2018-2019学年高中数学人教版A版必修一学案:第一单元 1.2.2 第2课时 分段函数及映射

数学 第 2 课时 学习目标 分段函数及映射 1.理解分段函数的定义,并能解决简单的分段函数问题(重点).2.了解映射的概 念以及它与函数的联系与区别(难点). 预习教材 P21-P22,完成下面问题: 知识点 1 分段函数 分段函数的定义: (1)前提:在函数的定义域内; (2)条件:在自变量 x 的不同取值范围内,有着不同的对应关系; (3)结论:这样的函数称为分段函数. 【预习评价】 已知函数 f(x)=? ? ?2x-3,x≥0 ?2x+3,x<0 ? 1? ? ?1?? ,则 f? ?2?=________,f?f?2??=________. 解析 答案 1? 1 ? ?1?? 由题意得 f? ?2?=2×2-3=-2,f?f?2??=f(-2)=2×(-2)+3=-1. -2 -1 知识点 2 映射 映射的定义: 【预习评价】 (正确的打“√”,错误的打“×”) ) (1)函数是特殊的映射.( (2)在映射的定义中,对于集合 B 中的任意一个元素在集合 A 中都有一个元素与之对 应.( ) (3)按照一定的对应关系, 从集合 A 到集合 B 的映射与从集合 B 到集合 A 的映射是同一个 映射.( 提示 ) (1)√ 根据映射的定义,当映射中的集合是非空数集时,该映射就是函数,否则 数学 不是函数; (2)× (3)× 映射可以是“多对一”,但不可以是“一对多”; 从集合 A 到集合 B 的映射与从集合 B 到集合 A 的映射不是同一个映射. 题型一 【例 1】 映射的概念及应用 (1)下列对应是集合 A 到集合 B 上的映射的是( ) A.A=N*,B=N*,f:x→|x-3| B.A=N*,B={-1,1,-2},f:x→(-1)x 3 C.A=Z,B=Q,f:x→x D.A=N*,B=R,f:x→x 的平方根 (2)已知映射 f:A→B,在 f 的作用下,A 中的元素(x,y)对应到 B 中的元素(3x-2y+1,4x +3y-1),求: ①A 中元素(-1,2)在 f 作用下与之对应的 B 中的元素. ②在映射 f 作用下,B 中元素(1,1)对应 A 中的元素. (1)解析 对于选项 A,由于 A 中的元素 3 在对应关系 f 的作用下与 3 的差的绝对值在 B 中找不到象,所以不是映射;对于选项 B,对任意的正整数 x,在集合 B 中有唯一的 1 或-1 与之对应,符合映射的定义;对于选项 C,0 在 f 下无意义,所以不是映射;对于选项 D,正整 数在实数集 R 中有两个平方根(互为相反数)与之对应, 不满足映射的定义, 故该对应不是映射. 答案 (2)解 B ①由题意可知当 x=-1,y=2 时,3x-2y+1=3× (-1)-2× 2+1=-6, 4x+3y-1=4× (-1)+3× 2-1=1,故 A 中元素(-1,2)在 f 的作用下与之对应的 B 中的元 素是(-6,1). ②设在映射 f 作用下,B 中元素(1,1)对应 A 中的元素为(x,y), ?3x-2y+1=1, ? 则? 解之得 ? ?4x+3y-1=1, ?x=17 ? 6 ?y=17 4 4 6? ,即 A 中的元素为? ?17,17?. 规律方法 1.判断一个对应是不是映射的两个关键 (1)对于 A 中的任意一个元素,在 B 中是否有元素与之对应. (2)B 中的对应元素是不是唯一的. 数学 2.求对应元素的两种类型及处理思路(映射 f:A→B) (1)若已知 A 中的元素 a,求 B 中与之对应的元素 b,这时只要将元素 a 代入对应关系 f 求解即可. (2)若已知 B 中的元素 b,求 A 中与之对应的元素 a,这时构造方程(组)进行求解即可,需 注意解得的结果可能有多个. 【训练 1】 下列各个对应中,构成映射的是( ) 解析 对于 A,集合 M 中元素 2 在集合 N 中无元素与之对应,对于 C,D,均有 M 中的 一个元素与集合 N 中的两个元素对应,不符合映射的定义,故选 B. 答案 B 典例迁移 题型二 分段函数求值问题 x+1,x≤-2, ? ? 【例 2】 已知函数 f(x)=?3x+5,-2<x<2, ? ?2x-1,x≥2, 解 ?-5??. 求 f(-5),f(1),f? f ? ? 2?? 5 由-5∈(-∞,-2],1∈(-2,2),- ∈(-∞,-2],知 f(-5)=-5+1=-4, 2 1 ? 5?? ? 5 ? ? 3? ? 3? f(1)=3×1+5=8,f? ?f?-2??=f?-2+1?=f?-2?=3×?-2?+5=2. 【迁移 1】 解 (变换所求)例 2 条件不变,若 f(a)=3,求实数 a 的值. 当 a≤-2 时,f(a)=a+1=3,即 a=2>-2,不合题意,舍去; 2 当-2<a<2 时,f(a)=3a+5=3,即 a=- ∈(-2,2),符合题意; 3 当 a≥2 时,f(a)=2a-1=3,即 a=2∈[2,+∞),符合题意. 2 综上可得,当 f(a)=3 时,a 的值为- 或 2. 3 【迁移 2】 解 (变换所求)例 2 的条件不变,若 f(x)>2x,求 x 的取值范围. 当 x≤-2 时,f(x)>2x 可化为 x+1>2x,即 x<1,所以 x≤-2; 当-2<x<2 时,f(x)>2x 可化为 3x+5>2x,即 x>-5,所以-2<x<2; 数学 当 x≥2 时,f(x)>2x 可化为 2x-1>2x,则 x∈?. 综上可得,x 的取值范围是{x|x<2}. 规律方法 1.求分段函数函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间. (2)然后代入该段的解析式求值,直到求出值为止.当出现 f(f(x0))的形式时,应从内到外 依次求值. 2.由分段函数的函数值求自变量的方法 已知分段函数的函数值求对应的自变量的值,可分段利

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