3.一元二次不等式与绝对值不等式的解法【提高】

第3讲

一元二次不等式与绝对值不等式的解法

1、 一元二次方程: ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1) 解法: (根所在区间的讨论) (2) 判别式(指定区间内根情况的判定) (3) 根与系数的关系、根与函数的关系、根与不等式的关系 2、 二次函数: y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) (1) (2 ) (3) (4) 开口方向 顶点与对称轴 图象与 x 轴交点 y 的正、负号

3、 一元二次不等式: (1)一般式: ax 2 + bx + c > 0或ax 2 + bx + c < 0 (a ≠ 0) (2) 解法: (函数法) 4、分式不等式的解集: ( f ( x) f x) (1) 一般式: > 0或 <0 g ( x) g(x) (2) 解法:符号法则商化积 ? 序轴标根法 5、无理不等式的解集: (1)解题依据: a > b > 0 ? a n > b n 化为有理不等式组 (2)常见题型及解法:

? f ( x) ≥ 0 ? f ( x) ≥ 0 ? f ( x) > g ( x ) ? ? g ( x) ≥ 0 或? ? g ( x) < 0 ? 2 ? f ( x) > g ( x) ? f ( x) ≥ 0 ? f ( x) < g ( x) ? ? g ( x ) ≥ 0 ? 2 ? f ( x) < g ( x ) [说明]“式”化“组”是为了等价转化。

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6、含绝对值的不等式解法 (1) 定义法:

x < a ( a > 0) ? ? a < x < a
(2) 公式法:

x > a ( a > 0 ) ? x > a 或x < ? a f ( x) < g ( x) ? ? g ( x) < f ( x) < g ( x) f ( x) > g ( x) ? f ( x) > g ( x)或f ( x) < ? g ( x)

例题分析:
例 1. 解不等式: (1) 2 x 2 ? 3x ? 2 > 0 (4) ? x 2 + 2 x ? 3 > 0 (7) (1 ? x )(1 + x) > 0 (2) ?3x 2 + 6 x > 2 (5) ( x ? 1)( x ? a) < 0 (8) ( x 2 + 6 x + 9)( x + 1) > 0 (3) 4 x 2 ? 4 x + 1 > 0 (6) ( x ? 1)(ax ? 1) > 0

例 2. 解不等式: (1) (4)

x?3 <0 x+7

(2)

1 ? 2x ≤0 x+4

(3 ) x 2 ? x ? 8 ≥ x

x ? 2 ? 3 >1

(5) x + 7 ? 3x ? 4 + 3 ? 2 2 > 0 (7) x 2 ? 5 x + 6 < 0 (10) x ? a < b
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(6) x 4 ? 2 x 2 ? 8 > 0 (9) 2 x + 5 > 7

(8) x ? 500 ≤ 5 (11) 2 x + 1 + x ? 2 > 4

例 3. (1)求集合 {x 0 < x ? 1 < 3, x ∈ Z } 的真子集个数

(2)求使

3? x 2x + 1 ? 4

有意义的 x 的集合

(3)已知 A = x x ? a ≤ 2 , B = x x ? 1 ≥ 3 且A ∩ B = Φ ,则实数 a 的范围

{

}

{

}

(4)若 a > 0 , 使不等式 x ? 4 + x ? 3 < a 的解集不是空集的 a 的范围

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例 4. 已知:方程 (m + 1) x 2 + 2(2 ? m) x + 2m + 4 = 0 (m ∈ R) ,求:m 为何值时,一根大于 3 , 一根小于 3.

例 5. 解关于 x 的不等式 (1) x 2 ? ax ? 2a 2 ≤ 0

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参考答案
例 1.解不等式: (1)解: ( x ? x)(2 x + 1) > 0 (2)解:等价于 3x 2 ? 6 x + 2 < 0
1? ? ∴ 解集为: ? x x > 2 或x < ? ? 2? ?

方程 3x 2 ? 6 x + 2 = 0 的根为 x1 = 1 +

3 3 , x2 = 1 ? 3 3

? ? 3 3? ? < x <1+ 解集为: ? x 1 ? ? 3 3 ? ? ? ?

(3)解:等价于 (2 x ? 1) 2 > 0 (4)解:等价于 x 2 ? 2 x + 3 < 0

1? ? 解集为: ? x x ∈ R且x ≠ ? 2? ?

解集为: ?

(5)解:①当 a > 1 时,解集为: { x 1 < x < a} ②当 a = 1 时,解集为: ? ③当 a < 1 时,解集为:

{ x a < x < 1}

(6)解:①当 a = 0 时,解集为: { x x < 1} ②当 0 < a < 1 时,

1 ? 1 ? > 1 ,解集为: ? x x > 或x < 1? a a ? ?

③当 a = 1 时, ( x ? 1)2 > 0 ,解集为: { x x ∈ R且x ≠ 1} ④当 a > 1 时,

1 ? < 1 ,解集为: ? x x > 1或x < a ?

1? ? a?

? 1 ? ⑤当 a < 0 时,解集为: ? x < x < 1? ? a ?
?x < 0 ?x ≥ 0 (7)解: ? 或? 2 ( 1)( 1) 0 x x + ? < ? ?(1 + x) > 0

∴ 解集为: { x x < 1且x ≠ ?1}

(8)解: ( x + 3) 2 ( x + 1) > 0

解集为: { x x > ?1}

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例 2.解不等式: (1)解:等价于 ( x ? 3)( x + 7) < 0 解集为: { x ?7 < x < 3}

?(2 x ? 1)( x + 4) ≥ 0 (2)解:等价于 ? ?x + 4 ≠ 0

? 1 ? ∴ 解集为: ? x x ≥ 或x < ?4 ? 2 ? ?
即 x2 ? 2 x ? 8 ≥ 0 或 x2 ? 8 ≤ 0

(3)解:等价于 x 2 ? x ? 8 ≥ x 或 x 2 ? x ? 8 ≤ ? x 解集为: x x ≤ 2 2或x ≥ 4

{

}
即 x?2 >4或 x?2 <2

(4)解:等价于 x ? 2 ? 3 > 1 或 x ? 2 ? 3 < ?1

?x ? 2 ≥ 0 ?x ? 2 ≥ 0 ∴ ? 或? ? > x 2 16 ? ?x ? 2 < 4

∴ 解集为: { x 2 ≤ x < 6或x > 18}

(5)解: x + 7 ? 3x ? 4 + 2 ? 1 > 0 等价于

4 ? ?x ≥ ①? 3 ? ??2 x + 10 + 2 > 0

4 ? ??7 ≤ x < ②? 3 ? ?4 x + 2 + 2 > 0

? x < ?7 ③? ?2 x ? 12 + 2 > 0 ? 4? ? 3? ?

解得:

? 4 ? 2? ? ①的解集: ? x ≤ x < 5 + ? 2 ? ? 3 ? ?
③的解集: ?

? 2+ 2 ? ②的解集: ? x ? <x< 4 ? ?

? 2+ 2 2? ? ? < x <5+ ∴ 原式解集 ? x ? ? 4 2 ? ? ? ?

(6)x4-2x2-8>0,则(x2-4) (x2+2)>0,即 x2-4>0 ∴解集为(-∞,-2)∪(2,+∞) 另解:设 t = x (t>0)
2

则原不等式化为 t2-2t-8>0 (t ? 4)(t + 2) > 0 ,∴ t < ?2 或 t > 4 ∵t>0,∴ t > 4 ,∴x2 > 4 ∴解集为(-∞,-2)∪(2,+∞) (7)设 x = t ( t ≥ 0 ) 则原不等式为 t2-5t+6<0,即(t-2) (t-3)<0,∴2<t<3 ∴2<|x|<3,∴解集为(-3,-2)∪(2,3)

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(8)解:等价于 ?5 ≤ x ? 500 ≤ 5 即 495 ≤ x ≤ 505

∴ 解集为: { x 495 ≤ x ≤ 505}

(9)解:等价于 2 x + 5 > 7 或 2 x + 5 < ?7 即 x > 1 或 x < ?6

∴ 解集为: { x x > 1或x < ?6}
(10)解:当 b ≤ 0 时,解集为 ? ;当 b > 0 时,解集为 { x a ? b < x < a + b}
1 ?x > 2 ? ? 1 ?? ≤ x ≤ 2 ?x < ? ? (11)解:等价于 ? 或 ? 5 2 或 ? 2 x> ? ? ? > < ? x 1 x 1 3 ? ? ?

∴ 解集为: { x x < ?1或x > 1}

例 3. (1)解:由 0 < x ? 1 < 3 得 { x ?2 < x < 4且x ≠ 1}

∵ x∈Z

∴ {?1, 0, 2, 3}

∴ 集合的真子集的个数为 24 ? 1 = 15 个
??3 ≤ x ≤ 3 ? ?3 ? x ≥ 0 ? (2)由题意得: ? 即? 3 5 x > 或x < ? + ? > 2 x 1 4 0 ? ? ? ? 2 2

? 5 3 ? 即 ? x ?3 ≤ x < ? 或 < x ≤ 3? 2 2 ? ?

(3)解: A = { x a ? 2 ≤ x ≤ a + 2}
∵ A∩ B = Φ

B = { x x ≥ 4或x ≤ ?2} ∴ a 的取值范围是 a ∈ ( 0, 2 )

? a ? 2 > ?2 ∴ ? ?a + 2 < 4

(4)解:设 f ( x) = x ? 4 + x ? 3

∵ f ( x)min = 1

∵ 不等式 x ? 4 + x ? 3 < a 有解
∴ a 取值范围是 a ∈ (1, + ∞ )

∴ a >1

例 4. 方法一解:设 f ( x) = (m + 1) x 2 + 2(2 ? m) x + 2m + 4 由题意可知

?m + 1 > 0 ?m + 1 < 0 ? f (3) < 0 或 ? f (3) > 0 ? ?

?m > ?1 ?m < ?1 即? 或? ?m < ?5 ?m > ?5

∴ m 的取值范围是 m ∈ ( ?5, ? 1)

方法二解:设方程的两根分别为 x1 , x2 ,由题意可知

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? ?m ≠ ?1 ?m + 1 ≠ 0 ? ? ? ?4(2 ? m)2 ? 4(m + 1)(2m + 4) > 0 ?Δ > 0 ? ? 2m + 4 2(2 ? m) ?( x1 ? 3)( x2 ? 3) < 0 + 3× +9<0 ? m +1 ? m +1
解之得 m ∈ ( ?5, ? 1) 例 5. (1)解: x 2 ? ax ? 2a 2 ≤ 0 即 ( x ? 2a)( x + a) ≤ 0 ∴ x1 = 2a , x2 = ?a 当 x1 > x2 即 2a > ?a , a>0 时,解集为[-a,2a] 当 x1 = x2 即 2a = -a, a=0 时,原不等式为 x 2 ≤ 0 ,解集为 {0} 当 x1 < x2 即 2a < ?a , a<0 时,解集为 [ 2a, ?a ]

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