【恒心】2014年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试数学(理科)试题参考答案

2014 年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试 数学理科答案 一、选择题: A 卷答案:1---5CAACC B 卷答案:1---5DAADD 3 6---10CABDB 6---10DABCB 11-12DB 11-12CB 11.提示:曲线 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 关于(0,1)中心对称. 12.提示:函数图象不随 p, q 的变化而变化. 二、填空题: 13. ? ?1 4 14. 50? 15. 2 5 6 16. 8 16.提示:可转化为 y ? 3 ln x ? x 上的动点与直线 y ? x ? 2 上动点的问题. 三、解答题: (解答题按步骤给分,本答案只给出一或两种答案,学生除标准答案的其他解 法,参照标准酌情设定,且只给整数分) (Ⅰ)设等比数列 {an }的公比为 q ,由已知得 ? í 17.解: ? 又∵ a1 > 0 , q > 0 ,解得 ? í ì ? a12 q = 2, 2 5 ? ? a1 q = 32, ……………2 分 ì , ? a1 = 1 ? ? ? q = 2, ………………3 分 ∴ an = 2n- 1 ;…………………5 分 (Ⅱ)由题意可得 bn b1 b2 b3 + + +L + = 2n - 1 , 1 3 5 2n - 1 2 n ?1 ? 1 ? 两式相减得 bn ? 2n ? 1 , 2n ? 1 ( n ? 2) bn = 2n- 1 , 2n - 1 ∴ bn ? (2n ? 1)2 n ?1 , ( n ? 2 )……………………7 分 当 n = 1 时, b1 = 1 ,符合上式, ∴ bn = (2n - 1) 2 设 Tn = 1 + 3?2 1 n- 1 , ( n ? N* )…………………………8 分 5 ?22 L + (2n - 1) 2n- 1 , L + (2n - 3)?2n- 1 2Tn = 1?2 3?22 5 ?23 (2n - 1) 2n ,………………10 分 两式相减得 - Tn = 1 + 2 (2 + 22 + L + 2n- 1 )- (2n - 1)?2 n n - (2n - 3)?2 n 3, ∴ Tn = (2n - 3) 2 + 3 .…………………12 分(整理结果正确即可,不拘泥于形式) 18. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC ,顶点 A1 在底面 ABC 上的射影恰为点 B , AB ? AC ? A1B ? 2 . (Ⅰ)证明:平面 A1 AC ? 平面 AB1B ; (Ⅱ)若点 P 为 B1C1 的中点,求出二面角 P ? AB ? A1 的余弦值. 证明: (Ⅰ)由题意得: A1B ? 面 ABC , ∴ A1B ? AC , 又 AB ? AC , AB ? A1B ? B ∴ AC ? 面 AB1B , ∵ AC ? 面 A1 AC , ∴平面 A1 AC ? 平面 AB1B ; ------3 分 ------5 分 ------2 分 (Ⅱ)解法 1:以 A 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(0, 0, 0), B(0, 2, 0), B1 (0, 4, 2) C1 (2,2,2) 3 2? . 因为 P 为棱 B1C1 的中点,故易求得 P ?1,, ??? ? ??? ? AB ? (0, 2, 0), AP ? (1,3, 2) 设平面 PAB 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ), ??? ? ? ? AB ? n1 ? 0, ? x ? 3 y ? 2 z ? 0 则 ? ??? 得? ? 2y ? 0 ? AP ? n ? 0, ? ? 1 令 z ? 1,则 n1 ? (? 2 , 0 , 1 ) , 而平面 ABA1 的法向量 n2 ? (1, 0, 0), ------6 分 z C1 B1 A1 ------8 分 ------9 分 ------11 分 y x C B A n ?n 2 2 5 ?? 则 cos n1 , n2 ? 1 2 ? ? n1 | n2 | 5 5 由图可知二面角 P ? AB ? A1 为锐角, 故二面角 P ? AB ? A1 的平面角的余弦值是 2 5 . ------12 分 5 解法 2:过 P 做 PP1//A1B1 交 A1C1 的中点于 P1,由(Ⅰ)可 知 P1A1 ? 平面A1 AB , 连 接 P1B, 则 ?P 1 BA1 为 二 面 角 P ? AB ? A1 的平面角, ------8 分 在 Rt?P 1 A1 ? 1, A1 B ? 2, P 1B ? 1 BA 1 中 , P 5 , cos ?P1 BA1 ? A1 B 2 2 5 ? ? , P1 B 5 5 2 5 5 故二面角 P ? AB ? A1 的平面角的余弦值是 ------12 分 19.解: (Ⅰ)由题意得 2 ? t t 1 ? (1 ? ) ? ,解得 t ? 1 .……………3 分 2 2 2 (Ⅱ) ? 的所有可能取值为 0,1,2,3 1 t t (2 ? t ) 2 ; P(? ? 0) ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? 2 2 2 8 1 t t 1 t t 4 ? t2 ; P(? ? 1) ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 2 ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? 2 2 2 2 2 2 8 1 t t 1 t t 4t ? t 2 ; P(? ? 2) ? 2 ? ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ? 2 2 2 2 2 2 8 P(? ? 3) ? 1 t t t2 ? ? ? . 2 2 2 8 故 ? 的分布列为: ? P 0 1

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