18版高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.5空间向量运算的坐标表示学案2_1

3.1.5 空间向量运算的坐标表示 1.理解空间向量长度公式、夹角公式、空间两点间的距离公式.(重点) 2.掌握空间向量运算的坐标表示,能用向量的坐标运算解决简单几何体中的问题.(难 点) [基础·初探] 教材整理 1 空间向量运算的坐标表示 阅读教材 P95 内容,完成下列问题. 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),空间向量的坐标运算法则如下表所示: 运算 加法 减法 数乘 数量积 坐标表示 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3) a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3) λ a=(λ a1,λ a2,λ a3),λ ∈R a·b=a1b1+a2b2+a3b3 已知向量 a=(3,-2,1),b=(-2,4,0),则 4a+2b 等于( A.(16,0,4) C.(8,16,4) B.(8,-16,4) D.(8,0,4) ) 【解析】 4a=(12,-8,4),2b=(-4,8,0), ∴4a+2b=(8,0,4). 【答案】 D 教材整理 2 空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示 阅读教材 P95“倒数第 10 行~倒数第 6 行”内容,完成下列问题. 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 平行(a∥b) a1=λ b1, ? ? a∥b(b≠0)?a=λ b??a2=λ b2, λ ∈R ? ?a3=λ b3 1 垂直(a⊥b) 模 夹角公式 a⊥b?a·b=0?a1b1+a2b2+a3b3=0(a,b 均为非零向量) |a|= a·a= a1+a2+a3 2 2 2 a·b a1b1+a2b2+a3b3 cos〈a,b〉= = 2 2 2 2 2 |a|·|b| a1+a2+a2 3 b1+b2+b3 已知向量 a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且 ka+b 与 2a-b 互相垂直,则 k=( A.1 1 B. 5 3 C. 5 D. 7 5 ) 【解析】 ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2),且(ka+b)·(2a-b)=3(k-1) 7 +2k-4=0,解得 k= . 5 【答案】 D 教材整理 3 空间中两点间的距离公式 阅读教材 P95“倒数第 5 行以下”内容,完成下列问题. 在空间直角坐标系中,设 A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则 → (1)AB=________; → (2)dAB=|AB|=________. 【答案】 (1)(a2-a1,b2-b1,c2-c1) (2) a2-a1 2 + b2-b1 2 + c2-c1 2 → 若点 A(0,1,2),B(1,0,1),则AB=__________,|AB|=__________________. 【答案】 (1,-1,-1) 3 [小组合作型] 空间向量的坐标运算 已知空间四点 A,B,C,D 的坐标分别是(-1,2,1),(1,3,4),(0,-1,4), → → (2,-1,-2).若 p=AB,q=CD,求下列各式的值: (1)p+2q;(2)3p-q;(3)(p-q)·(p+q);(4)cos〈p,q〉. 【导学号:37792120】 【精彩点拨】 (1)已知两点的坐标, 怎样表示由这两点构成的向量的坐标?(2)向量的 2 加、减、数乘、数量积的坐标运算的法则是怎样的? 【自主解答】 由于 A(-1,2,1),B(1,3,4),C(0,-1,4),D(2,-1,-2),所以 p → → =AB=(2,1,3),q=CD=(2,0,-6). (1)p+2q=(2,1,3)+2(2,0,-6) =(2,1,3)+(4,0,-12)=(6,1,-9). (2)3p-q=3(2,1,3)-(2,0,-6) =(6,3,9)-(2,0,-6)=(4,3,15). (3)(p-q)·(p+q)=p -q =|p| -|q| 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =(2 +1 +3 )-[2 +0 +(-6) ]=-26. (4)cos〈p,q〉= = ,1, 2 2 2 2 p·q |p||q| ,0,- 2 2 2 +1 +3 × 2 +0 + - -14 14×2 10 =- 35 . 10 = 1.一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. 2.在确定了向量的坐标后,使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计 算就可以了, 但要熟练应用下列有关乘法公式: (1)(a+b) =a +2a·b+b ; (2)(a+b)·(a -b)=a -b . 2 2 2 2 2 [再练一题] 1.已知 a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4).求: (1)a+b;(2)a-b;(3)a·b; (4)2a·(-b);(5)(a+b)·(a-b). 【解】 (1)a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4) =(2+0,-1-1,-2+4)=(2,-2,2). (2)a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4) =(2-0,-1-(-1),-2-4)=(2,0,-6). (3)a·b=(2,-1,-2)·(0,-1,4) =2×0+(-1)×(-1)+(-2)×4=-7. (4)∵2a=(4,-2,-4), ∴(2a)·(-b)=(4,-2,-4)·(0,1,-4) =4×0+(-2)×1+(-4)×(-4)=14. 3 (5)(a+b)·(a-b)=a -b =4+1+4-(0+1+16)=-8. 利用向量的坐标运算解决平 行、垂直问题 已知空间三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2), 2 2 C(-3,0,4).设 a=AB,b=AC. → (1)若|c|=3,c∥BC,求 c; (2)若 ka+b 与 ka-2b 互相垂直,求 k. → → 【精彩点拨】 (1)根据 c∥BC,设 c=λ BC,则向量 c 的

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