VC⊥BC,又因为点 C 为圆 O 上一点,且 AB 为直径,所以 AC⊥BC,又因为 VC,AC ? 平面 VAC,VC∩ AC=C,所以 BC⊥平面 VAC. (Ⅱ)由(I)得 BC⊥VC,VC⊥AC,AC⊥BC,分别以 AC,BC,VC,所在的 直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 C—xyz 如图

则 A(1,0,0),V(0,0,2),B(0, 2 2 ,0),设平面 VAC 的法向量

m ? CB ? 0, 2 2, 0, VA ? ?1, 0, ? 2 ?, AB ? ?1, 2 2, 0 ,设平面 VAM 的法向量

?

?

?

?

? ?x ? 4 ?x ? 2z ? 0 令 y= 2 ,得 ? ,所以 n ? ? x,y,z ? ,由 ? ? ?z ? 2 ?? x ? 2 2 y ? 0

n ? 4, 2, 2 , cos m, n ?

?

?

m?n m?n

?

4 11 ,即所求二面角的余 ? 2 2 ? 16 ? 2 ? 4 11

弦值为

11 11

【思路点拨】在证明直线与平面垂直时,一般结合直线与平面垂直的判定定理,只需证明直 线与平面内两条相交直线垂直; 对于求二面角可考虑直接求其平面角的大小和用向量求 解, 当直接寻求其平面角不方便时要注意建立适当空间直角坐标系, 借助于平面的法向 量解答. 20. (本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 x Oy 中,点 P 是圆 x2+y2=4 上一动点,PD⊥x 轴于点 D,记满足

OM ?

1 (OP ? OD ) 的动点 M 的轨迹为 F。 2

(I)求轨迹 F 的方程; (Ⅱ)已知直线 l :y=kx+m 与轨迹 F 交于不同两点 A,B,点 G 是线段 AB 中点,射线 OG 交轨迹 F 于点 Q,且 OQ ? ?OG, ? ∈R。 ①证明: ? 2m2=4k2+1; ②求△AOB 的面积 S( ? )的解析式,并计算 S( ? )的最大值。 【知识点】轨迹方程的求法、直线与圆锥曲线位置关系、向量的坐标运算 【答案解析】 ( I) 1.
2 2 解析:解: (I)设点 M(x,y), P ? x0 , y0 ? ,得点 D 坐标为 ? x 0 ,0 ? ,且 x0 ? y0 ? 4 .①

x2 2 ? 2 ?1 ? y 2 ? 1; (Ⅱ)①略,② S ? ? ? ? , ? ? ?1, ?? ? ,最大值为 4 ?2

因为 OM ?

?x ? x 1 2 2 OP ? OD ,所以 ? 0 ②,将②代入①得 x ? 4 y ? 4 ,所以所求的轨 2 y ? 2 y ? 0

?

?

迹方程为

x2 ? y 2 ? 1; 4

(Ⅱ)①令 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由

? y ? kx ? m , 得 ?1 ? 4k 2 ? x 2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 ,所以 ? 2 2 ?x ? 4 y ? 4 ? 0

? ? 2 2 2 ?? ? ? 8km ? ? 4 ?1 ? 4k ?? 4m ? 4 ? ? 0 ?m 2 ? 1 ? 4k 2 ? ? ?8km ?8km ? ? 即 ? x1 ? x2 ? ③,所以 ? x1 ? x2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ? ? ? ? 4m 2 ? 4 4m 2 ? 4 x x ? x x ? ? 1 2 ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ? ?
y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 2m ? k ? ?8km ? 2m ? 2m ? ,由中点坐标公式得 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

m ? ? ?4km ? ?4? km ? m ? ,根据 OQ ? ?OG ,得 Q ? ,将其代入椭圆方 G? , , 2 2 ? 2 2 ? ? 1 ? 4k 1 ? 4k ? ? 1 ? 4k 1 ? 4 k ?
程,有

?1 ? 4k ? ?1 ? 4k ?
2 2

4? 2 k 2 m2

?

? 2 m2

2 2

? 1 .化简得 ? 2 m2 ? 1 ? 4k 2 ④
2

4m 2 ? 4 4 1 ? 4 k 2 ? m 2 ? ?8km ? ? 4 ? ? ②由③④得 m≠0,λ >1.因为 x1 ? x2 ? ? ⑤, 2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ? 1 ? 4k ?
在△AOB 中, S ???? ?

1 m ? x1 ? x2 ⑥,由④⑤⑥得 2

2 m ? 2 m2 ? m2 2 ? 2 ? 1 S ?? ? ? ? , ? ? ?1, ?? ? ,令 t ? ? 2 ? 1 ? ? 0, ?? ? ,则. 2 2 2 ?m ?

S?

2t 2 2 ? ? ? 1 当且仅当t ? 1即? ? 2时等号成立 t ?1 t ? 1 2 t
2

?

?

所以当 ? ?

2 时, S ? ? ? ?

2 ? 2 ?1

?2

取得最大值,其最大值为 1.

【思路点拨】在求轨迹方程问题时,若所求点与已知曲线上的点相关,可用代入法求轨迹方 程,在遇到直线与圆锥曲线位置关系问题时,经常把问题转化为坐标关系,通过联立方 程借助于韦达定理、中点坐标公式及弦长公式寻求等量关系,若遇到向量关系,先看有 无直接的几何条件特征进行转化, 否则就把向量关系利用向量的坐标运算转化为坐标关 系解答. 21. (本小题满分 14 分, 巳知函数 f(x)=x1nx,g(x)=

1 2 ax -bx,其中 a,b∈R 。 3

(I)求函数 f(x)的最小值; (Ⅱ)当 a>0,且 a 为常数时,若函数 h(x)=x[g(x)+1]对任意的 x1>x2≥4,总有

h( x1 ) ? h( x2 ) ? 0 成立,试用 a 表示出 b 的取值范围; x1 ? x2

(Ⅲ)当 b= ?

2 3 a 时,若 f (x+1)≤ g(x)对 x∈[0,+∞)恒成立,求 a 的最小值。 3 2
1 1 1 1? ? b ? ??, a ? ; (Ⅱ)0 ? a ? 时, ; 当a ? 时, b ? ? ??, 2a ? ? ; ? e 16 16 8? ?

【知识点】导数的综合应用 【答案解析】 (I)? ( Ⅲ)1 解析: 解: (I) 因为 f ' ? x ? ? ln x ?1, x ? ? 0, ??? , 令f
'

?

? x ? ? 0, 得x ?

1 ? 1? , 所以 f(x)在 ? 0, ? e ? e?

上 单 调 递 减 , 在 ? , ?? ? 上 单 调 递 增 , 则 f(x) 在 x ?

?1 ?e

? ?

1 处取得最小值为 e

1 ?1? 1 1 f ? ? ? ln ? ? . e ?e? e e
( Ⅱ ) 由 题 意 得 h ? x ? ? xg ? x ? ? x ?
' 2

1 3 ax ? bx 2 ? x 在 [4 , + ∞ ) 上 单 调 递 增 , 所 以 3

ax 2 ? 1 1 ? ax ? 在[4,+∞)上 h ? x ? ? ax ? 2bx ?1 ? 0 在[4,+∞)上恒成立.即 2b ? x x
恒成立,构造函数 F ? x ? ? ax ? 所以 F ? x ? ? ? 0,

1 1 ax 2 ? 1 ' a ? 0 , x ? 0, ?? F x ? a ? ? , 则 , ? ? ? ? ? ? x x2 x2

? ? ?

? a ? a? , ?? 上单调递减,在 ? ? ? ? a ? 上单调递增. a ? ? ? ?

(1)当

? ? a ? a? a 1 , ?? 上单调递减,在 ? ? 4即0 ? a ? 时 ,F(x)在 ? 4, ? ? ? ? a ? 上单调递增,所 a a 16 ? ? ? ?

以 F(x)的最小值为 F ?

? a? ? a ? ? ? 2 a ,所以 2b ? 2 a , b ? a ; ? ?

(2)当

1 1 a 1 ? 4即a ? 时,F(x)在(4,+∞)上单调递增, 2b ? F ? 4 ? ? 4a ? , 从而b ? 2a ? ; 4 8 a 16
1 1 1? ? 时, b ? ??, a ? ;当 a ? 时, b ? ? ??, 2a ? ? ; ? 16 16 8? ?

综上, 0 ? a ?

?

(Ⅲ)当 b ? ?

2 a 时,构造函数 3 3 1 G ? x ? ? f ? x ? 1? ? g ? x ? ? ? x ? 1? ln ? x ? 1? ? ax 2 ? ax, x ? ? 0, ?? ? ,由题意有 G(x)≤0 2 2
'

对 x∈[0,+∞)恒成立,因为 G ? x ? ? ln ? x ?1? ?1 ? ax ? a, x ??0, ??? .

(1)当 a≤0 时, G ' ? x ? ? ln ? x ?1? ?1 ? a ? x ?1? ? 0 ,所以 G(x)在[0,+∞)上单调递增,则 G(x)>G(0)=0 在(0,+∞)上成立,与题意矛盾. (2)当 a>0 时,令 ? ? x ? ? G ' ? x ? , x ? ? 0, ?? ? , 则? ' ? x ? ? ①当 a≥1 时, ? ' ? x ? ?

1 1 ? ? 0,1? ? a ,由于 x ?1 x ?1

1 ? a ? ?? ? ? x ? 在 ? 0, ? ? ? 上单调递减,所以 x ?1

? ? x ? ? ? ? 0? ? 1? a ? 0, G ' ? x ? ? 0在?0, ? ?? 上成立 ,所以 G(x)在[0,+∞)上单调递减,
所以 G(x)≤G(0)=0 在[0,+∞)上成立,符合题意.

? ? 1 ?? ? a ? x ? ? ? 1? ? 1 ? ? a ? ? , x ? 0, ?? ,所以 ?a ? ②当 0<a<1 时, ? ' ? x ? ? ? ? x ?1 x ?1

? ? x ? 在x ? ?0, ? 1? 上单调递增,在 x ? ? ? 1, ?? ? 上单调递减,因为 ? ? 0? ? 1 ? a ? 0 ,
所以 ? ? x ? ? 0在x ? ?0,

? 1 ? a

? ?

?1 ?a

? ?

? 1 ? ? 1 ? ? 1? 成立,即 G ' ? x ? ? 0在x ? ?0, ? 1? 上成立,所以 ? a ? ? a ?

? 1 ? ? 1 ? G ? x ? 在 ?0, ? 1? 上单调递增,则 G(x)>G(0)=0 在 x ? ? 0, ? 1? 上成立,与题意矛盾. ? a ? ? a ?
综上知 a 的最小值为 1. 【思路点拨】 本题主要考查的是利用导数求函数的最值, 利用导数求最值一般先判断函数的 单调性, 再结合单调性确定最值位置, 对于由不等式恒成立求参数参数范围问题通常转化为 函数的最值问题解答.


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